第2章-GARCH模型族分析课件

（file:JPYEN）

第2章

GARCH模型族

1

问题的提出

2ARCH模型

3

GARCH模型

4IGARCH(1,1)模型

5TGARCH模型

6ABSGARCH/ARCH模型

7EGARCH模型

8GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型

9

PARCH模型

10

LM-GARCH模型

11

FIGARCH（分整GARCH）模型

12

FIEGARCH（分整EGARCH）模型

13

案例分析

第2章

GARCH

模型族

2.1问题的提出

前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而ARCH，GARCH模型预测的是被解释变量的方差。ARCH模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。

以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票价格指数的收益率等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。

80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)

日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)

日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)

2.1问题的提出

这种序列的特征是

（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。

（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。

（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。

-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)

高峰厚尾分布曲线

正态分布曲线

2.1问题的提出

描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。

使用ARCH模型的理由是：

（1）通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；

（2）可以预测xt的置信区间，它是随时间变化的；

（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。

2.2

ARCH模型

2.2.1

ARCH模型的定义

若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，

xt

=b0

+b1xt-1

+b2

xt

-2

+…

+bp

xt-

p

+ut

(2.1)

st2

=E(ut2)

=a0

+a1ut-1

2

+a2

ut

-22

+…

+aqut-

q2

(2.2)

则称ut服从q阶的ARCH过程，记作ut

~

ARCH(q)。其中(2.1)式称作均值方程，(2.2)式称作ARCH方程。

2.2

ARCH模型

2.2.1

ARCH模型的定义

均值方程，xt

=b0

+b1xt-1

+b2

xt

-2

+…

+bp

xt-

p

+ut

应满足如下条件。为保证平稳性，特征方程

1-

b1L

-

b2

L2

-

…

-

bp

Lp

=0

的根应在单位圆之外。xt

的条件期望是

E(xt

|

xt-1,…,xt-

p)=b0

+b1xt-1

+b2

xt

-2

+…

+bp

xt-

p

xt

的无条件期望（T®¥

时）是

E(xt)=

pbbb---L101

2.2

ARCH模型

2.2.1

ARCH模型的定义

（1）ARCH方程，st2

=E(ut2)

=a0

+a1

ut-1

2

+a2

ut

-22

+…

+aqut-

q2

应满足如下条件（ut2的非负性）：

a0

>0,ai

³

0,i

=1,2,

…

q

当全部ai

=

0,i

=1,2,…,

q时，条件方差st2

=a0。因为方差是非负的，所以要求a0

>0。

（2）为保证st2是一个平稳过程，ARCH方程的特征方程应满足

1-

a1L

-

a2

L2

-

…

-

aq

Lq

=0

的根都应在单位圆之外。

（3）对ai,i

=1,2,…,

q的另一个约束是0£

a1+a2

+…

+aq

<1。

对ARCH方程求期望，

st2

=a0

+a1E(ut-1

2)+a2

E(ut

-22)+…

+aqE(ut-

q2)

=a0

+a1st-1

2

+a2

st

-22

+…

+aqst-

q2

当T®¥

时，s2=a0+a1s2+a2s

2

+…

+aqs

2。则无条件方差s2

=å=-qii111aa0

可见若保证st2是一个平稳过程，应该有约束0£

(a1+a2

+…

+aq

)<1。

2.2

ARCH模型

2.2.2

ARCH模型的极大似然估计

ARCH模型经常应用在回归模型中。

yt

=xt'b

+ut

其中

b

=(b0

b1,…,bk-1)',xt=(1，x1,…,xk-1)'（xt

的分量也可以包括yt

的滞后变量），ut

~

ARCH(q)。为计算方便，假定已知yt

,

xt

的T

+

q组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T。ut

~

ARCH(q)可以表示为

ut

=

thvt

其中vt~IID(0,1)，vt

与xt

相互独立，ht=a0+a1ut-12+a2

ut

-22

+…

+aqut-

q2，所以有st2

=E(ut2)

=

ht，E(ut)

=

0。yt服从正态分布，概率密度函数为

f

(yt

|

xt,ai,b)=thp21exp(-ttthy2)'(2bx-)

其中ht

=a0+a1(yt-1-xt-1'b

)

2+a2

(yt-2-xt-

2'b

)

2

+…

+aq(yt-

q-xt-

q'b

)

2

2.2

ARCH模型

2.2.2

ARCH模型的极大似然估计

用参数

b

和

a

=(a0

a1

a2

…

aq

)'

组成参数向量g

=

÷÷øöççèæab，

模型yt

=xt'b

+ut

ut

=

thvt

ht

=a0

+a1ut-1

2

+a2

ut

-22

+…

+aqut-

q2

的对数似然函数是

logL(g)=å=Tt1logf(yt

|

xt,g)

=-2Tlog

(2p)-å=Tt1log21(ht)-å=-Ttttthy12)'(21bx

2ARCH模型2.2ARCH模型的极大似然估计（Engle（1982）提出）

2.2

ARCH模型

2.2.3ARCH模型的检验（LM、F

LR、和Q检验）

方法1：ARCH的LM检验。

①

建立原假设H0：a1

=

a2

=

…=

aq

=0（不存在ARCH）

H1：a1,

a2

,

…,

aq

不全为零

在原假设成立条件下，OLS估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS估计量是一致的，但不是有效的。

先介绍使用LM统计量检验H0。因为计算LM统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是

②

估计yt

=xt'b

+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。

③

估计辅助回归式

tuˆ2

=a0

+a121ˆ-tu+

a2tuˆ-22+

…

+

a

qtuˆ-

q

2

+vt

④

用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM

=TR2。其中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有LM

=TR2

~

c2

(q)

若LM

<

c2a

(q)，接受H0。若LM

>

c2a(q)，接受H1。

注意：辅助回归式中要有常数项a0。

2.2

ARCH模型

2.2.3ARCH模型的检验（LM、F

LR、和Q检验）

方法2：自回归条件异方差的F检验。

①

建立原假设

H0：a1

=

a2

=

…=

aq

=0（不存在ARCH）

H1：a1,

a2

,

…,

aq

不全为零

②

估计yt

=xt'b

+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。

③

用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算残差平方和SSEr、SSEu。

tuˆ2

=a0+vt

（约束模型，同方差）

tuˆ2=a0+a121ˆ-tu+a2tuˆ-22+…

+a

qtuˆ-

q2+vt（非约束模型，存在ARCH）

④用SSEr、SSEu构造F统计量，在原假设成立条件下有

F

=)1/(/)(---qTSSEqSSESSEuur~

F

(q,T-

q

-1)

其中，SSEr、SSEu分别表示由约束、非约束模型得到的残差平方和。

若F

<

Fa

(q,T–q-1)，接受H0。

若F

>

Fa(q,T–q-1)，接受H1。

如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可以采用t检验。

2.2

ARCH模型

2.2.4检验是否存在ARCH效应的EViews操作（案例日元对美元汇率的建模研究）

1995.1-2000.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY）见图。极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY显然是一个非平稳序列。

JPY的差分序列D(JPY)表示收益。因为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。

80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)

-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)

图9.1日元兑美元汇率（JPY）时间序列

图9.2DJPY时间序列

JPY的相关图与偏相关图

D(JPY)的相关图与偏相关图

方法1：通过Q检验考察AR(3)模型中是否存在自回归条件异方差。

2.2.4检验是否存在ARCH效应的EViews操作（案例日元对美元汇率的建模研究）

方法2：ARCH的LM检验。

在均值方程AR(2)估计窗口，选ARCH的LM检验，用1阶检验式检验，

tuˆ2

=0.6850

+0.253521ˆ-tu

(9.4)

(9.9)

R2

=0.0643,T=1421,

F

=)/(/)(kTSSEmSSESSEuur--=

52.97)21422/(345.95191/)345.951910.10173(=--，残差为ARCH过程。

TR2

=

1422´0.0643=

91.4

>

c20.05

(1)

=3.8，残差为ARCH过程。

用2阶自回归检验式检验，结论同样是残差为ARCH过程。

2.2.4检验是否存在ARCH效应的EViews操作（案例日元对美元汇率的建模研究）

方法3、4：自回归条件异方差的F检验和LR检验。

用残差平方序列1阶自回归检验式做参数约束的F检验和LR检验（命令：sqres(-1)）。

F

=)/(/)(kTSSEmSSESSEuur--=)21422/(345.95191/)345.951910.10173(--=

97.5

>

F0.05

(1,1422-2)

=3.8，

接受H1，残差为ARCH过程。

LR

=-

2[logL(b~,2~s)-logL(bˆ,2ˆs)]=

-

2(-3416.753-(-3369.528))=94.45

用残差平方序列2阶自回归检验式做参数约束的F检验，结论同样是残差为ARCH过程。

2.3

GARCH模型

2.3.1

GARCH模型定义

ARCH(q)

模型是关于st2的分布滞后模型。为避免ut2的滞后项过多，可采用加入st2的滞后项的方法（回忆可逆性概念）。对于ARCH(q)式，可给出如下形式，

st2

=a0

+a1ut

–1

2

+l1

st

-12

此模型称为广义自回归条件异方差模型，用GARCH(1,1)

表示。其中ut

–12称为ARCH项，st

-12称为GARCH项。st2表示ut的条件方差。

上式应满足的条件是

a0

>0,a1

³

0,l1

³

0。

当0£

l1

<1，上式变为

(1-

l1

L)

st2

=a0

+a1ut

–1

2

st2

=

101la-+L111la-ut

–1

2

=101la-+(a1

+a1l1

L

+a1l12

L2

+a1l13

L3

+…)

ut

–1

2

所以GARCH模型可以看作是无限阶的ARCH模型。

2.3

GARCH模型

2.3.1

GARCH模型定义

GARCH模型的一般表达式是含有q个ARCH项和p个GARCH项，即GARCH(p,q)，

st2

=a0

+l1

st

-12

+…+lp

st

-

p2

+a1ut

–1

2

+…+aq

ut

–q

2

上式应满足的条件是

a0

>0,

ai

³

0,i

=1,2,…q,

li

³

0,i

=1,2,…p

0£

(å=qii1a+å=pii1l)

<1

对于GARCH模型，相应均值方程被解释变量的条件期望和条件方差分别是

E{yt|

xt}=xtb

Var{yt|

xt}=st2

对GARCH式两侧求期望，并令T®¥，则ut的无条件方差表达式是

s2

=åå==--piiqii1101laa

2.3

GARCH模型

2.3.

.2

GARCH模型的检验

当原假设H0是ARCH(0)

时，显然备择假设H1有两个。一个是ARCH(r)，一个是GARCH(r,

0)。若原假设H0是ARCH(1)，则备择假设H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。

同理若原假设H0是ARCH(q)，则备择假设H1可以有两个。ARCH(q

+

r)，和GARCH(r,q)。

LM统计量无法区别这两个备择假设。但这并不是说，不该做LM检验。而是说，在实际应用中，备择假设既可以是ARCH，也可以是GARCH。对于q值很大的ARCH模型，建议使用GARCH模型。

在实际应用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足可以满足对自回归条件异方差的描述。

2.4

IGARCH(1,1)模型

对于ARCH(p)

模型和GARCH(p,q)

模型，在实际应用中，条件

0£

å=qii1a<1

（保证可以转换成无限阶的GARCH过程）

0£

(å=qii1a+å=pii1l)<1

（保证GARCH过程平稳）

有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。

st2

=a0

+a1ut

–1

2

+l1

st

-12

用1ˆa,1ˆl分别表示对a1,l1的估计。有时会出现

1ˆa+1ˆl»

1，甚至，1ˆa+1ˆl>1。例如Engle-

Chowdury（1992）对IBM收益率序列估计时，得如下结果，

tyˆ=0.00056

+

tuˆ，2ˆts=0ˆa+0.05321ˆ-tu

+0.95321ˆ-ts

其中1ˆa+1ˆl=

0.053

+

0.953

=

1.003

»

1。Engle证明如果1ˆa+1ˆl³

1，冲击（shock）对条件方差的影响是永远的。

2.5

TGARCH模型

2.5.1

TGARCH模型定义

TGARCH模型，又称门限（Threshold）ARCH模型。

st2

=a0

+a1ut

–1

2

+g

ut

–1

2

dt

–1

+l1

st

-12

dt

=îíì<³0,10,0ttuu，ut

>0表示利好消息，ut

<0表示利坏消息。对于TARCH模型，利好和利坏消息对条件方差的影响是不一样的。当出现利好消息时，波动的平方项的系数是a1。当出现利坏消息时，波动的平方项的系数是a1

+g。当g

=0时，条件方差对冲击的反应是对称的。当g

¹

0时，条件方差对冲击的反应是非对称的，称这种现象为杠杆作用（leverageeffect）。

更一般的TARCH模型形式如下：

st2

=a0

+å=-qiitiu12a+g

ut

–1

2

dt

–1

+å=-pjjtj12sl

2.6

ABSGARCH/ARCH模型

为保证方差为正，提出绝对值GARCH/ARCH模型，写作ABSGARCH/ARCH（absoluteGARCH/ARCH）。在ABSGARCH/ARCH模型中使用的是新息的绝对值。ABSGARCH(p,q)表示如下，

st2

=a0

+å=qii1a|ut-i|

+å=-pjjtj12sl

与ARCH(p,q)

模型比较，|ut-i|

代替了ut-i2。采用绝对值形式减小了ut2的幅度。Pesaran-

Pesaran（1997）还把ABSGARCH模型写成如下形式（左侧为标准差）。

st

=a0

+å=-qiitiu1a+å=-pjjtj1sl

2.7

EGARCH模型

另一种保证方差为正的模型形式是指数GARCH（exponentialGARCH），记为EGARCH（Nelson1991年提出）。其形式是

Ln(st2)=a0

+

å=--úûùêëéqiititiu1sa+å=--úúûùêêëé-qiititiu1msg+å=-pjjtjLn12)(sl

其中在ut服从正态分布的假定下，m

=E÷÷øöççèættus=5.02÷÷øöççèæp=0.798（参见陆懋组314页）。úúûùêêëé---msititu是ARCH项。úûùêëé--ititus描述利好、利坏的差异。

因为等式左侧是st2的对数，所以无论等式右侧是正是负，作为其反对数，st2总是正的。上式右侧第2项中（ut

/st）表示标准新息。第3项是用均值m

减标准新息的绝对值。

2.8

ARCH-M，GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型

ARCH-M，GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型分别称为波动项进入均值方程的ARCH，GARCH，ABSGARCH和EGARCH模型简称均值ARCH，均值GARCH，均值ABSGARCH和均值EGARCH。这些模型不仅仅用来描述自回归条件异方差过程，而且把波动项引入相对应的回归或均值方程。这种模型可以描述金融资产的回报除了受其他一些因素影响外，也受对回报波动的大小影响，用于风险需要被测量的模型中。比如随机误差项的标准差也作为解释变量进入回归模型。

yt

=xt'b

+

f

2ts+

ut

有时也可以把2ts换成Ln(2ts)。

2.9

Power

ARCH/GARCH（PARCH，PGARCH）模型

Ding（1993）年提出。其形式是

kitipiitiqjkjtjktuu)(110-=-=-åå-++=gasbas

其中k

>

0,

|

gi

|

£

1,i

=

1,2,…,r。对于i

>

r,有gi

=

0。对r的约束是r

£

p。参数gi用来考查1~

r期的非对称性。如果是对称的，对于全部的i，有gi

=

0。

注意：（1）如果k

=

2，gi

=

0，（对于