圆的标准方程及切线问题

圆的标准方程及切线问题第一页，共十六页，编辑于2023年，星期二求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy说明：1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2=r把上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2第二页，共十六页，编辑于2023年，星期二(x-3)2+(y-4)2=5练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3,4)，半径是 (2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25补充练习： 写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1)(x-1)2+y2=6 (2)(x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|第三页，共十六页，编辑于2023年，星期二例1：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。CyxOM解：设所求圆的方程为： (x-1)2+(y-3)2=r2因为圆C和直线3x-4y-7=0相切所以圆心C到这条直线的距离等于半径r根据点到直线的距离公式，得|3×1—4×3—7|32+(-4)2=516r=因此，所求圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=25256第四页，共十六页，编辑于2023年，星期二练习2:已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。x2+y2=196第五页，共十六页，编辑于2023年，星期二例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。yxO.,),(.,.12002202000000000ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykkkkOMOM=+=+--=--==-=

所求的切线方程是在圆上,所以因为点的切线方程是经过点，解:设切线的斜率为则当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.过圆上一点作切线第六页，共十六页，编辑于2023年，星期二例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。P(x,y

)由勾股定理：OM2+MP2=OP2解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2第七页，共十六页，编辑于2023年，星期二P(x,y

)yxO例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。解法三（利用平面向量知识）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2第八页，共十六页，编辑于2023年，星期二例3、若圆方程为在圆外，求过点P与圆相切的直线方程。yx解：1)验证即斜率k不存在时直线是否与圆相切。2）设切线的斜率为k,则直线方程为所以，圆心到切线的距离为解出k，进而求出切线方程。过圆外一点作切线第九页，共十六页，编辑于2023年，星期二例4、已知圆切线的斜率为k，求证：圆的切线方程为xy证明：设切线方程为y=kx+b，则圆心到切线的距离为已知切线斜率求切线第十页，共十六页，编辑于2023年，星期二对于平面几何中的切割线定理与圆内相交弦定理，如图，两个定理有统一的形式：PA*PB=PC*PD=K（常量）且有以下结论；当P点在圆外时，常量K就是通过P点的切线长PT的二次幂，即；当P点在圆内时，常量是与过点P的直径垂直的弦长一半的平方，即用解析几何阐述一下上述定理：设圆的方程为：若P点在圆外，则过P点的圆的切线长：若P点在圆内，则过P点且与过P点的直径垂直的弦长的一半证明只需要用到勾股定理即可。显然，若P点在圆上，则切线长第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期二例5、如图，过圆外一点P（a,b)作圆的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程。xy解：设切点A、B的坐标分别为则切线AP、BP的方程分别为由以上二式可以看出：都适合方程它是一条直线方程，而过A、B的直线只有一条。切点弦第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期二练习3：写出过圆x2+y2=10上一点M（2，)的切线方程。6练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；2x+y=10662（2）在y轴上截距是的切线方程。y=±x+2所以切线方程为：y=x±2提示：设切线方程为y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±2第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期二例6：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期二1、求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。课后思考题：x+3y=10或3x-y=10(x+)2+(y+)2=3434950第十五页，共十六页，编辑于2023年，星期二小结(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2当圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为：