形态各异的圆锥计算题

形态各异的圆锥计算题近年来，对圆锥问题考查花样繁多，不局限于几个简单“小问题”的叠加，而是呈现多角度，深层次特点，常见问题有：一.求母线长例1（2010山东威海）一个圆锥的底面半径为6cm,圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°,则圆锥的母线长为（）A．9mB．12m C．15mD．18m解析A．9mB．12m C．15mD．18m解析:底面的圆周长=2兀12兀x6=12兀，侧面展开图是扇形，设圆锥的母线长为a,则其弧n兀a 240兀a180 180•・•底面的圆周长=侧面展开图弧长，240兀a , ,••.12兀=-^-,解得母线长180a为9cm.选A.点评:圆锥的侧面展开问题是中考的热点之一,就本题而言,抓住等量关系“圆锥底面的圆周长=圆锥侧面展开图的弧长”是解决圆锥底面半径、母线长、侧面展开图圆心角之间关系的关键.二.求底面面积例2（2010茂名）如图1是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是13cm,高是12cm,则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是（ ）A.10^cm2 B.25兀cm2C.60兀cm2 D.65兀cm2解析:由勾股定理可以求得这个圆锥形冰淇淋的底面半径是<132-122=5.所以它的底面圆的面积是25兀cm2.选B.点评:本题主要是结合圆锥来求底面圆的半径,培养学生的综合应用能力.三.求侧面积例3（2010浙江湖州）如图2在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,若把及△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（）A.6兀B.9兀C.12兀D.15兀解析:圆锥的侧面中考是个扇形，其弧长为圆锥底面圆的周长，即6兀，其半径是圆锥的母线长，即BC的长，然后再利用扇形的面积公式S=1义弧长义半径=1*6兀义5=15兀，故选D.点评:与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容,主要考点有：弧长和扇形面积及其应用等,其中扇形与圆锥的侧面展开问题是中考的热点之一.四.求最短路程例4（2010湖北孝感）如图3,圆锥的底面半径为5,母线长为20,一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（ ）A.8 B.10.2C.15<2 D.20A/2解析:圆锥的侧面展开图是扇形，其半径为20,弧长为10n,设圆心角为n兀x20s .. . 、，一n°,——=10兀,n=90°.求蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面180爬行一周后回到点A的最短路程为:%：202+202=20,/2.选点评:本题考查圆锥的侧面展开图，需要将空间问题转化成平面图形问题，需要有一定的空间想象能力.五.求底面圆半径例5（2010黄石市）如图4，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60的扇形AB。，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为A．TOC\o"1-5"\h\zv3 3A． D. \o"CurrentDocument"3 4解析:连结BC、OB、OC显然AABC是等边三角形，由此求出AB=\；3,\o"CurrentDocument"求得弧长BC=黑•兀々W=£兀，可求得底面半径r=W，选B.180 3 6点评:此题的难度较大，先要算出等边三角形的边长，这也是大圆的半径，再算弧长BC，最后算出围成圆锥的底面圆的半径..求圆锥的高例6（2010山东济宁）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去1圆3周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A.6cmB.3七5cm C.8cmD.5v3cm解析:从图形可以看出，圆锥的母线长是原的半径9cm,减去1圆周后剩下的扇形的弧长恰32好是圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r,则2nr=—x2n义9,解得r=6cm,设圆3锥的高为h，则h=v92-62=3%；5cm.选B点评:圆锥的侧面展开图是将圆锥沿一条母线剪开得到的一个扇形,它的半径为圆锥的母线长,弧长为圆锥的底面圆的周长.圆锥的高、母线、底面圆的半径构成一个直角三角形；反过来,用一个扇形围一个圆锥时,圆锥的母线是扇形的半径,圆锥的底面圆的周长为扇形的弧长,由此可求出底面圆的半径,再在直角三角形中,可求圆锥的高..求圆心角例7（2010鄂尔多斯）如图6,现有圆心角为90°的一个扇形纸片,该扇形的半径为50cm,小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目,她打算剪去部分扇形纸片后,利用剩下的纸片制作一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是度.解析:圆锥底面半径为10cm,・••底面周长为20ncm,即展开后扇形的弧长为20ncm,\•该扇形半径为50cm,所以根据弧长公式可得20兀=而日。，解得］=