2022年九年级上册期中数学试卷含答案

九年级上册期中数学试卷含答案2022

1.一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4,那么二次三项式x2+px+q可

分解为()

A.(x+3)(x-4)B.(x-3)(x+4)C.(x-3)(x-4)D.(x+3)

(x+4)

考点：解一元二次方程-因式分解法.

专题：压轴题.

分析：只有把等号左边的二次三项式分解为(x-xl)(x-x2),它的根

才可能是xl,x2.

解答：解：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4,

那么倒数其次步为：(x-3)(x-4)=0,

.,.x2+px+q=(x-3)(x-4),应选C.

点评：用到的学问点为：若一元二次方程的两根为xl,x2,那么一元二

次方程可整理为(x-xl)(x-x2)=0.

2.假如x：(x+y)=3：5,那么x：y=()

A.B.C,D.

考点：比例的性质.

分析：首先依据x：(x+y)=3：5可得5x=3x+3y,整理可得2x=3y,进而

得到x：y=3：2.

解答：解：Vx：(x+y)=3：5,

5x=3x+3y,

2x=3y,

.,.x：y=3：2=,

应选：D.

点评：此题主要考察了比例的性质，关键是把握内项之积等于外项之积.

3.Z\ABC中，tanA=l,cosB=,则AABC的外形是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.锐角三角形

考点：特别角的三角函数值.

分析：先依据AABC中，tanA=l,cosB=求出NA及NB的度数，进而可

得出结论.

解答：解：•「△ABC中，tanA=l,cosB=,

ZA=90°,ZB=45°,

「.△ABC是等腰直角三角形.

应选C.

点评：此题考察的是特别角的三角函数值，熟记各特别角度的三角函数

值是解答此题的关键.

4.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影长为0.85%紧接着他把手

臂竖直举起，测得影长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶（）

A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m

考点：相像三角形的应用.

分析：依据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总

高度x,即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超

出头顶的高度.

解答：解：设手臂竖直举起时总高度xm,列方程得：

一,

解得x=2.2,

2.2-1.7=0.5m,

所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m.

应选：A.

点评：此题考察了相像三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时

刻物体的高度和影长成正比.

5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该

厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满意的方程是（）

A.50(l+x2)=196B.50+50(l+x2)=196

C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(l+2x)=196

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

专题：增长率问题.

分析：主要考察增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X(l+增长率),

假如该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示八、

九月份的产量，然后依据题意可得出方程.

解答：解：依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,

50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

应选C.

点评：此题考察了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般

形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数

量.

6.如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，

连结BD并延长交EG于点T,交FG于点P,则GT=()

A.B.2C.2D.1

考点：正方形的性质.

专题：压轴题.

分析：依据正方形的对角线平分一组对角可得NADB=NCGE=45°,再求

出NGDT=45°,从而得到/XDGT是等腰直角三角形，依据正方形的边长求

出DG,再依据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可.

解答：解：•「BD、GE分别是正方形ABCD,正方形CEFG的对角线，

；.ZADB=ZCGE=45°,

；.ZGDT=180°-90°-45°=45°,

；.ZDTG=180°-ZGDT-ZCGE=180°-45°-45°=90°,

「.△DGT是等腰直角三角形，

;两正方形的边长分别为4,8,

.•.DG=8-4=4,

.*.GT=X4=2.

应选B.

点评：此题考察了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组

对角，等腰直角三角形的判定与性质.

二、填空题（每题3分，共30分）

7.一公园占地面积约为800000m2,若按比例尺1：2000缩小后，其面积

约为0.2m2.

考点：比例线段.

专题：应用题.

分析：依据相像多边形面积的比是相像比的平方，列比例式求得图上面

积.

解答：解：设其缩小后的面积为xm2,

则x：800000=（1：2000）2,

解得x=0.2m2.

二.其面积约为0.2m2.

点评：留意相像多边形的面积的比是相像比的平方.

8.设a,b是方程x2+x-2022=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2022

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解.

分析：依据根与系数的关系，可先求出a+b的值，然后代入所求代数式，

又由于a是方程x2+x-2022=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再

代入所求代数式可求值.

解答：解：依据题意得a+b=-l,ab=-2022,

a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a-1,

又Ya是x2+x-2022=0的根，

a2+a-2022=0,

，a2+a=2022,

/.a2+2a+b=2022-1=2022.

点评：依据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题.

9.若最简二次根式与是同类二次根式，则x=5.

考点：同类二次根式.

专题：计算题.

分析：依据同类二次根式的被开方数一样可得出关于x的方程，解出即

可.

解答：解：由题意得：x2-4x=10-x,

解得：x=5或x=-2,

当x=-2是不满意为最简二次根式，故舍去.

故答案为：5.

点评：此题考察同类二次根式的学问，难度不大，留意求出x之后检验

是否满意题意.

10.（3分）（2022白下区二模）已知：如图，E（-4,2）,F（-1,-1）,

以0为位似中心，按比例尺1：2,把△EFO缩小，则点E的对应点E'的

坐标为（-2,1）或（2,-1）.

考点：位似变换.

分析：E（-4,2）以0为位似中心，按比例尺1：2,把△EF0缩小，则

点E的对应点E'的坐标是E（-4,2）的坐标同时乘以或-，因而得

到的点E'的坐标为（-2,1）或（2,-1）.

解答：解：依据题意可知，点E的对应点E'的坐标是E(-4,2)的坐

标同时乘以或-，

所以点E'的坐标为(-2,1)或(2,-1).

点评：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k,则原图形上的点(X,

y),经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(-kx,-ky).是

需要记忆的内容.

11.关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，则实数a的范

围为aW且aW6.

考点：根的判别式；一元二次方程的定义.

分析：依据一元二次方程的定义及根的判别式的意义，得出a-6/0且

△=64-36(a-6)20,求出不等式组的解集即可得到实数a的范围.

解答：解：..•关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，

，a-6W0且4=64-36(a-6)20,

解得aW且aW6.

故答案为：aW且aW6.

点评：此题考察了一元二次方程根的状况与判别式△的关系：

(1)△>()方程有两个不相等的实数根；

(2)△=()方程有两个相等的实数根；

(3)△<()方程没有实数根.

同时考察了一元二次方程的定义.

12.无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为m29.

考点：二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用.

专题：压轴题.

分析：二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=(x-3)2-9+m20,

所以(x-3)229-m.通过偶次方(x-3)2是非负数可求得9-mWO,

则易求m的取值范围.

解答：解：由题意，得

x2-6x+m》0,即(x-3)2-9+m^0,

V(x-3)2>0,要使得(x-3)2-9+m恒大于等于0,

.'.m-9N0,

故答案为：m29.

点评：考察了二次根式的意义和性质.概念：式子(a20)叫二次根式.性

质：二次根式中的被开方数必需是非负数，否则二次根式无意义.

13.如图，两条宽度都为1的纸条，穿插重叠放在一起，且它们的交角为

a,则它们重叠局部(图中阴影局部)的面积为

考点：解直角三角形；特别角的三角函数值.

分析：重叠局部为菱形，运用三角函数定义先求边长AB,再求出面积.

解答：解：:AC=,

...它们重叠局部（图中阴影局部）的面积为：

Xl=.

故答案为：.

点评：此题问题中，奇妙的运用三角函数求边长是解题的关键.

14.在RtZ^ABC中，ZC=90°,AB=2,BC=,则tan=

考点：特别角的三角函数值.

分析：先依据题意画出图形，由特别角的三角函数值求出NA的度数，

再求则tan的值即可.

解答：解：如下图，AB=2,BC=,

sinA==,

/.ZA=60°.

tan=tan30°=.

点评：此题比拟简洁，解答此题的关键是熟知特别角的三角函数值，依

据数形结合解答.

15.在Rtz^ABC的直角边AC边上有一动点P(点P与点A,C不重合)，

过点P作直线截得的三角形与AABC相像，满意条件的直线最多有4条.

考点：相像三角形的判定.

分析：过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有

一个公共角，只要再作一个等于4ABC的另一个角即可.

解答：解：①过点P作AB的垂线段PD,则△ADPS/^ACB；

②过点P作BC的平行线PE,交AB于E,则△APEs/iACB；

③过点P作AB的平行线PF,交BC于F,则△PCFs/^ACB；

④作NPGC=NA,则△GCPs/^ACB.

故答案为：4.

点评：此题主要考察相像三角形的判定，用到的学问点：平行于三角形

的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相像；有两个

角对应相等的两个三角形相像.

16.如图，点P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平

行线，分别与直线y=x,直线y=-x交于A,B两点，以AB为边向右侧

作正方形ABCD.有以下五个结论：

①NA0B=90。；②^AOB是等腰三角形；③0P2=2APPB；©SAA0B=3SAA0P；

⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16.

其中正确结论的序号是③④.

考点：一次函数综合题.

分析：①由两条垂直直线的斜率的积等于-1即可判定①NA0B=90°应

选项错误；

②依据等腰三角形的判定定理即可判定②AAOB是等腰三角形，应选项错

误；

③由直线的斜率可知=,=1,依据2()=,即可求得OP2=2APPB,应

选项正确；

④设A(m,m),则B(m,-m),得出AAOP的面积=OPm=mOP,ABOP

的面积=0Pm=OP,从而求得SABOP=2SAAOP,进而得出SAAOB=3SAAOP,

应选项正确；

⑤t=2时依据直线的解析式先求得PA=1、PB=2,进而求得AB=3,所以正

方形的周长=12,应选项错误；

解答：解：①由直线丫=乂，直线y=-x可知，它们的斜率的积=-不-

1,所以NA0BW90°,故NA0B=90°错误；

②•「ABl.x轴，NAOPKNBOP,NA0BW90。

...OAWOB,OBWAB,OAWAB,

...△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；

③由直线的斜率可知：=,=1,

；.2()=,

0P2=2APPB,故0P2=2APPB正确；

④设A(m,m),则B(m,-m),

AAOP的面积=OPm=mOP,ABOP的面积=0Pm=OP,

；.SAB0P=2SAA0P,

/.SAAOB=3SAAOP,

故SZ^AOB=3S^AOP正确；

⑤t=2时，PA=X2=l,

PB=|-1X2|=2,

，AB=PA+PB=1+2=3,

二.正方形ABCD的周长=4AB=4X3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是

16错误；

故答案为③④.

点评：此题考察了直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数

的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③DP2=2APPB的求得是

此题的难点.

三、解答题(共102分)

17.解方程

(1)x2-6x-18=0(配方法)

(2)3x2+5(2x+l)=0(公式法)

考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法.

分析：(1)先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方

程左边配成完全平方式，最终依据直接开平方解可以求解了.

(2)将原方程转化为一般形式，再求出a、b、c的值，最终代入求根求

解就可以了.

解答：解：(1)移项，得

x2-6x=18,

在方程两边同时加上9,得

x2-6x+9=18+9,

左边配方，得

(x-3)2=27,

解得x-3=,

xl=3+3,x2=~3+3

(2)原方程变形为：

3x2+10x+5=0

a=3,b=10,c=5,

二.A=b2-4ac=100-60=40>0,

•.x=9

••x1=9x2=.

点评：此题是一道一元二次方程的解答题，考察了用配方法解一元二次

方程，用公式法解一元二次方程的方法.

18.计算以下各题：

(1)sin60°-tan30°cos60°；

(2)|-1+2-1+(五一)0-tan60°.

考点：实数的运算；零指数嘉；负整数指数塞；特别角的三角函数值.

分析：(1)将特别角的三角函数值代入求解；

(2)分别进展肯定值的化简、负整数指数累、零指数寨等运算，然后合

并.

解答：解：(1)原式=-X

二一•

(2)原式=++-

=1.

点评：此题考察了实数的运算，涉及了肯定值的化简、负整数指数基、

零指数累等学问，属于根底题.

19.先化简，再求值：，其中a满意方程a2+4a+l=0.

考点：分式的化简求值.

专题：计算题.

分析：把原式括号里的其次项提取-1,然后把原式的各项分子分母都分

解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的根本性质对括号

里两项进展通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把

分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以

这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a

满意的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值.

解答：解：原式=

==,（6分）

a2+4a+l=0,a2+4a=-1,

...原式=.（10分）

点评：此题考察了分式的混合运算，以及多项式的运算.分式的化简求

值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全

局，弄清有哪些运算，然后观看能否用法则，定律，分解因式及公式来简

化运算，同时留意运算的结果要化到最简，然后再代值计算.

20.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部

（0点）20米的A点，沿0A所在的直线行走14米到B点时，身影的长度

是变长了还是变短了？变长或变短了多少米?

考点：相像三角形的应用.

专题：应用题.

分析：如图，由于AC〃BD〃OP,故有△MACsaMOP,ANBDs^NOP即可

由相像三角形的性质求解.

解答：解：VZMAC=ZM0P=90°,

ZAMC=ZOMP,

/.△MAC^AMOP.

••，

即，

解得，MA=5米;

同理，由△NBDs/^NOP,可求得NB=L5米，

，小明的身影变短了5-1.5=3.5米.

点评：解题时关键是找出相像的三角形，然后依据对应边成比例列出方

程，建立适当的数学模型来解答问题.

21.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现预备

增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发觉，由于其它生产条件

没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.问应

增加多少台机器，才可以使每天的生产总量到达30976件？

考点：一元二次方程的应用.

分析：设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量到达30976顶，由

于现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现预备增加一批同

类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每

增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品，由此即可列出方程解决

问题.

解答：解：设增加x台机器，

依题意得(80+x)(384-4x)=30976,

解得xl=x2=8.

答：应增加8台机器，才可以使每天的生产总量到达30976件.

点评：考察了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比拟严密，首

先把握现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，然后把握增

加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题.

22.如图，大楼AB的高为16m,远处有一塔CD,小李在楼底A处测得塔

顶D处的仰角为60°,在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°,其中A、

C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD

的高.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题：应用题.

分析：首先分析图形，依据题意构造直角三角形.此题涉及两个直角三

角形，即Rt^BED和RtZiDAC,利用已知角的正切分别计算，可得到一个

关于AC的方程，从而求出DC.

解答：解：作BE_LCD于E.

可得RtABED和矩形ACEB.

则有CE=AB=16,AC=BE.

在RtZXBED中，ZDBE=45°,DE=BE=AC.

在RtZSDAC中，ZDAC=60°,DC=ACtan600=AC.

V16+DE=DC,

；.16+AC=AC,

解得：AC=8+8=DE.

所以塔CD的高度为（8+24）米.

点评：此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三

角函数解直角三角形.

23.已知关于x的方程x2-(2k+l)x+4(k-)=0.

(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，

求出k的值；若不能，请说明理由.

(3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的

两根时，求△ABC的周长.

考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三

角形三边关系；等腰三角形的性质.

专题：压轴题；分类争论.

分析：(1)整理根的判别式，得到它是非负数即可.

(2)两实数根互为相反数，让-=0即可求得k的值.

(3)分6=5b=a两种状况做.

解答：证明：(1)•「△=(2k+l)2-16(k-)=(2k-3)220,

二.方程总有实根；

解：(2)二.两实数根互为相反数，

xl+x2=2k+l=0,

解得k=-0.5；

(3)①当b=c时，则△=(),

即(2k-3)2=0,

.,.k=,

方程可化为x2-4x+4=0,

.'.xl=x2=2,

而b=c=2,

.*.b+c=4=a不适合题意舍去；

②当b=a=4,则42-4(2k+l)+4(k-)=0,

:.k=,

方程化为x2-6x+8=0,

解得xl=4,x2=2,

.♦.c=2,

CAABC=10,

当c=a=4时，同理得b=2,

ACAABC=IO,

综上所述，AABC的周长为10.

点评：一元二次方程总有实数根应依据判别式来做，两根互为相反数应

依据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应留意两种状况，以及两种状

况的取舍.

24.在直角梯形ABCD中，AB〃CD,ZABC=90°,AB=2BC=2CD,对角线AC

与BD相交于点0,线段0A,0B的中点分别为E,F.

(1)求证：ZiFOE且ZiDOC；

(2)求sin/OEF的值;

(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求的值.

考点：相像三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；

三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义.

专题：几何综合题.

分析：(1)由EF是AOAB的中位线，利用中位线定理，得EF〃AB,EF=

AB,又CD〃AB,CD=AB,可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOEg^DOC；

(2)由平行线的性质可知NOEF=NCAB,利用sinNOEF=sinNCAB=,由

勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；

(3)由(1)可知AE=OE=OC,EF〃CD,则△AEGS^ACD,利用相像比可

得EG=CD,同理得FH=CD,又AB=2CD,代入中求值.

解答：(1)证明：TEF是AOAB的中位线，

，EF〃AB,EF=AB,

而CD〃AB,CD=AB,

；.EF=CD,ZOEF=ZOCD,ZOFE=ZODC,

/.△FOE^ADOC；

(2)解：VEF/7AB,

，ZOEF=ZCAB,

•.•在R3ABC中，AC===BC,

sinZOEF=sinZCAB===

(3)解:VAE=OE=OC,EF〃CD,

/.△AEG^AACD,

.•.==,即EG=CD,

同理FH=CD,

••一—•

点评：此题综合考察了全等三角形、相像三角形的判定与性质，勾股定

理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用.关键是由全等、相像得出相

关线段之间的位置关系，数量关系.

25.如图，在Rt/XABC中，NC=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点

C同时动身，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时

动点P从点B动身，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,

设移动时间为t(单位：秒，0VtV2.5).

(1)当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与aABC相像？

(2)是否存在某一时刻3使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，

求S的最小值；若不存在，请说明理由.

考点：相像形综合题.

专题：压轴题.

分析：依据勾股定理求得AB=5cm.

(1)分类争论：△AMPs^ABC和△APMs^ABC两种状况.利用相像三角

形的对应边成比例来求t的值；

(2)如图，过点P作PHJ_BC于点H,构造平行线PH〃AC,由平行线分线

段成比例求得以t表示的PH的值；然后依据“S=S4ABC-S4BPH”列出

S与t的关系式$=(t-)2+(0<t<2.5),则由二次函数最值的求法

即可得到S的最小值.

解答：解：•.•如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.

...依据勾股定理，得=5cm.

(1)以A,P,M为顶点的三角形与AABC相像，分两种状况：

①当△AMPs^ABC时，=，即=,

解得t=；

②当△APMs/SABC时，=，即=,

解得t=0(不合题意，舍去)；

综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与aABC相像；

(2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下：

假设存在某一时刻t,