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第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点:随机试验的每一个可能结果,用表示;②样本空间:样本点的全集,用表示;注:样本空间不唯一.③随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C,…表示;④必然事件就等于样本空间;不可能事件是不包含任何样本点的空集;⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系:,事件A发生必有事件B发生;②等价关系:,事件A发生必有事件B发生,且事件B发生必有事件A发生;③互不相容(互斥):,事件A与事件B一定不会同时发生。④对立关系(互逆):,事件发生事件A必不发生,反之也成立;互逆满足注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。)3.事件的三大运算①事件的并:,事件A与事件B至少有一个发生。若,则;②事件的交:,事件A与事件B都发生;③事件的差:,事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律①交换律:②结合律:③分配律:④德摩根(DeMorgan)定律:对于n个事件,有二、随机事件的概率定义和性质1.公理化定义:设试验的样本空间为,对于任一随机事件都有确定的实值P(A),满足下列性质:(1)非负性:(2)规范性:(3)有限可加性(概率加法公式):对于k个互不相容事件,有.则称P(A)为随机事件A的概率.2.概率的性质①②③若,则④注:性质的逆命题不一定成立的.如若则。(×)若,则。(×)古典概型的概率计算古典概型:若随机试验满足两个条件:①只有有限个样本点,②每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型,。典型例题:设一批产品共N件,其中有M件次品,从这批产品中随机抽取n件样品,则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A1)的概率为(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A2)的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率:2.乘法公式:3.全概率公式:若,则。4.贝叶斯公式:若事件如全概率公式所述,且.五、事件的独立1.定义:.推广:若相互独立,2.在四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。3.三个事件A,B,C两两独立:注:n个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立,反之不成立。)4.伯努利概型:1.事件的对立与互不相容是等价的。(X)2.若则。(X)3.。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)5.n个事件若满足,则n个事件相互独立。(X)6.当时,有P(B-A)=P(B)-P(A)。(∨)第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义:设样本空间为,变量为定义在上的单值实值函数,则称为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义:设随机变量,对于任意实数,函数称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数。注:当时,(1)X是离散随机变量,并有概率函数则有(2)X连续随机变量,并有概率密度f(x),则.2.分布函数性质:(1F(x)是单调非减函数,即对于任意x1<x2,有;(2;且;(3离散随机变量X,F(x)是右连续函数,即;连续随机变量X,F(x)在(-∞,+∞)上处处连续。注:一个函数若满足上述3个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值,或可列无穷多个数值且,则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布,或概率函数(分布律).注:概率函数pi的性质:2.几种常见的离散随机变量的分布:(1)超几何分布,X~H(N,M,n),(2)二项分布,X~B(n.,p),当n=1时称X服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立,则服从二项分布。(3)泊松(Poisson)分布,,四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I,且存在非负函数f(x),使得对于任意区间,有则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数,简称概率密度。注1:连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即注2:2.概率密度f(x)的性质:性质1:性质2:注1:一个函数若满足上述2个条件,则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2:当时,且在f(x)的连续点x处,有3.几种常见的连续随机变量的分布:(1)均匀分布,(2)指数分布,(3)正态分布,1.概率函数与密度函数是同一个概念。(X)2.当N充分大时,超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量,有。(X)4.若的密度函数为=,则(X)第三章随机变量的数字特征一、期望(或均值)1.定义:2.期望的性质:3.随机变量函数的数学期望4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义;(2)利用数学期望的性质;常见的基本方法:将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望;1.方差注:D(X)=E[X-E(X)]2≥0;它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小),表示X取值越分散(集中)。2.方差的性质(4)对于任意实数C∈R,有E(X-C)2≥D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数有或3.计算(1)利用方差定义;(2)常用计算公式(3)方差的性质;(4)常见分布的方差.注:常见分布的期望与方差1.若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;2.若3.若X~U(a,b),则4.若5.若三、原点矩与中心矩(总体)X的k阶原点矩:(总体)X的k阶中心矩:1.只要是随机变量,都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)3.方差越小,随机变量取值越分散,方差越大越集中。(X)4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)5.对于任意的X,Y,都有成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义1.正态分布⑴概率密度为其分布函数为注:.正态密度函数的几何特性:2.标准正态分布当时,其密度函数为且其分布函数为的性质:3.正态分布与标准正态分布的关系定理:若则.定理:设则二、正态分布的数字特征设则1.期望E(X)2.方差D(X)3.标准差三、正态分布的性质1.线性性.设则;2.可加性.设且X和Y相互独立,则3.线性组合性设,且相互独立,则四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立,服从相同的分布,且则对于任何实数x,有定理解释:若满足上述条件,有(1);;(3)2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设则定理解释:若当n充分大时,有(1);(2)1.若则(X)2.若则(√)3.设随机变量X与Y均服从正态分布:4.已知连续随机变量X的概率密度函数为则X的数学期望为__1____;X的方差为__1/2____.第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本1.总体:把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量,记X.2.个体:总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本:从总体X中,随机地抽取n个个体,称为总体X的容量为n的样本。注:⑴样本是一个n维的随机变量;⑵本书中提到的样本都是指简单随机样本,其满足2个特性:①代表性:中每一个与总体X有相同的分布.②独立性:是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F(x),则样本的联合分布函数为(1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为(2)设总体X的概率函数为,则样本的联合概率函数为二、统计量1.定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注:(1)统计量是随机变量;(2)统计量不含总体分布中任何未知参数;(3)统计量的分布称为抽样分布.2.常用统计量(1)样本矩:①样本均值;其观测值.可用于推断:总体均值E(X).②样本方差;其观测值可用于推断:总体方差D(X).③样本标准差其观测值④样本k阶原点矩其观测值⑤样本k阶中心矩其观测值注:比较样本矩与总体矩,如样本均值和总体均值E(X);样本方差与总体方差D(X);样本k阶原点矩与总体k阶原点矩;样本k阶中心矩与总体k阶原点矩.前者是随机变量,后者是常数.(2)样本矩的性质:设总体X的数学期望和方差分别为,为样本均值、样本方差,则

3.抽样分布:统计量的分布称为抽样分布.3大抽样分布 :定义.设相互独立,且,则注:若则(2)性质(可加性)设相互独立,且则2.t分布:设X与Y相互独立,且则注:t分布的密度图像关于t=0对称;当n充分大时,t分布趋向于标准正态分布N(0,1).3.F分布:定义.设X与Y相互独立,且则(2)性质.设则.四、分位点定义:对于总体X和给定的若存在,使得则称为X分布的分位点。注:常见分布的分位点表示方法(1)分布的分位点(2)分布的分位点其性质:(3)分布的分位点其性质(4)N(0,1)分布的分位点有第六章参数估计一、点估计:设为来自总体X的样本,为X中的未知参数,为样本值,构造某个统计量作为参数的估计,则称为的点估计量,为的估计值.2.常用点估计的方法:矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想:用样本矩(原点矩或中心矩)代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤:①求出总体矩,即;②用样本矩代替总体矩,列出矩估计方程:③解上述方程(或方程组)得到的矩估计量为:④的矩估计值为:3.矩估计法的优缺点:优点:直观、简单;只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.缺点:没有充分利用总体分布提供的信息;矩估计量不具有唯一性;可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1.直观想法:在试验中,事件A的概率P(A)最大,则A出现的可能性就大;如果事件A出现了,我们认为事件A的概率最大.2.定义设总体X的概率函数或密度函数为(或),其中参数未知,则X的样本的联合概率函数(或联合密度函数)(或称为似然函数.3.求最大似然估计的步骤:(1)求似然函数:X离散:X连续:(2)求和似然方程:(3)解似然方程,得到最大似然估计值:(4)最后得到最大似然估计量:4.最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法,但是它需要知道总体X的分布形式.估计量的评价标准1.无偏性:设是未知参数的估计量,若,则是的无偏估计量,是的无偏估计值。有效性:设和是未知参数的无偏估计量,若,则称比有效。1.若是来自总体X的样本,则相互独立.(√)2.不含总体X的任何未知参数的样本函数就是统计量.(√)3.样本矩与总体矩是等价的。(X)4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩,故矩估计量不唯一.(X)设总体,则估计量分别是的无偏估计量.(X)第7章例题1.量的是B2.量的是D3.样本BA.B.X-1012P(x)0.20.40.10.3C.D.4.设是来自任意总体X的一个容量为2的样本,则在下列总体均值的无偏估计中,最有效的估计量是DA.B.C.D.5.从总体中抽取样本下面总体均值的估计量中哪一个最有效DA.B.C.D.6.从总体中抽取样本统计量,中更为有效的是CA.B.C.D.以上均不正确7.设是取自总体的样本,已知和都是的无偏估计量,则________更有效8.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知,设有估计量(1)找出其中的无偏估计量;(2)证明较为有效.解(1)由于Xi服从均值为的指数分布,所以即是的无偏估计量(2)由方差的性质知,所以较为有效。9.设总体X的概率密度为其中为未知参数,如果取得样本观测值为,求参数的极大似然估计值.解10.设总体X的概率密度为其中>0,若取得样本观测值为,求参数的极大似然估计值解11.设总体的概率密度为,其中为未知参数.如果取得样本观测值为,求参数的最大似然估计值.解:似然函数,,时,,取对数得,所以单调增加.由于,即应该满足的最大似然估计值为.12.设为正态总体的样本,样本均值的观测值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为A13.设为正态总体的样本,样本均值的观测值,则置信度为0.90的置信区间为B14.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(mm)如下:14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8.设滚珠直径~,如果已知直径标准差(mm),求在置信水平1-=0.95的置信区间.()解、已知,n=9,,所以的置信度为0.95的置信区间为,即(14.81,15.01)15.某厂生产的滚珠直径,从某天的产品里随机抽取6个,测得直径如下:(单位:毫米)14.70、15.21、14.98、14.91、15.32、15.32.如果知道该天产品直径的方差是0.05,试找出置信度为0.95的直径平均值的置信区间.()解、,由置信水

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