2022年高考数学解析几何圆锥曲线真题汇编

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022年高考数学解析几何圆锥曲线真题汇编2022年高考数学《解析几何》真题汇编

1.（北京卷（理））已知抛物线2:2Cypx=过点(1,1)P,过点1

(0,)2

作直线l与抛物线C交于不同的两点,MN，过点M作x轴的垂线分离与直线,OPON交于点,AB，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

解：（Ⅰ）由于抛物线C过点(1,1)P，把(1,1)P代入22ypx=，得12

p=

∴2:Cyx=

∴焦点坐标1(,0)4，准线为14

x=-

。（Ⅱ）设过点1(0,)2

的直线方程为1

:2

lykx=+

，1122(,),(,)MxyNxy直线:OPyx=，直线2

2

:yONyxx=

由题意知12

1112

(,),(,

)xyAxyBxx由212ykxyx

?

=+???=?

，可得22

1(1)04kxkx+-+=

121222

11

,4kxxxxkk-∴+=

=121212111222

1

()

12222xkxxyxxykxkxxxx++∴+=++=+211112

1

122(1)22124k

kkxkxkxxkx-=+=+-?=?∴A为线段BM中点。

2.（北京卷（文））已知椭圆C的两个顶点分离为A(?2,0)，B(2,0)，焦点在x

轴上，离心率为

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点,MN，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．解：（Ⅰ）焦点在x轴上，且顶点为(2,0)±2a∴=

cea=

=

c∴=222abc=+1b∴=

∴椭圆方程为2

214

xy+=

（Ⅱ）设()()()00000,0,,,,DxMxyNxy-，直线AM的方程是()0

022yyxx=

++，DEAM∴⊥，00

2

DExky+∴=-

，直线DE的方程是()0002xyxxy+=-

-，直线BN的方程是()0022

y

yxx-=--，直线BN与DE直线联立

()()00000222xyxxyyyxx+?

=--??

?

-?=-?-?

，收拾为：

()()00000222

xy

xxxyx+-=--，即()()()2200042xxxyx--=-即()()()22

0004424

xxxxx=-，解得042

5Exx+=，

代入求得045

Eyy==-∴5

4NEyy=

又

4

S5

BDEEBDNNSyy==△△

BDE∴?和BDN?面积的比为4:5

3.（全国卷Ⅰ）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1

），

P4（1

C上.（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证实：l过定点.

解：（1）因为34,PP两点关于

y轴对称，故由题设知C经过34,PP两点又由

22221113

4abab

+>+知，C不经过点1P，所以点2P在C上因此222

11,1314bab?=????+=??解得224

1ab?=??=??

故C的方程为2

214

xy+=（2）设直线2PA与直线2PB的斜率分离为12,kk

假如l与x轴垂直，设:lxt=，由题设知0t≠，且||2t

设1122(,),(,)AxyBxy，则2121222844

,4141

kmmxxxxkk-+=-=++

22

22=1xyab+

而12121211yykkxx--+=

+1212

11

kxmkxmxx+-+-=+

121212

2(1)()

kxxmxxxx+-+=

由题设121kk+=-，故1212(21)(1)()0kxxmxx++-+=

即222448(21)(1)04141

mkm

kmkk--++-=++，解得12mk+=-

当且仅当1m>-时，0?>，于是1

:2

mlyxm+=-

+，所以l过定点(2,1)-4.（全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2

212

xy+=上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P

满足NP=

.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线3x=-上，且1OPPQ?=

.证实：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左

焦点F.

解：（1）设(,)Pxy，00(,)Mxy，则000(,0),(,),(0,)NxNPxxyNMy=-=

由NP=

得，00,xxyy==

由于00(,)Mxy在C上，所以22

122

xy+=，因此点P的轨迹方程为222xy+=（2）由题意知(1,0)F-，设(3,),(,)QtPmn-，则

(3,),(1,),33OQtPFmnOQPFmtn=-==+-

，(,),(3,)OPmnPQmtn==

由1OQPQ=得2231mmtnn--+-=

又由（1）知2

2

2mn+=，故330mtn+-=

所以0OQPF=，即OQPF⊥.又过点P存在唯向来线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

5.（全国卷Ⅲ）已知抛物线2:2Cyx=，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证实：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，2-），求直线l与圆M的方程．解：（1）设1122(,),(,),:2AxyBxylxmy=+

由22,2xmyyx

=+??=?可得2240ymy--=，则124yy=-又22

1212,22yyxx==，故2

1212()44

yyxx==

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

12124

14

yyxx-==-，所以OAOB⊥故坐标原点O在圆M上

（2）由（1）可得2

1212122,()424yymxxmyym+=+=++=+故圆心M的坐标为2(+2,)mm，圆M

的半径r=

因为圆M过点(4,2)P-，因此0APBP?=

，

故1212(4)(4)(2)(2)0xxyy--+++=，即121212224()2()200xxxxyyyy-+++++=由（1）可得12124,4yyxx=-=

所以2210mm--=，解得1m=或1

2

m=-

当1m=时，直线l的方程为10xy--=，圆心M的坐标为(3,1)，圆M

圆M的方程为22(3)(1)10xy-+-=当12m=-

时，直线l的方程为240xy+-=，圆心M的坐标为91

(,)42

-，圆M

的半径为，圆M的方程为229185()()4216xy-++=

6.（山东卷（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22

221xyab

+=()0ab>>

，

焦距为2.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，动直线l

：1ykx=E于,AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k

，且12kk=

M是线段OC延伸线上一点，且:2:3MCAB=，M的半径为MC，,OSOT是M的两条切线，切点分离为,ST.求SOT∠的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.

解：（Ⅰ）由题意知

cea=

=，22c=，所以

1ab=，因此椭圆E的方程为2

212

xy+=.

（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy，

联立方程2

211,2

xyykx?+=????=??，得(

)

22114210kxx+--=，

由题意知0?>

，且()

12122

111

221xxxxk+=

=-+，所以

121ABx-=.

由题意可知圆M的半径r

为：12||3rAB==

由题意知12kk=

21

k由此直线OC

的方程为1y=.

联立方程22

1

1,

2

,

xyyx?+=???

?=??得22

2

1221181,1414kxykk==

++，因此

OC=由题意可知1

sin

21SOTr

OCrOC

r

∠==++

，

而

1OCr

=

=

令2112tk=+，则()1

1,0,1tt

>∈，

因此

1OCr

==≥，当且仅当11

2

t=，即2t=

时等号成立，此时1k=，

所以1sin22SOT∠≤，因此26SOTπ∠≤，所以SOT∠最大值为3

π

.

综上所述：SOT∠的最大值为3

π

，取得最大值时直线l

的斜率为1k=.

7.（山东卷（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:22221xyab+=(a>b>0)的离心率为2

，

椭圆C截直线y=1所得线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）动直线:(0)lykxmm=+≠交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，圆N的半径为||NO.设D为AB的中点，DE，DF与圆N分离相切于点E，F，求EDF∠的最小值.

8.（天津卷（理））设椭圆22221(0)xyabab

+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为1

2.

已知A是抛物线2

2(0)ypxp=>的焦点，F到抛物线的准线l的距离为1

2

.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ

与x轴相交于点D.若APD△AP的方程.（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c-.依题意，

12ca=，2

pa=，12ac-=，解得1a=，1

2c=，2p=，

于是2

2

2

34bac=-=.所以，椭圆的方程为22

413

yx+

=，抛物线的方程为24yx=.（Ⅱ）解：设直线AP的方程为1(0)xmym=+≠，与直线l的方程1x=-联立，可得点2(1,)Pm--

，故2

(1,)Qm

-.将1xmy=+与2

2

413

yx+=联立，消去x，收拾得22(34)60mymy++=，解得0y=，或2

634

m

ym-=

+.由点B异于点A，可得点22

2346(,)3434

mm

Bmm-+-++.

由2

(1,)Qm-，可得直线BQ的方程为22

262342()(1)(1)()03434mmxymmmm

--+-+-+-=++，令0y=，解得222332mxm-=+，故22

23(,0)32

mDm-+.所以22

22236||13232mmADmm-=-=++.

又由于APD△22

162232||mmm??=+，

收拾得23|20mm-+=，解得||3m=

，所以3

m=±.所以，直线AP的方程为330x-=，或330x-=.

9.（天津卷（文））已知椭圆22

221(0)xyabab

+=>>的左焦点为,()0Fc-，右顶点为A，点E

的坐标为(0,)c，EFA△的面积为2

2

b.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设点Q在线段AE上，3

||2

FQc=

，延伸线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN∥，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（ⅰ）求直线FP的斜率；（ⅱ）求椭圆的方程.

（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e，由已知，可得2

1()22

bcac+=

又由2

2

2

ba

c=-，可得2

2

20caca+-=，即2

210ee+-=又由于01e，则直线FP的斜率为

1

m

由（Ⅰ）知2ac=，可得直线AE的方程为

12xy

cc

+=，即220xyc+-=，与直线FP的方程联立，可解得(22)3,22

mcc

xymm-==++，

即点Q的坐标为(22)3(

,)22mcc

mm-++

由已知3||2FQc=，有222(22)33(

)()()222mccc

cmm-++=++，收拾得2340mm-=，所以43

m=，即直线FP的斜率为3

4

（ⅱ）解：由2ac=

，可得b，故椭圆方程可以表示为22

22143xycc+=

由（ⅰ）得直线FP的方程为3430xyc-+=，与椭圆方程联立22

223430143xycxycc

-+=??

?+=??，消去y，收拾得2

2

76130xcxc+-=，解得137

c

x=-

（舍去），或xc=因此可得点3(,

)2cPc

，进而可得5||2

cFP==，所以53||||||22

cc

PQFPFQc=-=

-=由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM与QN都垂直于直线FP，

由于QNFP⊥，所以339||||tan248

ccQNFQQFN=?∠=

?=，所以FQN△的面积为2127||||232cFQQN=，同理FPM△的面积等于2

7532

c，由四边形

PQNM的面积为3c，得22

752733232ccc-=，收拾得22cc=，又由0c>，得2c=.

所以，椭圆的方程为

2211612

xy+=

10.（江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22

22:1(0)xyEabab

+=>>的左、右焦点

分离为12,FF，离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线12,ll的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

解：（1）设椭圆的半焦距为c

由于椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以2

12,

82caac

==解得2,1ac==

，于是b

因此椭圆E的标准方程为22

143

xy+=.（2）由（1）知，12(1

,0),(1,0)FF-设00(,)Pxy，由于P为第一象限的点，故000,0xy>>，当01x=时，2l与1l相交于1F，与题设不符当01x≠时，直线1PF的斜率为

001yx+，直线2PF的斜率为001

y

x-由于1122,lPFlPF⊥⊥，所以直线1l的斜率为001xy+-

，直线2l的斜率为00

1

xy--，从而直线1l的方程：00

1

(1)xyxy+=-

+

①

直线2l的方程：00

1

(1)xyxy-=-

-

②

由①②，解得20001,xxxyy-=-=，所以2

000

1

(,)xQxy--

由于点Q在椭