《从力做的功到向量的数量积》示范公开课教学设计【高中数学必修4（北师大版）】

1/5《从力做的功到向量的数量积》教学设计教材分析教材分析通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？创设问题情境，激发学生的学习欲望和要求。接下来通过对力做功的分析引出两个向量的夹角，过渡比较自然。之后直接给出向理数量积的定义，通过提问，比较向量和与差的运算，理解向量的数量积是数量而不是向量，其和由向量的夹角确定。鼓励学生大胆猜想，表达自己的观点和见解，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力。教学目标教学目标【知识与能力目标】1.通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角。2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题。【过程与方法目标】经历平面向量的数量积形成的过程，通过概念、几何意义、性质的应用，培养学生的应用意识。【情感态度价值观目标】通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力。教学重难点教学重难点【教学重点】平面向量数量积的含义及其物理意义。【教学难点】运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。课前准备课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程教学过程一、探究新知。教材整理：向量的夹角及数量积阅读教材P93～P96内容，完成下列问题．1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\S\UP6(→))＝a，eq\o(OB,\S\UP6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特例θ＝0°a与b同向θ＝180°a与b反向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直2.向量的数量积(1)射影|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)。(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角。(3)规定零向量与任一向量的数量积为0(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积。(5)性质①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ。②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0。③|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)。④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)。⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立。(6)运算律已知向量a，b，c与实数λ，则：①交换律：a·b＝b·a②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量。()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0。()(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ>0⇔a·b>0。()(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2。()【解析】(1)×.两向量的数量积是一个数量．(2)×.∵a·b＝|a||b|cosθ＝0，∴a＝0或b＝0或cosθ＝0.(3)√.(4)×.由数量积定义知，错；【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×二、例题解析。已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°。求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2。【精彩点拨】利用两个向量的数量积公式a·b＝|a||b|cosθ，|a|2＝a2及运算律计算。【自主解答】由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5。(1)a·b＝|a||b|cosθ＝4×5×cos60°＝10。(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61。(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21。(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9。巩固练习1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，求：(1)a·b。(2)a在b方向上的射影。(3)(a－2b)·(a＋b)。(4)(a－b)2。。【解】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20。(2)a在b方向上的射影为|a|cos120°＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5。(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos120°－2|b|2＝100－10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－2×42＝88。(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos120°＋|b|2＝100－2×10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋42＝100＋40＋16＝156。已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.求：(1)|a＋b|(2)|3a－4b|【精彩点拨】利用公式|a|2＝a2进行计算。【自主解答】a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4(1)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2·a·b＋|b|2＝42＋2×(－4)＋22＝12，所以|a＋b|＝2eq\r(3)(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4eq\r(19)。1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活运用a2＝|a|2，最后勿忘开方。2．一些常见等式应熟记：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等。巩固练习2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|。【解】因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61。又因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61，所以a·b＝－6。|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13)。探究1若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？【提示】a·b＝0⇔a⊥b。探究2|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？【提示】|a·b|≤|a|·|b|.因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|。探究3对于向量a·b，如何求它们的夹角θ？【提示】求夹角θ时先求两个向量a，b夹角的余弦值．然后根据向量夹角的取值范围求角。已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ。【精彩点拨】先求|a|，|b|及a·b，再由公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求解。【自主解答】∵e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝cos60°＝eq\f(1,2)，∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)＝－6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝－eq\f(7,2)。又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4eeq\o\al(2,1)＋4e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝7，b2＝(2e2－3e1)2＝4eeq\o\al(2,2)－12e1·e2＋9eeq\o\al(2,1)＝7，∴|a|＝|b|＝eq\r(7)，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2)。∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2,3)π。1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求cosθ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cosθ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算。2．两向量垂直⇔a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决。巩固练习3．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)(a＋b)＝eq\f(1,2)，(1)求a与b的夹角；(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值。【解】(1)因为(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，所以|a|2－|b|2＝eq\f(1,2).又因为|a|＝1，所以|b|＝eq\r(|a|2－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)。又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4)。(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以|a－b|＝eq\f(\r(2),2)，又因为(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，所以|a＋b|＝eq\f(\r(10),2)。设a＋b与a－b的夹角为α，则cosα＝eq\f(a－ba＋b,|a－b|·|a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5)。三、小结。1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写。2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积。四、作业。1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()。A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0。B．若λa＝0，则a＝0或λ＝0。C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b。D．若a·b＝a·c，则b＝c。【解析】由向量数量积的运算性质，知A，C，D错误。【答案】B2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为()。A．4 B．4eq\r(3)C．4eq\r(2) D．8＋eq\r(\f(3,2))【解析】a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉。由a·b＝|a|·|b|cosθ＝40且|b|＝10，得|a|cosθ＝4。【答案】A3．已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝2eq\r(3)，a·b＝－3，则a与b的夹角是。【解析】设a与b的夹角为θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－3,\r(3)×2\r(3))＝－eq\f(1,2)。又因为0°＜θ＜180°，所以θ＝120°。【答案】120°4．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝。【解析】因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5。【答案】55．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，设a与b的夹角为θ。(1)若θ＝eq\f(π,3)，求|a－b|；(2)若a与a＋b