专题05一元二次方程根与系数的关系（5种题型1个易错点4种中考考法）

专题05一元二次方程根与系数的关系（5种题型1个易错点4种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点：一元二次方程根与系数的关系【方法二】实例探索法题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题【方法三】差异对比法易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。【方法四】仿真实战法考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积考法2：已知方程一根，求方程另一根考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点：一元二次方程根与系数的关系韦达定理：如果是一元二次方程的两个根,由解方程中的公式法得,．那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．例1.如果，是方程的两个根，那么=_____________；=_______________．【答案】；．【解析】由韦达定理，可得：，．【总结】本题考查韦达定理，的应用．【方法二】实例探索法题型1：利用根与系数的关系式求代数式的值例2.已知是方程的两根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．【解析】解：由韦达定理，得：，．原式=；原式；原式=；原式．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．例3.已知的值．【答案】．【解析】由，可得：，整理得：，又由于，所以可知、是方程的两根，由韦达定理，可得：．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．例4.已知是方程：的两根，求代数式的值．【答案】．【解析】由题及韦达定理可得：，，得：．=====．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，运用了降次等的思想方法．题型2：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例5.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．【答案】；．【解析】将代入方程，可得：，再由韦达定理可得：，得另一根为．【总结】本题考查韦达定理，的应用．题型3：已知一元二次方程的两根关系求字母的取值（范围）例6.已知是关于x的方程的两根，求b的值．【答案】．【解析】由韦达定理，得：，，而，所以得：，代入可得：．【总结】本题考查韦达定理，的应用．题型4：已知两数的和与积，构造一元二次方程求这个数例7.写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是，．【答案】．【解析】由，，可得方程为：．【总结】本题考查韦达定理，的应用．题型5：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例8.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．【答案】．【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周长．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．例9.已知关于x的方程有两根，其中且，求m的取值范围．【答案】．【解析】因为方程有两根，所以，即；由韦达定理，可得：，，因为且，所以，，即，解得：．【总结】本题考查韦达定理的应用和一元二次方程的概念以及解不等式的应用．例10.已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．【答案】．【解析】解：设方程的两根为，，由，，可得：，即，而由韦达定理可得，，所以，即．【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用．【方法三】差异对比法易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。例11.已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值．【答案】．【解析】设是原方程的两根，因为是正整数根，所以且都是正整数，由韦达定理，得：，所以是正整数，所以是正整数，即是正整数，所以，代入原方程可得：，方程的两根为，所以．【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合．【方法四】仿真实战法考法1：由已知方程直接求出两根之和或之积1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）若是方程的两个根，则_________．【答案】-3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵是方程的两个根，∴，故答案是：-3．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键．考法2：已知方程一根，求方程另一根2．（2019·山东济宁·统考中考真题）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____．【答案】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：，即．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．3．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数是方程的两根，则______．【答案】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【详解】解：实数是方程的两根，故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．4．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_____．【答案】3【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，∴x1•x2＝＝3．故答案为3．【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-考法3：由已知方程求关于两根的对称式的值5．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．【答案】【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6．（2021·四川雅安·统考中考真题）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一元二次方程的两根分别为m，n∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的性质，从而完成求解．考法4：由一元二次方程两根的关系求字母的取值（范围）7．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．【答案】【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【详解】解：∵是方程的根∴，∴∴k=-4故答案是-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．8．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．【答案】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m=不合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．9．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．10．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】1【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得的值．【详解】解：一元二次方程的二次项系数是，一次项系数，由根与系数的关系，得．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，牢记公式是解题的关键．2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）若一元二次方程的两个根为、，则是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用两根之积等于即可解决问题．【详解】解：一元二次方程的两个根为、，，故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．3．（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知、是关于x的方程的两根，下列结论中不一定正确的是（

）A． B． C． D．方程的根有可能为0【答案】B【分析】根据根与系数关系及判别式与根的关系即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故A正确，不符合题意；，故B错误，符合题意；，故方程有两个不相等的实数根，故C正确，不符合题意；当时，方程有一个根为0，故D正确，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系及判别式与根的关系，解题的关键是熟练掌握，，．4．（2023·江苏泰州·一模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得,故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．5．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（

）A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，∴，m＋n＝4，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】当时，得出，得出即可判断①；根据根与系数的关系，由即可判断②；将代入方程中可得出，方程两边同时除以4可得出，由此可得出是方程的一个根，即可判断③；设相同的根为，将其代入两方程中作差后可得出，解之可得出，进而可得出两方程有相同的根，即可判断④．【详解】解：，方程的一个根为1，方程有一个根为1，如果，那么方程和方程有一个公共根为1，结论①正确；，，，，方程和方程的两根之积必相等，结论②正确；是方程的一个根，，即，是方程的一个根，结论③正确；设相同的根为，则，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，结论④错误．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．8．（2023·江苏扬州·校考一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值．【详解】解：根据题意得，所以．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．9．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为-1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．【详解】①若方程两根为-1和2，则，则，即；故此选项符合题意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此选项符合题意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，∴两根之积为0，那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末），是方程的两个实数根，则________．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】∵，是方程的两个实数根，∴．故答案为：-3．【点睛】本题考查了一元二次方程跟与系数的关系．11．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：设方程的另一个根为，则解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．12．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）设、是方程的两个根，且，则________．【答案】4【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，，．13．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）一元二次方程的两个根为，则___________．【答案】/【分析】根据根与系数的关系求出和的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．14．（2023·江苏扬州·统考一模）一元二次方程的两根是和，则的最大值为________．【答案】1【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵方程有两个根是和，∴，，解得：，∴的最大值为1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．15．（2023春·江苏泰州·九年级姜堰区实验初中校考阶段练习）关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m=_____．【答案】【分析】先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可．【详解】根据根与系数的关系得：，，∴解得：故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算．16．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）已知是方程的两个根，且满足，则___________．【答案】【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入即，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴，解得：，当时，方程为，，不合题意舍去；当时，方程为，，符合题意．∴所求k的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．注意：运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程的根的判别式．17．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）设，是一元二次方程的两个根，且，则________．【答案】【分析】根据根与系数的关系求解即可．【详解】解：、是一元二次方程的两个根，，，．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程，若方程有两根为，，则，是解题的关键．18．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值是_____．【答案】【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴．故答案为．【点睛】本题考查了根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．19．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）若a，b是方程的两根，则______．【答案】【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，进行求解即可．【详解】解：由韦达定理得：，．故答案：．【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．20．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）设、是方程的两个不等的根，则的值______.【答案】【分析】由一元二次方程的解可带入原方程得出的值，再由根与系数的关系得的值，再计算即可得到解．【详解】、是方程的两个不等的根，，则原式．【点睛】本题考查方程的解的性质及一元二次方程的根与系数关系，遇到解的平方则为将该解代入原方程，得出式子的值．通常求解整式的值需要进行拆解，由已知部分整式和剩余整式的形式采用整体带入的方式进行值的计算．将整式变形计算和正确使用根与系数关系公式是解题的关键．21．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．【答案】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键．三、解答题22．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．(1)求的取值范围；(2)若．求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程由两个实数根，得出，解不等式即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入，进而解方程即可求解．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴解得：；（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，分别记为，∴，∵，∴解得：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，综合运用以上知识是解题的关键．23．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”，例如：点，因为，，所以A是“等值点”．(1)在点，，中，是“等值点”的有：_____；(2)若点E为双曲线，上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；(3)若一次函数的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围．【答案】(1)D；(2)见解析；(3)．【分析】（1）根据“等值点”的定义分别进行判断即可；（2）由点E为双曲线，上任意一点可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，根据“等值点”的定义进行计算后即可证明；（3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，由“等值点”的定义得到，由在第一象限内有两个“等值点”得到，，即可得到b的取值范围．【详解】（1）解：点，因为，，∴，∴不是“等值点”；点，因为，，∴，∴不是“等值点”；点，因为，，∴，∴是“等值点”,故答案为：（2）∵点E为双曲线()上任意一点，∴可设点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，则点F的坐标是，∵，，∴，∴点F为“等值点”．（3）设一次函数的图象在第一象限内“等值点”坐标为，∵，，∵，∴，∴，∵在第一象限内有两个“等值点”，∴，，∴．【点睛】此题是新定义题，考查了一次函数和反比例函数的性质，分式的混合运算，一元二次方程根的判别式和根与系数关系，读懂题意，准确计算是解题的关键．24．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．25．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根