大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-2-微积分基本定理

《微积分A》习题解答习题4.2(P217)1．求下列导数.d1sint(1)dttdx∫xdsintdsintsinxdt=−x∫∫dt=−1x解：(2)dxtdxtx1ddx∫x21+t2dt0ddx∫x21+t2dt=1+(x2)2⋅(x2)′=2x1+x4解：0ddx∫sinxt2edt2(3)ddx∫sinxt2dt=−esin(sinx)′=−esinxx22cosx2解：eddx∫x2exlnt(4)dttddx∫x2exlntdt=lnex(ex)′−lnx24lnx(x2)′=x−解：tx2xexdy∫0∫0yetdt+3xcostdt=0，求.dx2.设解：两端同时对x求导，得ey⋅dy+3cosx=0，所以dy=−3cosxdxdxey⎧x=∫tulnudu⎪dydx⎨3．设11，求u2lnudu.y=∫⎪⎩t=tlnt，所以dy=−tdx=−t2lnt，2lnt=−tdydxdt解：dttlnt4．求下列极限.第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理1/4《微积分A》习题解答xcostdt20∫(1)limx→0xxcost2dt=limcosx2∫解：limx→0=10x1x→0e−t21dt∫(2)limcosxx2x→0e−t2dt1−e−cos2x(−sinx)=e−1=12x∫=limx→0解：limcosx22ex2x→0sinxtantdtsintdt∫(3)lim0x→0∫tanx0sinxtantdt=limtan(sinx)⋅cosx=limtan(sinx)sin(tanx)sec2xsin(tanx)∫解：lim0x→0∫tanxsintdtx→0x→00=limxtan(sinx)无穷小代换x→0xsin(tanx)tan(sinx)sinxtanxlimx→0⋅sin(tanx)tanx⋅limtan(sinx)=limsinxttant=limx→0⋅limt→0tsin(tanx)sintx→0t→0tant无穷小t=limtant=limlim=1x→0代换tsintt→0x→0sint⎛⎜⎞⎟∫∫2∫x2et2xet2dtdtdt⎝⎠(4)lim或limx→0（书中习题有错误）00∫x→0xte2t2xte2t2dt00∫x2edtt2=lim2xex4解：limx→0=20∫x→0xe2x2xte2t2dt0⎛⎞⎟⎛⎞⎛⎜⎞⎟dt⎠∫2∫∫⎜⎜⎟xet2dt2xet2dtex22xet2或lim⎝x→0⎠=limx→0⎝⎠=limx→0⎝=2=lim2ex2x→0000∫x1xe2x2xte2t2dt0∫5．设F(x)=x(t0−x)f′(t)dt，求F′(x)22第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理2/4《微积分A》习题解答∫f′(t)dt−x2∫xf′(t)dt，解：F(x)=xt020∫则F′(x)=xf′(x)−2xxf′(t)dt−x0f′(x)22∫=−2xxf′(t)dt=−2x[f(x)0]=−2x[f(x)−f(0)]x0∫6.求F(x)=xte−t2dt的极值.0解：令F′(x)=xe−x2=0，得驻点x=0，且当x(,0)时，F′(x)<0，当x(0,)∈−δ∈δ时，F′(x)>0，故x=0为极小值点，极小值为F(0)=0xtf(t)dt7．设f(x)为连续正值函数，证明：当x>0时，F(x)=∫0为单调增加函数.xf(t)dt∫0xf(x)∫f(t)dt−f(x)∫tf(t)dtf(x)∫∫(x−t)f(t)dtxxx解：F′(x)==，000⎛⎜⎞⎟⎛⎜⎞2xf(t)dt⎟⎠∫2xf(t)dt⎝⎠⎝00∫由假设，当0<t<x时，f(t)>0，(x−t)f(t)>0，所以F′(x)>0(x>0)，从而当x>0时，F(x)为单调增加函数(x−t)f(t)dt>0，所以x08．计算下列定积分.(1)3xdx3∫1解：∫3xdx=1x4=1(3−1)=204433141x(1+x)dx9(2)∫4913x(1+x)dx=x2+x)dx=(x2+1x2)=(2271=45166∫解：∫9493244π(3)∫4πsecxtanxdx−4第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理3/4《微积分A》习题解答π解：被积函数是奇函数，且积分区间关于原点对称，所以∫secxtanxdx=04−π43dx(4)∫1221−x2=π6dx解：∫33=arcsinx22121−x12221−xdx0(5)∫=x−1x2)+(x2−x)=1+1=1111∫∫∫1−xdx=1(1−x)dx+2(x−1)dx(解：22222010003(x+1)edxx2(6)∫3(x+1)edx=+∫2(e+xe)dx=xex33=3e−2e2解：∫x3xx22⎧⎨⎩x2x∈[0,1)xx∈[1,2]∫9.设f(x)=，求Φ(x)=xf(t)dt在[0,2]上的表达式，并讨论Φ(x)在0(0,2)内的连续性.∫3解：当x∈[0,1)时，Φ(x)=xtdt=x2，30x当x∈[1,2]时，Φ(x)=∫1tdt+xtdt=1+t232∫2=x−1226011⎧x3x∈[0,1)，由于Φ(1)=1，limΦ(x)=limx=1=Φ(1)，⎪⎪3故Φ(x)=3⎨⎪x2−126333x→1−x→1−x∈[1,2]⎪⎩limΦ(x)=lim(−1)=1=Φ(1)，故Φ(x)在(0,2)内的连续.x2263x→1x→1++第4章一元函数积分学第2节微积分基本定理4/4-------------------------赠予------------------------【幸遇•书