数值分析牛顿科特斯公式

数值分析牛顿科特斯公式第一页，共三十页，编辑于2023年，星期三牛顿-科特斯公式等距节点的插值型求积公式称为牛顿-科特斯公式：取等距节点：xi=a

+ih，，i=1,2,…,n令x

=a

+th得：插值型求积公式其中第二页，共三十页，编辑于2023年，星期三牛顿-科特斯公式（续）注：Cotes系数仅取决于n

和i，可通过查表得到。与被积函数f(x)

及积分区间[a,b]均无关。科特斯(Cotes)系数

牛顿-科特斯公式：第三页，共三十页，编辑于2023年，星期三几个常见公式n=1:代数精度=1梯形求积公式n=2:代数精度=3抛物线求积公式Simpson求积公式n=4:科特斯(Cotes)求积公式TSC第四页，共三十页，编辑于2023年，星期三科特斯系数表第五页，共三十页，编辑于2023年，星期三系数特点和稳定性科特斯系数具有以下特点：(1)(2)(3)当n8时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当n较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。当n7时，牛顿-科特斯公式是稳定的。第六页，共三十页，编辑于2023年，星期三牛顿-科特斯公式的代数精度定理当n

为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有n+1阶代数精度。证：只要证明当n

为偶数时，公式对f(x)＝xn+1精确成立。由插值型求积公式的误差公式得作变量代换x

=a

+th，并将xi=a

+ih代入得再作变量代换t

=n

-s，得又n偶数第七页，共三十页，编辑于2023年，星期三余项梯形公式的余项中值定理

Simpson公式的余项三次Hermite插值第八页，共三十页，编辑于2023年，星期三余项的一般形式定理(1)若

n

为偶数，f(x)Cn+2[a,b]，则存在(a,b)

使得设，则有(2)若

n

为奇数，f(x)Cn+1[a,b]，则存在(a,b)

使得第九页，共三十页，编辑于2023年，星期三举例（一）例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分解：a＝0,b＝1,f(x)=e-x

，由simpson公式可得由梯形公式可得与精确值0.6321相比得误差分别为0.0518和0.0002。第十页，共三十页，编辑于2023年，星期三复合求积公式提高积分计算精度的常用两种方法用复合公式用非等距节点复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。将[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中节点(i=0,1,…,n)第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三复合梯形公式复合梯形公式:Tn余项：，(a,b)第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三复合simpson公式复合simpson公式:Sn余项：，(a,b)44444第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三复合科特斯公式复合cotes公式:Cn余项：，(a,b)第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三举例（二）解：例：设，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算积分xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三h很小时的误差i(xi,xi+1

)(h0)定积分定义即同理第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三

收敛速度与误差估计定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p

阶收敛的。~~~例：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三Q:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上例中若要求，则即：取n=409第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

409

k=9

时，T512=3.14159202注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。Q:给定精度，如何取n?第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期三2.3龙贝格算法梯形法的递推化龙贝格算法理查森外推加速法第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期三1梯形法的递推化方法思路:复化求积方法可提高求积精度，实际计算时可以将步长逐次分半。在每个子区间[xk,xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2=1/2(xk+xk+1),用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期三注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。将每个子区间上的积分值相加得从而可导出下列递推公式1梯形法的递推化第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期三

龙贝格算法龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性收敛的自动积分法第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期三基本思想根据复化梯形公式的余项表达式可知第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期三将上式移项整理，可得可以做这样的补偿基本思想第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期三同理由此得到同理基本思想第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期三由此法，可得如下三角形数表梯形辛卜生柯特斯龙贝格T0T3T2T1S0

S2S1

C0

C1

D0基本思想第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期三样条插值积分用三次样条插值函数S(x)近似被积函数f(x)，从而得到样条插值积分公式。(i=0,1,…,n)

将[a,b]分n等分，，设S’(xi)＝mi，则S

(x)在[xi,xi+1]上为满足以下条件的三次多项式：，由三次Hermite插值多项式公式（P.46）可得第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期三样条插值积分（续）于是有由于S

(x)