数学模型-概论

数学模型-概论第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三引论第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三原型model指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。Prototype指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。模型与第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三模型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型、物理模型…思维模型、符号模型、数学模型…第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三数学模型

“数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。”更简洁地，也可以认为“数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。”——本德（E.A.Bender）第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三一般地说，数学模型可以描述为：

对于现实世界地一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三

甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？解方程组用x，y分别代表船速和水速，得方程第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三描述性的数学模型解释性的数学模型按照人们对原型的认识过程分为类分第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三人口模型交通模型电气系统模型通信系统模型机电系统模型环境模型传染病模型水资源模型再生资源利用模型污染模型…生态模型按照模型的应用领域分为

类分第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三几何模型代数模型图论模型规划论模型微分方程模型最优控制模型信息模型随机模型决策与对策模型模拟模型…按照建立模型的数学方法分为

类分第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期三静态模型和动态模型……确定性模型和随机模型离散模型和连续性模型线性模型和非线性模型按照模型的特征分为

类分第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三白箱模型灰箱模型黑箱模型按照对模型结构的了解程度分为

类分第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三作用预报与决策：

生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，都是决策模型的例子。控制与优化

电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。

分析与设计

例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。规划与管理

生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三局限技艺条理非预制可转移强健渐近折衷逼真性和可行性

建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和选择。数学模型的特点第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三折衷局限技艺条理非预制可转移强健渐近渐近性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型。数学模型的特点第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三渐近折衷局限技艺条理非预制可转移强健强健性

一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有相应的微小的变化。数学模型的特点第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三强健渐近折衷局限技艺条理非预制可转移可转移性

一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。数学模型的特点第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三可转移强健渐近折衷局限技艺条理非预制非预制性

模型的非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（Open-end-problem）。在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或者概念的产生。

数学模型的特点第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三非预制可转移强健渐近折衷局限技艺条理条理性

从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。数学模型的特点第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三条理非预制可转移强健渐近折衷局限技艺技艺性

从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。数学模型的特点第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期三技艺条理非预制可转移强健渐近折衷局限局限性

1.当结论应用于实际问题，就回到的现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。

2.由于人们认识能力和科学技术发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。

3.还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模的方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。数学模型的特点第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期三开设目的对数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。传统的数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试。

第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期三商人过河

建模示例之

三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎么样才能安全渡河呢?第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期三分析：

安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的。第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期三模型构成

记第次渡河前此岸的商人数，随从数为.将二维向量定义为状态。安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合，记做.

第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期三模型构成

记第次渡河渡船上的商人数，随从数为.将二维向量定义为决策。允许状态集合，记做.由小船的容量可知

因为为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态随决策变化的规律是，称之为状态转移律。第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期三这样制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：

求决策，使状态 按照转移律，由初始状态经有限步到达状态。模型构成

第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期三O123xy321模型求解

在商人和随从人数不大的简单情况，用图解法比较简便。第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期三

这里讲述的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便的求解。适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。评注第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期三差分方程建模比例性、几何相似性模型拟合实验建模模拟方法建模量纲分析和相似性离散模型的优化图论建模离散概率模型微分方程模型函数