函数与方程（课件）-2024届《创新设计》高考数学一轮复习（湘教版）

第二章函数INNOVATIVEDESIGN第9节函数与方程1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.函数的零点 (1)概念：对于函数f(x)，把方程

的实数根叫作函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：知识梳理f(x)＝0x轴f(x)＝02.函数零点存在定理

设函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有_______________，则方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个根，即存在x0∈(a，b)，使___________.如果y＝f(x)在区间[a，b]内单调递增或单调递减，则方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根.f(a)·f(b)＜0f(x0)＝0[常用结论]1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝2x的零点为0.(

)(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(

)解析(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误.√诊断自测×√BA.3 B.2C.7

D.03.(教材改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为(

)A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)解析函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)f(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1，2).B4.函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________________.解析当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1.当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一函数零点所在区间的判断C

(2)(2023·滨州模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程lnx＋3x－15＝0的根，则[x0]＝(

)A.2 B.3 C.4 D.5解析设f(x)＝lnx＋3x－15，显然f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝0只有一个根，又f(4)＝ln4－3＝2ln2－3＜2(ln2－1)＜0，f(5)＝ln5＞0，所以x0∈(4，5)，故[x0]＝4.C确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.感悟提升训练1(1)根据表格中的数据可以判定方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为(

)Cx12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)

解析设f(x)＝lnx－x＋2＝lnx－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝ln4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.

B考点二函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(

)A.0 B.1 C.2

D.3解析法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.法二设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，B在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.

B解析法一(直接法)由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.当x＞0时，得lnx＝3或lnx＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解.所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B.

法二(图象法)作出函数f(x)的图象，如图，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2，故选B.

2函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.感悟提升训练2(1)(2023·海口质检)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4C解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点.当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点.根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.

(2)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为(

)A.6 B.7 C.8

D.9解析令f(x)＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.B考点三函数零点的应用角度1根据零点个数求参数范围例3(多选)(2023·廊坊模拟)已知函数f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是(

) A.若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)

B.若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5) C.若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5

D.若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞)AC解析当x＝0时，f(0)＝1≠0，所以x＝0不是f(x)的零点；

由图可知，若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)，故A正确；若f(x)恰有2个零点，则a∈{0}∪(1，5)，故B不正确；若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；若f(x)恰有4个零点，则a∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确.故选AC.

D解析由题意知，函数y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点.当a＞0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移a个单位长度得到的，

根据图象可知此时只需要g(0)＝lna＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在(0，＋∞)上y＝e－x与g(x)的图象恒有交点，满足条件.综上，a＜e，即实数a的取值范围是(－∞，e).故选D.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.感悟提升B由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.

所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.嵌套函数的零点问题微点突破函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.D所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点.综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.A解析当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0<x<1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x>1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，可令g(t)＝0，t＝f(x)，可得3t2－10t＋3＝0，B由f2(x)－(k＋1)x·f(x)＋kx2＝0可得[f(x)－x]·[f(x)－kx]＝0，所以关于x的方程f(x)＝x，f(x)＝kx共有3个不同的实数解.先讨论方程f(x)＝x的解的个数.[－1，＋∞)解析设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图).当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.(多选)下列说法中正确的是(

)A.函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B.函数f(x)＝x＋1的零点为－1C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确；A，C错误.BD【A级

基础巩固】D又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.B因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，且f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在(1，2)内有唯一零点.A解析取x1＝2，因为f(2)＝4×8＋2－8＝26＞0，C解析由题易知f(x)在(1，2)上为增函数，则f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.

6.(2023·葫芦岛模拟)已知a是函数f(x)＝lnx＋x2－2的零点，则ea－1＋a－5的值为(

)A.正数

B.0C.负数

D.无法判断解析因为f(x)＝lnx＋x2－2在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，所以a∈(1，2).又因为g(x)＝ex－1＋x－5在(1，2)上单调递增，且g(2)＝e＋2－5＜0，故ea－1＋a－5＜0.故选C.C7.(2023·福州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有(

) A.多于4个

B.4个

C.3个

D.2个B解析分别作出y＝f(x)与y＝log3|x|的图象如图所示，由图可知y＝f(x)与y＝log3|x|有4个交点，故函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.AC当x＝0时，可得f(0)＝2，g(0)＝2，故x＝0是函数y＝f(x)－g(x)的一个零点；当x≠0时，将f(x)－g(x)＝0转化为m＝h(x)，要使得函数y＝f(x)－g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有三个零点，只需y＝m和y＝h(x)的图象有三个不同的交点.作出函数y＝h(x)的大致图象，如图所示.9.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝__________________.解析f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意.x3－x(答案不唯一)6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，11.已知函数f(x)＝2lgx＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________.解析函数f(x)＝2lgx＋x－4在(0，＋∞)上为增函数，又∵f(3)＝2lg3＋3－4＝2lg3－1＝lg9－1＜0，f(4)＝2lg4＋4－4＝2lg4＞0，即f(3)·f(4)＜0，则函数f(x)＝2lgx＋x－4的零点在区间(3，4)上，即k＝3.312.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2＝________.1D【B级

能力提升】ACD解析因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋2)，