2021-2022学年浙江省嘉兴市外国语学校高三数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年浙江省嘉兴市外国语学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线y2=2px（p＞0）过点A（，），其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为（）A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的方程，可得直线AB的方程，再联立，求出M的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）过点A（，），∴p=2，∴抛物线y2=4x，∵准线与x轴交于点B，∴B（﹣1，0），∴直线AB的方程为y=（x+1），代入y2=4x，整理可得2x2﹣5x+2=0，∴x=2或，∵=λ，∴λ==2，故选C．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系的运用，属于中档题．2.设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，得到关于x0的方程，求出x0的值，从而求出a即可．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f（x﹣2）=4+log2（x﹣2），又x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，∴4+log2x0+4+log2（x0﹣2）=10，∴=2，∴﹣2x0﹣4=0，解得：x0=1﹣（舍）或x0=1+，而3＜1+＜4，故a=3，故选：B．3.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a＝，c＝2，A＋C＝，则b＝A．

B．6

C．7

D．8参考答案：C6.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则的取值范围是()A.

B.

C. D.参考答案：C略7.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）参考答案：C8.直线和直线平行，则（

）A．

B．

C．7或1

D．参考答案：B略9.设，则A. B. C. D.

参考答案：B本题考查指数与对数的比较大小。，，，所以；选B。

10.已知全集，集合A=，集合B=则右图中的阴影部分表示A、

B、

C、

D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?兰山区校级二模）函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是．参考答案：（﹣1，﹣1）【考点】：指数函数的单调性与特殊点．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用a0=1（a≠0），取x=﹣1，得f（﹣1）的值，即可求函数f（x）的图象所过的定点．解：当x=﹣1时，f（﹣1）=2a1﹣1﹣3=﹣1，∴函数f（x）=2ax+1﹣3的图象一定经过定点（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）【点评】：本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．12.定义“正对数”:,现有四个命题:①若,则;②若,则③若,则④若,则其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)

参考答案：①③④13.=．参考答案：【考点】极限及其运算．【分析】利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．【解答】解：==（+）=，故答案为：14.（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为

．参考答案：15.给出下列四个命题：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是④函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．其中真命题的序号是．（请填上所有真命题的序号）参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断．③根据几何概型的概率公式进行判断．④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可．【解答】解：①命题“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”；故①正确，②函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x2﹣y2=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；正确，当点P的坐标满足y=时，函数f（x）为奇函数．故②正确，③若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是．如图．所以③错误④因为函数y=log2（x2﹣ax+2）在[2，+∞）上恒为正，所以在[2，+∞）上x2﹣ax+2＞1恒成立，即：在[2，+∞）上恒成立，令，因为x≥2，所以，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=，所以．则实数a的取值范围是（﹣∞，）．故④正确，故答案为：①②④16.三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰三角形，，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为

．参考答案：20π17.若实数x，y满足xy+3x=3(0＜x＜)，则的最小值为

．参考答案：8【考点】基本不等式．【分析】实数x，y满足，可得x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x=∈，解得y＞3．则=y+3+=y﹣3++6≥+6=8，当且仅当y=4（x=）时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于三次函数。定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）参考答案：解析：（1）依题意，得：

，。……2分

由

，即。∴，又，

∴的“拐点”坐标是。……4分

（2）由(1)知“拐点”坐标是。

而=

==，由定义(2)知：关于点对称。……8分一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。………………………10分（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或。…………12分19.（本小题满分12分）岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．参考答案：20.(15分)设函数，。

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）是的导函数，①证明：当时，在上恰有一个使得；

②求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。注：为自然对数的底数。参考答案：解：（1）当时，--------------------------------------2分

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是-------------------------4分

（2）（ⅰ）------------------5分

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增-----------------7分

又因为，所以在上恰有一个使得.--------------------------------------------------9分

（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，

，不符题意。-------------------------------------------------10分

由（ⅰ）知在递减，递增，设在上最大值为则，若对任意的，恒有成立，则，------------------------------------13分由得，，又，。-------------------------------------------------------------------------15分

略21.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．【解答】解：（1）∵ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρcosθ=0，∴x2+y2﹣x2﹣4x=0，即y2=4x．（2）把为为参数，θ为倾斜角）代入y2=4x得：sin2θ?t2﹣4cosθ?t﹣4a=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣，∴====，∴当a=2时，为定值．22.（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且。

（1）求证：平面

（2）求二面角的大小的正切值．参考答案：