新课程学案必修第一册文件第一章

第一章[即时 ③接近5解析：①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②③不能构成集合，因为“难题”“接近5的所有实数”你能列举出几个用集合表达的与数学有关的例子吗？并例子中集合的元素是什AaAaAa∈Aa不AaAa∉A.a与{a}的区别，{a}表示的是一个集合，a是集合{a}中的一个1，|x|}与{x，x2}相等，由两集合含有相同的元素，可得{x，x2}一定含有－1这个元素，因为x2≥0x＝－1，进而求得这个集合．[即时若a2－3与1是同一个集合中的两个元素，则a的取值范围 A31,2，a2，B32,1,9A，B NZQR自然语言法：10的所有的自然数组成的

D＝{x∈R|x<10}D＝{x|x<10}； 解析：满足－1<x<40,1,2,3，7 Q， R，2＋ 7答案：∈ ∈

－1，0.5组成的集合有5个元 100的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排

0.5组成的集合只有3个元素 100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一个集合．Dx2＋1＝2x有两个相等的实数根，x1＝x2＝1D正确． B20解析：BCD由于“高科技”A不能组成一个集合．Bx，可以明确地判断它是不是“20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x<0x>20”，两者必居其一，且仅居其一，故“20的非负数”能组成一个集合．Cxx2－16＝0在实数范方程

2－典例]Axx＝m＋2nmn2－(1)试分别判断x1＝－2，x2＝ ，x3＝(1－22)2与集合A的关系 (1)x1＝－2＝0＋(－1)×2，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x 2＋ x 2 22－

22x3＝(1－22)2＝9－42＝9＋(－4)×2，9，－4∈Zx3∈A.(2)证明：x1，x2∈Ax1＝m1＋x2＝m2＋2n2m1，n1，m2，n2∈Z，x1·x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)＝m1m2＋＝(m1m2＋2n1n2)＋x1·x2∈A.1．已知集合A＝{x|x≤23，且x∈R}，a＝14，b＝22，则( A．a∈A且b∉A B．a∉A且b∈AC．a∈A且 D．a∉A且 ∵集合A＝{x|x≤23，且x∈R}，a＝14，b＝22，∴由14>23，可a∉A22<23

＝3＝4

＝3＝4 4＝4⇒k＝3，k

4k＝4⇒k＝16，k4

3⇒k＝12，k

[解 (1)解方程组

故解集可用描述法表示为 ，也可用列举法表示为 y＝x2＋2x－10y，y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为(x，y)，

17082,3,5,7，B＝{2,3,5,7}，有限集．

3 y＝－2x2＋xE＝{(x，y)|y＝－2x2＋x}，无限 －1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}9A. 1种有序数组．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝( B．－3或 ∵集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且∴a2＋4a＝－3a－2＝－3，a＝－1a＝－3.a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，舍去；a＝－3时，A＝{12，－3，－5}，符合题意． 强化探 a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋anAn元“创新集”． 解：(1)－1或3.(答案不唯一 a1＋a2＝a1·a2＝m，x2－mx＋m＝0的两个实数根，Δ＞0m＜0m＞4.a1·a2＜0a1·a2＞4.[“四翼”检价 2,3,4,3,6,26O1

异性，构成的集合为{2,3,4,6}4个元素，故(4)错误；在(5)中，“O的距离等1的点的全体”的对象是确定的，故(5)正确． 2∈QD正确．

∴列举法表示为{－1，2}D正确． BB、

A．2 解析：选ACD 2020＝4×505＋0，所以2020∈A0，故A正确；若a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A2，或a∈A2，b∈A1或a∈A0，b∈A3或a∈A3，b∈A0，故B不正确；－1＝4×(－(n－m)∈Z，故a－b∈A0，故D正确． 已知集合A＝{－1,0,1}，则集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 解析：集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，则集合B中元素的个数是5. B＝{1，－2,0}A＝Ba＝1.A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}A，B9，a的值．∴2a－1＝9a2＝9时，a＝±3a＝3，B＝{9，－2，－2}B不满足元素的互异性．a＝－3，A＝{－4，－7,9}，a的值为－3.16

a＝－4，∵16∈N8－x1,2,4,8,16，∴x∵x∈N，∴x∴162,4,8,16，

x＝0时，y＝5x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝1， 解析：选B 因为A＝B，所以－1＝a或－1＝b，a＝－1时，b＝a2＝1，此时(ab)2021＝(－1)2021＝－1；b＝－1a2＝aa≠0，若a，b∈R，且 |b|的可能取值所组成的集合中元素的个数a

ab

ab＝ab

ab ＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B＝{1,2,3,6}，则A中的元素与B中的元素组成的 x＝－3时A＝{－6,0,6}AB中的元素组成的集合为 解析：当a＝0时，方4x＋4＝0，解得x＝－1，此时P＝{－1}，满足题意答案：0

.2a的取值范围是a|2≤a<.2 则＋a a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.a∈A，b∈Bm∈Ma＋b＝m.ABA⊆B(A⊆Bx∈BAABAB(BABB的任何一个元素都是集AAB相等A，B，CA⊆BB⊆CABAB中的元素，即x∈Ax∈B.例如，{0,1}⊆{－1,0,1}0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．集合A)，记作 B＝{1,2,4}，集合A中的元素0不属于集合B，说明集合A不是集合B的子集，即集合A不含于集合B.＝BABAB理解真子集的概念时，需明确：ABA⊆B，只要满足至少有一个元素3∉A,4∉AAAB.[即时1．用“⊆ 已知集合M＝{x|x是菱形}N＝{x|x是正方形}则集合M与集合N的关系 解析：N答案：N 记作A≠∅，则∅0，{0}，∅与{∅}∅∅与∅与∅是集合；0数∅∅不含任何元素；{∅}一个元素，该元素是∅∅{∅}或AB的子集． 空集．对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故集合(5)是空集．选择适当的符号(“∈”“∉”“”“”“＝”) 答案：(1)＝

B＝{x|x<5}A，BAM＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}N

A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}Bn

＝0n 2．(多选)已知集合A＝{1,2,3}，Y＝{x|x⊆A}，则下列结论正确的是 {1}⊆YC.∅Y

{1}∈Y，故A错误，B、C、D正确 集合M＝α|α＝2，k∈Z，N＝α|α＝2，k∈Z，因为k∈Z表示所有 整数，2k±1M⊆N. 1234A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}A 1212433874AnA2n 所有非空子集的元中出现4次．故所求和为(1＋3＋5)×4＝36.2．已知集合A＝{(xy)|xy＝2xyN，试写出A的所有子集及真子∴A的子集有A的真子集有

已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m[解 (1)当B≠∅时，如图所示

综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．m的取值范围 (2)当B≠∅

若本例条件“BA”改为“A⊆Bm解：A⊆B

∴mm

若A⊆B，则实数a的值为( B．0或C．0或 D．0或1或 a≠0时，A＝{0，a}A⊆B，∴a＝1a＝2，综上所述，a＝0,12.已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1≤x≤a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是( 1．(2013·卷Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x>5或x<4}，B＝{x|－5<x<5}，则( C．A D．B 用数轴表示集合A，B，如图所示．由图知，BA.故选 解析：选D 当a＝1，b＝2时，x＝6；当a＝1，b＝3时，x＝12；a＝0，b＝2时，x＝4；a＝0，b＝3时，x＝9.M＝{4,6,9,12}．2．设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，－b2}．若A⊆B，则a－b＝( C．－2或

A⊆B，则有

强化探3．(多选)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是( AS＝{a＋b3|a，b为整数}BS0∈SDSS⊆T⊆RT A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b13，y＝a2＋b2∈Z)x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)3a1＋a2，b1＋b2x＋y∈S，同理可x－y∈S，xy∈S；Bx＝y时，0∈S；CS＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；DS＝{0}⊆T＝{0,1}S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是(1){a1，a3}是E的第 (2)E的第211个子集 故{a1，a3}E5个子集．

E211个子集为 [“四翼”检价 解析：选C 示实数集，因为Z⊆Q，N⊆R，N⊆Q，N*⊆Z，所以A、B、D错误，C正确，故选C. A．A B．A ∵B＝x，yx＝1＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴B 解析：选B 4．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( 已知集合M{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有 A．3 B．4C．5 D．6 {7,8}6 {1,2}，{1,3}，{2,3}7已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围 解析：因为∅{x|x2＋x＋a＝0}x2＋x＋a＝0Δ＝1－4a≥01 答案：a| 若集合A＝{x∈N|x2<24}，B＝{a}，B⊆A，则a的最大值 4.G＝{x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H＝{x|x是有一个内角为直角的平行四(2)不难看出，CD1和－1C＝D.(3)EF，如图所示：F(4)x∈Gxxx是x∈HG⊆H.解：A＝{4}A⊆B4∈B，16－8(a＋1)＋a2－1＝0，a＝1a＝7.1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是( 解析：选B 因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系 C．A D．A解析：选D 当k＝2m(m∈Z)时，A＝{x|x＝6m，m∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}AB. 集合A＝xx＋1∈Z，x∈Z的真子集个数 2＝－1∈Z x＝－2时，2 2＝2∈Z；当x＝1 2＝ 24－1＝15.

求的集合A的各个元和为 ∴所有满足要求的集合A的各个元和为AC2BCA2，B2，C⊆{0,2,4,6,7}C⊆{3,4,5,7,10}，C是{4,7}的子集，C＝{4,7}或{4}或{7}．3设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合 (1)abA⊆Ba的值；若(2)A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)

(2)由(1)A⊆B

第一并集和交A＝{1,2,3}，B＝{1,2}A∪B＝{1,2,3}A∪B＝{1,1,2,2,3}，因此不能简单A∪BAB的所有元素并在一起组成的集合． 解析：M∪NMN A∩B＝∅. 并 (2)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B (1)由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为

已知集合A＝{1,2}B满足AB＝{1,2,3}，则满足条件的集合B B．3C．4 D．1解析：选C 集合B满足A∪B＝{1,2,3}，若集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝( A．{x|x<－3或x>5} D．{x|x<－5解析：选D N＝{x|x<－5或x>5}，交[典例](1)已知集合A＝{x∈N|1≤x≤9}，B＝{x|0<x<5}，则 (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( 则A∩B＝{1,2,3,4}．

解析：选D 求x＝3n－1＝6,8,10,12,14的整数解，x＝3n－1＝8,14有整数解，此时n＝3,5，所以A∩B＝{8,14}有2个元素，故选D. 解析：选C 集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，所以T⊆S，则S∩T＝T.故选C.

5k的取值范围为kk≤2

数m的取值范围是( 1A.mm≥3 C.{m|m≤0 1B.m0≤m<3

解析：选 由A∩B＝∅，B＝∅ B≠∅

1 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的 且集合B中至多有一个元素，B只能为单元素集或∅.22. .2m构成的集合为0，12 1．(2020·新高考卷Ⅱ)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2，3,5,8}，则A∩B＝( 2．(2020·新高考卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝( 解析：选C 则A∪B＝{x|1≤x<4}，故选C. 则a＝( A＝{x|－2≤x≤2}， a

22学生数占该校学生总数的比例是() 解析：选C设集合A为喜欢的学生，B为喜欢游泳的学生，如图 解析：BAx2＋y2＝1上的点的集合，By＝x上的点的集合，y＝xx2＋y2＝1A∩B2.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是 A＝{x|x＝3nx为() A∩B∩CD集合论是德国数学家(G.Cantor)于19世纪末创立的．在他的集card(A)＝3.若对于任意两个有限集合AB有数共有() 解析：选C 设参加田赛的学生组成集合A，则card(A)＝14，参加径赛的学生组成集合B，则card(B)＝9，由题意得card(A∩B)＝5，所以高一(1)18.强化探－(M－P)＝( 解析：选A 由新定义知M－(M－P)表示由属于M且属于P的所有元素构成的集合，即集合M∩P.故选A. 3，，

MN的子集．如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小 1 5 解析：选 本题中定义的“长度”是语，根据这个定义，可知M的“长度 4AB1的线段，a是长度为34

是长度为1的线段，a，b3段AB上自由滑动，a，b部分的长度即为M∩N的“长度”，显然，当a，b各3AB

1

部分最短，其值为4＋3＝12已知集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,3}，那么A∪B＝( 已知集合A＝{x|0≤x－1<3}，B＝{1,2,3,4,5}，则A∩B＝( 若集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|x2－x＝0}，则P∪Q＝( 5．(多选)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，集合B满足A∩B＝A，则B可能为( 解析：选ACD 因为集合B满足A∩B＝A，所以A⊆B，结合选项知，B可能为A、C、D中的集合．

a＝－1x2－x＋1＝3x＝－1x＝2A∪B＝{1,3，x}；若x2－x＋1＝x，即x＝1，与条件．x＝－1时，A∪B＝{1,3，－1}；x＝2时，A∪B＝{1,3,2}；x≠－1x≠2x≠0x≠1x≠3a＝1

(1)a＝1时，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x≤4}．(2)∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a≤－2a的取值范围为{a|a≤－2}．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B,则实数m的值是 C．0或 D．0或1或 因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以m＝0或m＝2，故选设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( 3A＝{x|2x－px＋q＝0}，B＝{x|6x＋(p＋2)x＋5＋q＝0}A∩B＝ 4242

2

，2A＝{x|2x＋7x－4＝0}＝－4，2 B＝{x|6x－5x＋1＝0}＝， 解：(1)A∪B＝BA⊆B 观察数轴可知，a的取值范围为a3≤a≤2BABA的右边，如图．

a的取值范围为a0＜a≤3或a≥4B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)(A∩B)a的值；若解：aA，B满足条件，B＝{2,3}．A＝BAB.A≠B，∴AA＝{2}或{3}．A＝{2}x＝2Aa＝－3当a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}，舍去．A＝{3}x＝3Aa2－3a－10＝0，a＝－2a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}，舍去；当a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}，舍去．

式为零，即[2(m＋1)]2－4(m2－3)＝0⇒m＝－21，所以舍去；B＝3,1}3,1是方程x22(m1)xm23＝0的两个根，于是有

⇒m＝0m的取值范围是{m|m≤－2第二补AU的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．①AU已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于( 设U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，则∁UA等于( A．{x|x≤－1或x>0}{x|x<－1{x|x≤－1解析：选A 所以∁UA＝{x|x≤－1或x>0}． 解析：选 因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，则

(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM等于( {x|x<－2{x|x≤－2(2)U＝{x∈Z|－5≤x<－22<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则 (1)如图，在数轴上表示出集合M，

1．全集U＝{x|－1≤x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，则∁UA＝( D．{x|x<－1解析：选B 因为全集U＝{x|－1≤x<3}， 定义法因为A＝{1,3,5,7}UA＝{2,4,6}UB＝{2,3,5,7}．

(1)全集U＝R，N＝{x|－2<x<0}，M＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． N＝{x|－2<x<0}，

AB；UUA C．{x|0≤x≤1或 D．{x|0≤x≤1或 设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2，4}，B＝

已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或 因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，m≥6，满足(∁UA)∩B＝B.当B≠∅时，可得m的取值范围是

则实数m的取值范围为 数m的取值范围为 解析：当B＝∅m的取值范围为{m|m≤－9答案：{m|m≤－9

则实数a的取值范围为 a的取值范围是)) 解析：选A 选A.s算数1．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则 B．A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜25≤x＜6}解析：选 由∁UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}知选项A错误；由{x|1≤x≤34＜x＜6}∩{x|x＜2x≥5}＝{x|1≤x＜25≤x＜6}B正确；由∪B＝{x|x＜13＜x≤4x≥6}∪{x|2≤x＜5}＝{x|x＜12≤x＜5x≥6}知选项C错误；由∁U(∁UB)＝B＝{x|2≤x＜5}D正确．2设集合M＝{x|－1≤x＜2}N＝{x|x＋k≥0}若(∁RM)⊇(∁RN)则k的取值范围是 解析：选B 由(∁RM)⊇(∁RN)可得M⊆N，解得k≥1，则k的取值范围为{k|k≥1}．两科均未取得优秀的有card(U(AB＝card(U){card(A∩B＋card[AUB设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于( A．{x|0≤x<1或 C．{x|x<1或 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( 解析：选D 因为A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D. 解析：选D 如图已知全集＝R集合＝{|＜－1或x＞}B＝{|－≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( ) B．{x|x≤3 解析：选D 由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－) 2 ∵M∁UPM＝∅，M≠∅①M≠∅时，如图可得

②M＝∅时，应有

≤－2或1．(多选)设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是( 法一：∵A，B，IA⊆B⊆IVenn图，VennA、C、D都是正确的．法二：A，B，IA＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}A⊆B⊆I.∅，则 A．k<0或 ∵A＝{x|x≤1或k＋1≤1k≥3k≤0k≥3，B∩(∁UA)≠∅ 00 x2111 x0 x01由A∩B≠∅ 1 B＝1B＝－1

设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”X*Y＝U(X∩Y)．对于集合 U＝RA＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0x≥4}都是U的子集．若∁U(A∪B)⊆Caa的取值范围；若不①若∁U(A∪B)＝∅，则2222

a 3aa的取值范围是aa≤－2ppqqppqqpp⇒qpq的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是p⇒qqpq的充分条件，qp的必要条件．[即时用符号“⇒”与“”填空 (2)a，b都是偶 a＋b是偶数x2>1x>1.(2)命题“a，ba＋b是偶数”a，b都是偶数⇒a＋b答案：(1)pqp

下列哪些命题中p是q的充分条件在△ABC (1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，pq的充分条件．法一：x>1⇒/x>2，pq的充分条件B⊆Apq

pqpqp⇒qB，A⊆Bpq的充分条件． 解析：选A b＝0时，直线y＝kx过原点，故选A.2.(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是( 解析：选D从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从、B、、D中选出集合x|＜＜3}的子集．由于x|＜≤2}⊆{x0＜＜3，{x1＜x＜}⊆{x0＜x＜3}，故选、 下列哪些命题中q是p的必要条件？ 所以q是p的必要条件．p⇒qqpp⇒qqp

只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出 p：a0的整数，q：a5pq 条件；q是p的 解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．答案：充分必要

[典例] (1)集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是( 则实数a的取值范围为 (2)pA＝{x|x<－2x>10}，qB＝{x|x<1＋a∵q：x<1＋a∵pq

(2)求解步骤：p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建pqa解：p：3a<x<aA＝{x|3a<x<a}．p⇒qA⊆B，

a的取值范围是 pxa<x<3aa>0，qx满足－2≤x≤3.pq的必要a的取值范围．解：p：a<x<3aA＝{x|a<x<3a}．q⇒pB⊆A，

若p是q的充分条件，则q是p的( 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件 一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的() 已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是

BAM是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当“点M在圆B内”是“点M在圆A内” “点M在圆A外”是“点M在圆B外” 解析：BAABA′，B′，则有B′A′.′B内”是“MA内”′′MB外”答案：(1)充分(2)[“四翼”检价1．x＝－1是|x|＝1的( 是|x|＝1 A、C、Dab>0若集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，即∴“a＝3”是“A⊆B”4．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( A．p：a是无理数，q：a2是无理数解析：BCA中，a＝2是无理数，a2＝2pq的充分条件；Bpq的充分条件；C中，x>2⇒x≥1pq的充分条件；Dc＝0ac2＝bc2pq的充分条件．5．若x>2m2－3是－1<x<4的必要条件，则实数m的取值范围为( B．m≤－3或m≥3C．m≤－1或 解析选D 解析：x>2⇒x2>4x>2x2>4 由于答案：必要 下列命题中，pq的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；解：(1)∵x2＝2x＋1⇒x＝x＝∴pq(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒a2＋b2＝0，∴pq(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴pqp：－1<x<3，若－a<x－1<apa>b依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}，所以

a>bb的取值范围是 充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( 设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的 条件；q是p的 的充分条件，qp的必要条件．答案：充分(1)AB(2)AB亮的什么条件？5．(1)m2x＋m<0x<－1x>3(2)m2x＋m<0x<－1x>3 m (2)2x＋m<0x<－1x>3的必要条件，则只要{x|x<－1x>3}⊆xx<2 ⇒pp⇔q，此时，pqqpq的充分pqqpp⇔qq若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；若q⇒p，但pq，则p是q的必不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若pq且q p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，简称p是q的既不充分也不必要条件．[即时 解析：选B 由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0时，x＝5 △ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角 解析：若△ABC是锐角三角形，则其三个角都是锐角；若∠ABC为锐角，则△ABC可

[典例] 下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条(2)p：a6整除，q：a3整除； (1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件p：a632整除，q：a3pq的充分不必要pq的必要不充分条件．传递法：p1⇒p2⇒…⇒pnp1⇒pn；充要 解析：选B 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. A．x2>4x3<－8解析：ADAx3<－8⇒x<－2⇒x2>4x2>4⇒x<－2x>2⇒x3<－8角形，但在直角△ABCAB⇒a2＋b2≠0D

已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－ 3∵ab≠0，a－ab＋b＝－2＋4b在以下两种说法中，充分性和必要性分别是：(1)pq的充要条件，p⇒q⇒p是必要性；(2)AB：B⇒A是充分性，A⇒Bxax2＋bx＋c＝0有一个根为－1∴x＝－1ax2＋bx＋c＝0∴a－b＋c＝0xax2＋bx＋c＝0有一个根为－1a－b＋c＝0，∴a－b＋c＝0xax2＋bx＋c＝0有一个根为－1

若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，

若本例中“pq的必要不充分条件”改为“pq的充分不必要条件”，其他条m的取值范围．解：pA，qB，pqAB.

m的取值范围是p，qmpqm的值；mpq

∵{a|a<－1}{a|a<0} 由|x－1|<1可得所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必 解析：选A 由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，1．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题 B．A⊆Bcard(A)≤card(B)C．A⃘Bcard(A)≤card(B)D．A＝Bcard(A)＝card(B)解析：选ABcard(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．A∩B＝∅，也就是集元素，B是真命题；A⃘BABAB中的元素的个数，C是假命题；A＝BA中的元素D是假命题．若a，b∈R，则“a＋b＝0”是“a3＋a2b－a2－ab＋a＋b＝0”的(

a∈R，a－a＋1＝－2p：{x|x＋2≥0x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m>0}pq条件，则实数m的值是

已知“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要不充分条件，则实数a的取值 解析：选 若“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要不充分条件，

[“四翼”检价已知条件p：x>1，条件q：x≥2，则p是q的 因为{x|x>1}{x|x≥2}，所以p是q的必要不充分条件．故选条件甲：a>1是条件乙：a>a的 充分性：∵a>1，∴a>1，∴a·a>a，即a>a>a(a－1)>0)a>1.∴B. 1，则q是p的 x 由q：1≤1，得到x≥1或x＜0，由于p/⇒q，q/⇒p，故q是p的既不x4．(多选)已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”成立的充要条件是( 解析：选AC 若四边形ABCD的对角互补，则A，B，C，D四点共圆，反之也成立，所以选A、C.5．(多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是( 解析：选AC 由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，则A∩B＝A，对C来说，实际上也是A⊆B.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的 解析：a>0b>0⇒a＋b>0ab>0，a＋b>0ab>0⇒a>0b>0

已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是 解析：x∈Ax∈BABm＋1>2p：x<－2x>3，q：4x＋m<0pqm的取 pqBA，m的取值范围为x2＋kx＋1＝0，

k＝－x2－x，代入①得，x3＝1x＝1

k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0x1＝x2＝1；x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0x＝1x＝－21.k＝－2.1．(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是( x2＋4x＋n＝002＋4×0＋n<0n<0，x2＋4x＋n＝0B、C、D. 解析：选ACD AB2＋AC2＝BC2B错误．a2＋b2≠0⇒a，b0a，b0⇒a2＋b2≠0C正确．x2为无理数时，xDA、C、D.)

a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1a2－b2＝1a4－b4－2b2＝1a4－(b2＋1)2＝0，a，ba2＋b2＋1≠0，a2－b2－1＝0a2－b2＝1.在点P使∠APD＝90°的充要条件是 解析：AD

a>b时，即a>2b时，圆与线段BC有两个交点M，N，当P点与M，N2如图(3)：当a<ba<2bBC无共点，则∠APD<90°.故使∠APD＝90°a≥2b.2解：“a－b＋c＝0”是“ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．a，b，c∈R，a≠0时，∀从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质题．注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由具体的条件而定．∃Mx，p(x)成立(说明：Mx的取值范围一个存在量词命题可以包括多个变量，如“∃a，b∈R，使 答案：①②③命题p∃x∈Rx2＋2x＋5＝0是 答案：存在量词命题

(2)存在量词命题．∃

(1)∀x∈R，x2＋1≥2;(2)x轴有交点； 所以“∀x∈R，x2＋1≥2”(2)xx轴无交点，

[典例]p：∀x∈R，x2＋4x－1>m恒成立．m的取值范围． 因为∀x∈Rx2＋4x－1>mm<－5m的取值m的取值范围．为∃x∈R，－x2＋4x－1>mmym的取值范把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1m解：令y＝x2＋4x－1，x≥1，则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，因为∀x≥1，不等式x2＋4x－1>mm<4m的取值范围是{m|m<4}．对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问y的最大值(或最小值)a>ymax(a<ymin)．对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问y的最小值(或最大值)a>ymin(a<ymax)．pb的取值范围．解：y＝2x＋b的图象不经过第四象限，b≥0. ③∃x∈{x|x是无理数}，x2 x＝45，x2＝5 A．p真q B．p真qC．p假q D．p假q x＝1时，x2－x＋1＝1≥0p是真命题；q，(－2)2<(－3)2，但－2<－3不成立，q

＋2＋4>0B

已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题则实数a的取值范围是()A．{a|a>4} B．{a|a<4}C．{a|a≥4}D．{a|a≤4}解析：选A∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即 解析：对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数于a，所以[“四翼”检价 A．任何一个实数乘以0都等于0 y＝x2－ax－1x④∀x∈R，y∈R 下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是 解析：选C C选项是全称量词命题，而题中题是存在量词命题，故选C. C．∃x∈R，使 ∃x∈R，使 “所有”是全称量词，故错误；C.“∃” A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命∃n∈N*,2n2＋5n＋22∃n∈N*,2n2＋5n＋22

0 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能2A、B、D错误，C x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题． 答案：①②③④ 用量词符号“∀”“∃2xx2＋x＋1>02 1x＋1是有理数3

(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．

22

x∈Rx2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2x2＋2x＋3＝0x不存在，命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2},2x2－x－m>0”是真命题则实数m的取值范围是( 解析：选 由命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2},2x2－x－m>0”为真命题，即对于③∀x∈R， ③

能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 (2)xm－(x2－2x＋5)>0m的取值范围．解：(1)m＋x2－2x＋5>0可化为122125y1＝x2，y＝－2x－m，若对∀x∈{x|－1≤x≤3}，∃x∈{x|0≤x≤2}12212解：x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得m≥－4，m的取值范围为∃x∈M∀x∈M要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”Mxp(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，p(x)”成立；立，也就是命题“∀x∈M，p(x)”成立．1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 解析：选C

x5x－12＝0 px5x－12＝0p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M， 解析：选C 的否定为“∃x∈R，x2－x＋1≠0”． 解析：选 命题“对任意的x∈R，x3－2x＋1≤0”的否定是“存在

∃x，y∈Z，使得 命题的否定是“∀x，y∈Z，x＝0，y＝3时，2x＋y＝3

p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)．命题“存在x∈R，使得x2＋2x<1”的否定是( A．对任意x∈R，都有x2＋2x>1解析：选B 意x∈R，都有x2＋2x≥1. 1<2，则p的否定为 a

1<2的否定为

1 已知命题p：∃x∈R，x＋2x＋a＝0，命题

，xpqa 若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，则 1

q：∀x∈x0≤x≤2，x－a≤0a≥xa≥(x∴p，q均为假命题时

∴p，qaR.p：∀x∈{x|－3≤x≤2}x∈{x|a－4≤x≤a＋5}p是假命题，求实a的取值范围．解：因为pp

a的取值范围是设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为 解析：选C 将“∃”改写成“∀”，“>”改写为“≤”即可，故选C.2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得解析选D 将“∀”改写为“∃”“∃”改写为“∀”再否定结论可得命题的定为“∃x∈R，∀∈N，使得x”．故选 解析：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0：： 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈 D．綈 命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定应为 解析：选C 方程x2＋mx＋1＝0无实数根． C．ppD．pp 命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以 p：∀n∈N,2n≤100；p解析：选ABD “所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误． 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围 9393解：(1)p：“mx2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是p：“mx2＋x－m＝0没有实数根”．

p何知识知r是一个假命题．

1

∵命题“∃x∈R，使 4 4李略加思索，反手给了一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的xmm的取值范围是否一 解析：∵命题“∃x∈Ry＝x2＋2x＋mx轴的下方”的否定是“∀x∈R，y＝x2＋2x＋mxx轴上”．而命题“∃x∈Ry＝x2＋2x＋mx轴的下方”是假命题，则其否定∈Ry＝x2＋2x＋mxx轴上”p：∃x＞0，x＋a－1＝0a解：p：∃x＞0，x＋a－1＝0所以p：∀x＞0，x＋a－1≠0x≠1－a，1－a≤0a≥1.a的取值范围为(1)p

bpqm的取值范围．m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．pq的条件关系，可以转化为集合之间的 题型一

x∈Rx＋1 解析：选ABD 对于A，∵1是整数，∴1∈Z，故A正确．对于B，∵x＝|x|，∴x≥0，∵1>0，∴B正确．∴C D，∵x∈Rx≤0＝{x∈R|－1<x≤1}，1是集合中的元素，∴D 当x＝0，y＝0时x＝0，y＝1时，x－y＝－1x＝0，y＝2时，x－y＝－2；x＝1，y＝0时，x－y＝1x＝1，y＝1时，x－y＝0；B0，－1，－2,1,25 解析：m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意；m2＋4＝5时，m＝1m＝－1.答案：31题型二 的集合C的个数为 解析：选D 满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 已知A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值 异性相．综上所述，x＝－2或x＝0.答案：0题型三1．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则( 已知集合P＝{x|2<x<4}，Q＝{x|1<x<3}，则(∁RP)∩Q＝( B．{x|x≤2或 D．{x|x≤1 A．2 B．3C．4 解析：选B 由题意，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}＝{x∈Z|0≤