实验数学九确定炮弹射击的安全区

实验数学九确定炮弹射击的安全区1第一页，共十五页，编辑于2023年，星期二

设炮弹发射的位置为原点O。显然，只要在过点O且与地面垂直的平面内考察弹道的情况就可以了。在此平面建立坐标系。如果不计空气阻力，容易得到炮弹的弹道曲线满足下微分方程组：2第二页，共十五页，编辑于2023年，星期二初值条件：其中m为炮弹的质量，g为重力加速度，为炮弹在t时刻的坐标，

为炮弹初速度，

为发射角

对（9.1）积分两次，并将（9.2）代入，即可导出弹道曲线的参数方程为3第三页，共十五页，编辑于2023年，星期二消去参数t，可以得到弹道曲线的直角坐标的表达式：这是我们十分熟悉的抛物线。Ⅱ、安全区和包络线当发射角变化时，取就形成一族抛物线段（见图9.2）。所以，（9.3）或（9.4）可以看作是带有参数的平面曲线族。，相应的弹道曲线4第四页，共十五页，编辑于2023年，星期二

由图可见，所有的弹道曲线与图上的一条虚线l相切，将这虚线绕y轴旋转一定的角度（炮座所能旋转的角度），形成一个旋转面的一部分。由这张曲面以及炮座旋转的左右两个极限位置发出的弹道曲线所在平面围成的区域之外炮弹不可能击中，因而称之为“安全区”，l也就称为“安全曲线”。如何求出l呢？

从图还可见，安全线本身并不是某一条弹道曲线，但是安全线上的每一点，必有某一条也只有一条弹道曲线在该点与它相切。5第五页，共十五页，编辑于2023年，星期二抽象成数学概念，我们称安全线为弹道曲线族的包络线。Ⅲ、问题1的求解设某一平面曲线族为，其中为参数。其包络线l如图9.3所示。在l上任取一点，必有曲线族中某一条曲线c与l相切于点p。

也就是说，一旦确定了参数值，点p也被唯一地确定。

6第六页，共十五页，编辑于2023年，星期二所以，点p的坐标是参数的函数，即它们满足由式（9.5）知，l在点p的切线斜率为而c在点p的切线斜率为7第七页，共十五页，编辑于2023年，星期二令以上二者相等，可得将（9.6）式对求导数，得到将（9.9）式代入（9.10）式，即得综合（9.6）式与（9.11）式，得到l应满足的方程组：8第八页，共十五页，编辑于2023年，星期二下面我们利用（9.12）来考察（9.4）式，对求导解出代入（9.4），即得安全线方程9第九页，共十五页，编辑于2023年，星期二这也是一条抛物线，其最大值和与x正半轴交点的横坐标分别为若取z轴与x、y轴成空间直角坐标系，则安全线所形成的旋转面为以及代入，即得10第十页，共十五页，编辑于2023年，星期二于是射击演习的安全区就由此旋转抛物面与两个过y轴的平面围成。

由上式或（9.15）式可知，演习时炮弹的高度将不超过2041（m），射程将不超过4082（m）。

如果曲线族的参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线l应满足的判别方程组为：11第十一页，共十五页，编辑于2023年，星期二事实上对于包络线所以对于曲线C所以因此即有12第十二页，共十五页，编辑于2023年，星期二下面我们再用（9.17）来考察（9.3）式，

利用（9.17）中的第三式解得代回式（9.3），又得到l的参数方程：13第十三页，共十五页，编辑于2023年，星期二消去此式中的，同样可得（9.14）式。

注意，（9.12）或（9.17）是包络线的判别方程，即包络线应满足（9.12）或（9.17）式；但满足判别方程却不