上海民办当代中学高三数学文下学期期末试题含解析

上海民办当代中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为A.

B.C.

D.参考答案：D略2.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为(

)A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1参考答案：A【考点】函数的零点．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．3.函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（）A． B． C．D．参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】由题意，函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，θ=2kπ+，（k∈Z），即可求出tanθ．【解答】解：由题意，函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，∴θ=2kπ+，（k∈Z）∴tanθ=，故选D．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础．4.已知函数的部分图像如图所示，若图中在点处取得极大值，在点处取得极小值，且四边形的面积为32，则的值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D5.已知函数满足对任意，都有

成立，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知实数满足则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为，把三个点分别代入检验得：当时，取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A：误把的最大值当成的最大值；错选B：误把的最小值当成的最大值；错选C：误把的最小值当成的最大值.7.设等差数列{}的前n项和为,已知,,则=(

)A.-2013

B.2013

C.-2012

D.2012参考答案：C8.下列各组对象中不能形成集合的是（）A．高一数学课本中较难的题B．高二（2）班学生家长全体C．高三年级开设的所有课程D．高一（12）班个子高于1.7m的学生参考答案：A考点： 集合的含义．专题： 常规题型；集合．分析： 集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．解答： 解：高一数学课本中较难的题不满足确定性，故不是集合；故选A．点评： 本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．9.已知为等比数列，，，则（

）

参考答案：D10.设复数，，其中i为虚数单位，则A．－4 B．3i C．－3+4i D．－4+3i参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知菱形ABCD中，对角线AC＝，BD＝1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为_______．参考答案：【分析】由AC⊥BD得，以对角线BD，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，设P（x，y），.由可得，代入，根据二次函数的性质可求取值范围.【详解】由AC⊥BD得，以对角线BD，AC分别为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝，BD＝1，∴，∵P是AD边上的动点，设P（x，y），，，∵，∵∴根据二次函数的性质可知，当x＝时，最小值为.当x＝时，最大值为.所以，的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的应用，二次函数性质的应用，属于中档题.12.若函数满足，且，则

_.参考答案：

13.已知数列{an}首项为，且，则为________.参考答案：31【分析】构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求【详解】是以2为首项，以2为等比数列故答案为：31．【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法

迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，14.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程为，它与曲线相交于两点A,B，则∠AOB=

；参考答案：略15.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为

▲

．参考答案：略16.若，则________.参考答案：17.在的展开式中，若第项的系数为，则

.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，设函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的值域.参考答案：解：（1）

∴的最小正周期为

…………4分由得的单调增区间为

…………8分（2）由（1）知又当

故从而的值域为

………14分本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的运用。（1）将函数化简为单一函数，

，然后运用周期公式得到结论。（2）由（1）知，结合定义域求解得到，根据函数图像得到结论。19.在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得结论；（2）直线与曲线联立，利用弦长公式，建立方程，即可求a的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0）可得ρ2sin2θ=2aρcosθ．可得：曲线C的普通方程为：y2=2ax；直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2=0；（2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a=0，∵|AB|=2，∴=2，解得a=﹣5或1．20.（本小题满分12分）

双胞胎姐弟玩数字游戏，先由姐姐任想一个数字记为，再由弟弟猜姐姐刚才想的数字，把弟弟想的数字记为，且

（1）求姐弟两人想的数字之差为3的概率；

（2）若姐弟两人想的数字相同或相差1，则称“双胞胎姐弟有心灵感应”，求“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率.参考答案：解：（1）所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个.

………2分记“两人想的数字之差为3”为事件A，

……………3分事件A包含的基本事件为：

（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），共计6个.

…………4分∴两人想的数字之差为3的概率为

………………6分

（2）记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，

……7分事件B包含的基本事件为：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）

（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），

（1，5），（5，1），（1，6），（6，1），共计16个.

……10分∴“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率为

……………12分

略21.（本小题满分14分）设函数.（1）若，求的最小值；（2）若当时恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）时，，.当时，；当时，.所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为（2），ⅰ.当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，而，于是当时，

.ⅱ.当时，由得当时，，所以在上递减，而，于是当时，，所以在上递减，而，所以当时，.综上得的取值范围为.22.已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y），得到关系式化简即可得出曲线Γ的方