《两角和与差的正弦、余弦函数》示范公开课教学设计【高中数学必修4（北师大版）】

1/5《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计教材分析教材分析教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。教学目标教学目标【知识与能力目标】(1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用.(2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用.【过程与方法目标】经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程,了解它们的内在联系;体会化归与转化的数学思想方法.【情感态度价值观目标】通过本节的学习和运用实践,使学生学会用联系转化的观点去处理问题,加强学生的应用意识,激发学生的学习兴趣,体会数学的科学价值与应用价值.教学重难点教学重难点【教学重点】两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用.【教学难点】两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.课前准备课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程教学过程一、新课导入。复习两角差的余弦函数。二、探究新知。以公式C(α-β)为基础推导的其他公式(1)推导cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.在公式C(α-β)中,令-β代替β,则有cos(α+β)=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C(α+β))(2)推导sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ和sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.运用C(α+β)和诱导公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S(α+β))在公式S(α+β)中用-β代替β,可以得到sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S(α-β))(3)推导公式tan(α+β)=和tan(α-β)=.当cos(α+β)≠0时,将公式S(α+β),C(α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=.当cosαcosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosαcosβ,得tan(α+β)=.(T(α+β))由于tan(-β)==-tanβ,在T(α+β)中以-β代替β,可得tan(α-β)=,即tan(α-β)=.(T(α-β))(4)公式T(α±β)在α≠kπ+,β≠kπ+,α+β≠kπ+(T(α+β)须满足),α-β≠kπ+(T(α-β)须满足),k∈Z时成立,否则是不成立的.当tanα,tanβ或tan(α+β)的值不存在时,不能使用T(α±β)公式,处理有关问题时应改用诱导公式或其他方法来解,比如化简tan,因为tan的值不存在,不能用T(α-β),而应改用诱导公式tan=cotβ.公式S(α+β),C(α+β),T(α+β)给出了任意角α,β的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系,为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地,公式S(α-β),C(α-β),T(α-β)都叫做差角公式.和角差角公式：三、例题解析。【例1】(1)sin(30°+45°)=。

(2)cos55°cos5°-sin55°sin5°=。(3)若tan(α"-"π/4)=2,则tanα=。解析:(1)sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12(2)原式=cos(55°+5°)=cos60°=12(3)∵tanα-π4∴tanα=-3。探究一给角求值

【例2】化简求值:sin13°cos17°+sin77°cos73°;(2)sinπ12-3(3)1-(4)tan72°-tan42°-33tan72°tan42°分析:(1)逆用公式;(2)利用辅助角公式;(3)利用“1”的代换;(4)利用两角差公式的变形公式。解:(1)原式=sin13°cos17°+sin(90°-13°)cos(90°-17°)=sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin(13°+17°)=sin30°=12(2)原式=21=2sin=2sinπ12-π3=-2sin(3)原式=tan45=tan(45°-15°)=tan30°=33(4)∵tan30°=tan(72°-42°)=tan72°∴tan72°-tan42°=tan30°(1+tan72°tan42°).∴原式=tan30°(1+tan72°tan42°)-33tan72°tan42°=3【例3】(1)已知α∈0,π2,且sinα=55,tanβ=13,则tan(α+(2)已知α为锐角,sinα=,β是第四象限角,cosβ=,则sin(α+β)=。分析:(1)先利用同角三角函数基本关系,求出tanα,再代入公式T(α+β)求值.(2)先求出cosα,sinβ的值,再代入公式S(α+β)求值.【例4】已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35分析:由已知求出sin(α-β),

cos(α+β)→角的变换2α=

(α-β)+(α+β)→cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]展开代入求值解:∵π2<β<α<34π,∴-34π<-β∴0<α-β<π4,π<α+β<32∴sin(α-β)=1-cos(α+β)=-1=-1--3∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×-即cos2α=-3365四、巩固练习。1、判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ对任意角α,β恒成立。()(2)存在角α,β使cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ成立。()(3)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ对任意角α,β恒成立。()2、变式训练1(1)sin7°cos37°-sin83°cos53°的值为()

。A.-12 B.12 C.32 (2)1+tan75°1-解析:(1)sin7°cos37°-sin83°cos53°=sin7°cos37°-cos7°sin37°=sin(7°-37°)=sin(-30°)=-sin30°=-12(2)1+tan75=tan120°=-tan60°=-3。3、设α∈0,π2,若sinα=35,则24、设α∈0,π2,若sinα=35,则2cosα+A.75 B.15 C.-75 解析:依题意可得cosα=45,故2cosα+π4=2cosαcosπ4-2sinαsinπ5、若tanα=3,tanβ=43,则tan(α-β)等于()

A.-3 B.-13 C.3 D.解析:tan(α-β)=tanα答案:D6、已知α,β是锐角,且sinα=437,cos(α+β)=-1114,求sin解:∵α是锐角,且sinα=43∴cosα=1-又cos(α+β)=-1114,α,β∴sin(α+β)=1-∴sinβ=sin(α+