2022年广东省湛江市东海区中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年广东省湛江市东海区中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,，若,则实数a的取值范围是（

）

A．(-∞,-1]

B．[1,+∞）

C．[-1，1]

D．（-∞，-1]∪[1，+∞）参考答案：C2.函数的部分图象如图所示，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得函数g(x)的图象，则g(x)＝A.

B.C.

D.参考答案：D3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为：=，故④不正确．故选：C．4.函数f（x）=x3+sinx+2（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．5 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件求得求得a3+sina=0，从而求得f（﹣a）=（﹣a3﹣sina）+2的值．【解答】解∵：函数f（x）=x3+sinx+2（x∈R），若f（a）=a3+sina+2=2，∴a3+sina=0，则f（﹣a）=（﹣a3﹣sina）+2=2，故选：D．5.设，则“”是“直线与直线平行”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A若，则，解得或。所以是充分不必要条件，选A.6.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A，在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.

7.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=（

）A.96 B.72 C.48 D.36参考答案：B【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知点F1是抛物线的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，设其中一个切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由抛物线方程得到坐标；设切点，利用导数和两点连线斜率公式构造方程可解出，利用抛物线焦半径公式求得，勾股定理求出；由双曲线定义可知，又焦距，可求得离心率.【详解】由题意得：，由得：，则设，则切线斜率，解得：由抛物线对称性可知，所得结果一致当时，由抛物线定义可知：

在双曲线上

又

双曲线离心率：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到抛物线焦半径公式的应用、过某一点曲线切线的求解、双曲线定义的应用等知识；关键是能够利用导数和两点连线斜率公式求解出切点坐标，从而得到所需的焦半径的长度.9.过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】设，，则，，，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解．【详解】设，，则，，直线的方程为：，联立，可得，∴，，∴，故选D．10.若i为虚数单位，m,nR，且=n+i

则|m-n|=A.0

B.1

C.2

D.3

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），则=，令g（a）=，则g′（a）=＞0，则函数g（a）为增函数，∴∈．故答案为．12.若集合的子集只有两个，则实数a=___________．参考答案：0或【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零．【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素。当时，；当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得。综上，当或时，集合只有一个元素。故答案为：或。【点睛】解题时容易漏掉的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．13.如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.图2

参考答案：3614.已知无穷数列具有如下性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为___________（用表示）参考答案：略15.已知点的坐标满足，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为__________________．参考答案：4

16.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为

；参考答案：17.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值是的集合；（Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求的最小值.参考答案：（Ⅰ）

……的最大值为……分要使取最大值，

故的集合为

……分注：未写“”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.（Ⅱ）由题意，，即化简得……分，，只有，…分在中，由余弦定理，……………分由知，即，当时取最小值……………分注：不讨论角的范围扣1分.

19.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ），，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为X05001000P（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B，则，抽奖所获奖金X的均值E（X）=E=400E（ξ）=480，故选择方案甲较划算．20.（本题满分12分如图，四边形为矩形，且，，为上的动点。（1）当为的中点时，求证：；（2）设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。参考答案：方法一：（1）证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，

则，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……4分

（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）（2）如图过作于，连，则，………6分

∴为二面角的平面角．

……………8分

设，则．……………9分于是………………10分，有解之得。点在线段BC上距B点的处。………12分方法二、向量方法．以为原点，所在直线为

轴，建立空间直角坐标系，如图………………1分（1）不妨设，则，从而，………2分于是，所以所以

………………4分（2）设，则，则

………………6分易知向量为平面的一个法向量．设平面的法向量为，则应有

即解之得，令则，，从而，………………10分依题意，即，解之得（舍去），………………11分所以点在线段BC上距B点的处。………………12分21.如图，在四面体ABOC中,,且.（Ⅰ）设为为的中点，证明：在上存在一点，使，并计算的值；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

参考答案：解法一：（Ⅰ）在平面内作交于，连接。又，，。取为的中点，则。

在等腰中，，

在中，，

在中，，

.（Ⅱ）连接，由，知：.又，又由，.是在平面内的射影.在等腰中，为的中点，根据三垂线定理，知：,为二面角的平面角.在等腰中，，在中，，中，.解法二：（Ⅰ）

取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）,