高中数学-数列求和教学课件设计

第2讲数列的求和问题专题四数列、推理与证明（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（2）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。（3）会将非等差、等比转化为等差等比求和，能熟练应用分组求和，乘公比错位相减，并项，裂项法求和。2016年数学考试大纲15年高考横向比较省份选择填空解答题中所联系的知识点全国一等差的概念和性质不等式全国二

关系，递推式安徽数列与极限不等式，（文）递推式，错位相减江西叠加法求裂项法求和湖北联系对数函数递推式，不等式，证等比省份选择填空解答题中所联系的知识点陕西等差的概念和性质递推式，与函数结合，不等式四川等差的概念和性质递推式，关系重庆等差的概念和性质不等式福建等比的概念和性质函数、不等式山东求15年高考横向比较

考情考向分析高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引12341.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.2n－1高考体验2.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________.解析设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，所以当Sn取最小值时，n＝6.6热点一分组转化求和热点分类突破有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.12例1.(2015·福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.12(2)设bn＝

＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)巩固练习：等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；解当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意.因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*).(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln

an，求数列{bn}的前n项和Sn.解因为bn＝an＋(－1)nln

an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.当n为偶数时，当n为奇数时，变式：求前2n项的和热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.12例2.(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.(1)求{an}的通项公式；解方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，1212两式相减得跟踪练习2.

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝2,3Sn＝5an－an－1＋3Sn－1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；解3Sn－3Sn－1＝5an－an－1(n≥2)，又∵a1＝2，(2)若bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.解bn＝(2n－1)22－n，Tn＝1×21＋3×20＋5×2－1＋…＋(2n－1)·22－n，∴Tn＝12－(2n＋3)×22－n.思维升华(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证.高考押题精练12341.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(

)A.6 B.7 C.12

D.13押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力.1234解析∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.答案C122.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项.(1)求{an}的通项公式；押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.12解(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，所以a1＝a，当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，

①Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，

②故{an}是首项a1＝a，公比等于a的等比数列，所以an＝a×an－1＝an.故a2＝a2，a3＝a3.12由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3＝a1＋2a2，即8a3＝a＋2a2，因为a≠0，整理得8a2－2a－1＝0，即(2a－1)(4a＋1)＝0，12所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)×2n－1＋(2n＋1)×2n，

①2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)×2n＋(2n＋1)×2n＋1,②由①－②，得－