2021-2022学年浙江省丽水市水阁中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年浙江省丽水市水阁中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；

④．其中为“柯西函数”的个数为（）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B由柯西不等式得：对任意实数恒成立(当且仅当取等号），若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则函数在其图象上存在不同的两点，使得共线，即存在过原点的直线与的图象有两个不同的交点：对于①,方程,即，不可能有两个正根，故不存在；对于②，，由图可知不存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选B.

2.函数（）的图像关于点对称，则的增区间（

）A．

B．C．

D．参考答案：C3.若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．4.（理）已知函数，则下列关于函数的零点的个数判断正确的是A．当时有3个零点，当时有2个零点。B．当时有4个零点，当时有1个零点。

C．无论取何值均有2个零点

D．无论取何值均有4个零点。参考答案：B5.“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．解答：解：2a＞2b?a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．∴“log2a＞log2b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．6.已知椭圆的半焦距为，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B,C两点,若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.函数的单调递增区间是Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：D8.若平面，，满足，，，，则下列命题中的假命题为A．过点P垂直于平面的直线平行于平面B．过点P在平面内作垂直于的直线必垂直于平面C．过点P垂直于平面的直线在平面内D．过点P垂直于直线的直线在平面内参考答案：D9.执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C本程序为分段函数，当时，由得，，所以。当时，由，得。所以满足条件的有3个，选C.10.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：C设从高二应抽取人，则有，解得，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的首项，其前和为，且满足．若对任意的，恒成立，则的取值范围是

．参考答案：由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得，，从而；得，，从而，由条件得，解之得12.设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则+z2的虚部为

．参考答案：﹣1【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵z=1﹣i（i为虚数单位），则+z2==﹣2i=﹣2i=﹣i，其虚部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，，则的值为____________参考答案：14.设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为______．参考答案：15.（5分）（2015?钦州模拟）设经过点（﹣4，0）的直线l与抛物线y=的两个交点为A、B，经过A、B两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l的斜率等于．参考答案：【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，设两个切点是A（x1，y1），B（x2，y2），若PA与PB垂直，则x1?x2=﹣8k=﹣1，∴k=，故答案为：．【点评】：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．16.已知数列为等差数列，若，，则公差

．参考答案：417.设A={（x，y）|x2﹣a（2x+y）+4a2=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A?B成立，则实数b的最大值为．参考答案：2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】用x表示出y，利用基本不等式计算的最小值，即可得出b的最大值．【解答】解：由x2﹣a（2x+y）+4a2=0得：y=x2﹣2x+4a，则=||，当ax＞0时，≥2=4，∴||≥|4﹣2|=2，即≥2，当ax＜0时，≤﹣2=﹣4，∴||≥|﹣4﹣2|=6，即≥6，∵对任意实数a，均有A?B成立，即||y|≥b|x|恒成立，即≥b恒成立，∴b≤2，故答案为2．【点评】本题考查了集合的包含关系，不等式的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点,，交的延长线于点,交于点．（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若，求的值．参考答案：（Ⅰ）连接，可得，

∴

..............3分

又，∴，又为半径，∴是圆的切线；

..........5分（Ⅱ）过作于点，连接，则有，

...............7分

设，则，∴

...............8分

由可得，又由，

可得．

...............10分19.几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持

不支持

合计

（2）若对年龄在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓极小值↓极小值↓当1＜a＜时，g（x）在上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，20.（本小题满分12分）设函数的图像过点（．（1）求；

（2）求函数的周期和单调增区间；（3）画出函数在区间上的图像．

参考答案：(1)；(2)周期是，增区间是；（3）见解析．

所以函数-----8分（3）x0－1010

----10分故函数

-------12分

考点：三角函数的周期，单调性，列表描点画图．21.设函数,其中为自然对数的底数.(Ⅰ)时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)函数是的导函数，求函数在区间上的最小值．参考答案：(Ⅰ)时，∵，∴，∴曲线在点处的切线方程为即

………6分

(Ⅱ)，，（1）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递增,所以.（2）当时,∵，，∴恒成立，即,在上单调递减,所以.（3）当时，得在上单调递减,在上单调递增,所以

………12分22.（12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值．参考答案：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．…………………4分

(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

……5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．