七年级数学动角问题2(教师版)

七年级数学动角问题2（教师版）1）求NAOB的度数，已知NAOC=2∠BOC,NAOB与NBOC互补。解：由NXXX与NBOC互补可得NAOB+NBOC=180°,又NAOC=2NBOC，所以NXXXNAOB/3,代入/人。8+NBOC=180°中得4NAOB/3=180°,解得NAOB=135°。2）经过点O在NAOC内部作射线OD,OE、OF分别为NAOD和NBOC的平分线，当OD绕点O在NAOC内部转动时，请写出NAOB、NCOD和NEOF之间的等量关系，并说明理由。解：NAOB+NCOD=2NEOF，因为OE、OF分别为NAOD和NBOC的平分线，所以NXXXNAOD/2,NXXXNBOC/2,又NAOC=2NBOC，所以NCOD=NAOC/2=NBOC,代入NAOB+NCOD=2NEOF中得NAOB+NBOC=2NEOF,即NAOB=2NEOF-NBOC，代入NAOB与NBOC互补中得NEOF=45°。3)如图，P在BO的延长线上，若NPOD=50°,将∠AOC绕点O顺时针旋转，使AC与直线OB相交，在旋转的过程中，那么NAOD—NBOC的值是否发生变化？请说明理由。解：NAOD—NBOC=/α。0因为AC与直线OB相

交，所以NAOC不变，所以NAOD—NBOC的值不发生变化。本文介绍了几个角度问题。首先，根据已知条件推导出一些结论。例如，根据基本结论得到NAOB+NCOD=2NEOF。其次，根据已知条件求解一些角度。例如，在如图1中，若NAOC=40°,则NDOE=20°。还可以通过旋转角度来探究角度之间的关系。例如，将图1中的NDOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，可以得到NAOC=2NDOE。最后，通过确定角度之间的关系，可以求解一些未知角度。例如，在如图3所示的问题中，作NEOF的角平分线ON,可以求得NEON的度数为11°。已知角度关系：90°+y+y-60+2x=360°,乂+丫=165°。化简可得y=x-15°。又因为ON平分NEOF,所以NEON=1/2(x+y-60°)=1/2位-15°)=1/2乂-7.5°=105°-60°=45°。因此NEOF=2NEON=90°o已知NAOB和NCOD均为锐角，且∠AOB>∠COD,OP平分NAOC,OQ平分NXXX。根据题意，先求出NBOC的度数a。然后：①当a=0°时，OB与OC重合，NPOQ=NAOC/2=70°-20°=50°o②当a=80°时，NPOQ=NPOC-NCOQ=70°-20°=50°o③当a=130°时，先补全图形，然后NPOQ=NPOC+NCOQ=85°+45°=130°o综上可得，当NAOB=m°,NCOD=n°时，NPOQ=m°+n°或180°-m°-n°o已知/人。口=£，射线OB、OC在NAOD的内部，OM平分NAOC,ON平分NBODo①当射线OB与OC重合时，NMON=NAOC/2=1/2(180°-a)=90°-1∕2ao②在射线OB与OC重合的情况下，射线OC逆时针旋转角度θ,∠MON=∠POC-∠PON=1∕2(180°-α+θ)-1∕2(180°-θ)=90°-1∕2α+θ∕2.③在射线OC继续逆时针旋转到与射线OA的反向延长线重合的过程中，∠XXX一直保持不变，即为90°-1∕2αo1.如果两个角的差的绝对值等于90度，则这两个角互为垂角。例如，对于∠1=120度，∠2=30度，|∠1-∠2I=90度，则∠1和∠2互为垂角。在本题中，所有角度都指大于0度且小于180度的角度。1)如图1所示，O是直线AB上的一个点，且∠AOC=90度，∠EOD=90度。请指出图中所有互为余角的角度，以及所有互为垂角的角度。2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的4/5，则求这个角的度数。3)如图2所示，O是直线AB上的一个点，且∠AOC=90度，∠BOD=30度。此外，射线OC以9度/秒的速度逆时针旋转，射线OD以6度/秒的速度顺时针旋转。两条射线OC和OD同时运动，运动时间为ts(0<t<30)。请计算当t为何值时，NAOC和NAOD互为垂角。24.解：(1)互为余角的角度：NXXX与NXXX、NXXX与NBOD、NCOD与NCOE、NCOD与NBOD(如果写错一个,则扣0.5分)……2分互为垂角的角度：NAOD与NXXX、NAOD与NCOD、NXXX与NXXX、NXXX与NBOD(如果写错一个，则扣0.5分) 4分2)设这个角的度数为x,则4∕5(180-x)x=30当0<x<90时，90+x=180-xx=45当90<x<180时，x-90=180-xx=135因此，这个角的度数为45度或135度……8分3)①当0<t<5时，NAOC=90-9t,NAOD=150+6t150+6t)-(90-9t)=90t=2当5<t<10时，NAOC=90-9t,NAOD=210-6t210-6t)-(90-9t)=90t=-10(舍去)当10<t<20时，NXXX,NAOD=210-6t210-6t)-(9t-90)=90t=14当20<t<30时，NXXX,NAOD=210-6t9t-90)-(210-6t)=90t=26因此，当t为2或14或26时，NAOC和NAOD互为垂角……12分1.已知NAOB=100°,NCOD=40°,OE平分NAOC,OF平分NBOD。1)如图1,当OB、OC重合时，求NEOF的度数。解：当OB、OC重合时，NXXXNBOC=140°,NBOD=NCOD=40°,NEOF=1/2(NAOC-NBOD)=1/2(140°-40°)=50°o2）当NCOD从图1所示位置绕点O顺时针旋转口。（＜口＜90）时，NXXX-NBoF的值是否为定值？若是定值，求出NAoE-NBoF的值；若不是，请说明理由。解：＜ZAOE=ZCOe=X,ZBOF=ZDOF=y,则ZBOC=2y-40o,ZAOB=ZAOC-ZBOC=2x-2y+40o=140o,x-y=30ooNAOE-NBoF=X-y=30。为定值。3）当NCoD从图1所示位置绕点O顺时针旋转口。（＜口＜180）时，满足NAoD+NEOF=6NCOD,则n= o解：如图1,ZAOD=ZAOB+ZBOC+ZCOD=140o+nooZEOF=ZAOD-ZAOE-ZFOD=140o+no-x-70oo由140o+no+70o=6×40o,解得口=30工如图2,ZAOD=360o-ZAOB+ZBOC+ZCOD=220o-no,ZEOF=360o-ZAOD-ZAOE-ZFOD=70oo由220o-no+70o=6×40o,解得口=500。综上所述：口=30。或50。。2.已知NAOB=160°,NCOE=80°,OF平分NXXX。1)如图1,若NCOF=14°,求NXXX的度数。解：由OF平分NAOE,NEOF=1∕2NAOE=1∕2(180°-NCOE)=50°oNCOF=14°,则NXXXNBOF+NBOE=64°。NBOE=NEOF-NBOF=50°。2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，探究NBOE与NCOF的数量关系，并说明理由。解：如图2,NXXXNBOF+NBOE,NEOF=1∕2NAOE=1∕2(180°-NCOE)=50°,NBOF=NCOF=14°,则NBOE=22°。3)在(2)的条件下，如图3,在NBOE的内部是否存在一条射线。口，使得NBOD=90°,且NDOF=3NDOE?若存在，请求出NCOF的度数；若不存在，请说明理由。解：如图3,NBOD=90°,则NBOC=NCOD=70°。NCOF=NBOF-NBOE=14°-22°=-8°,不符合实际，因此不存在这样的射线OD。解（1）：已知NAOB=100°,NEOF=140°,因此NAOE+NBOF=120°。又因为OM平分NAOE,ON平分NBOF,所以NAOM=NAOE∕2,NBON=NBOF∕2.由此可得，NAOM+NBON=60°，进而得出NMON=NAOM+NAOB+NBON=160°。解（2）：由于OF平分NBOC,OE平分NAOD,因此NBOF=NCOf,NAOE=NDOE。又因为NAOB=100°,NEOF=140°,所以NAOE+NBOF=120°，从而得到NDOE+NCOF=120°。由此可得，NDOC=NEOF-（NDOE+NCOF）=20°o解（3）：在图3中，由于OD平分NFOE,OC平分/人。8,因此NBOE=2NCOF,NAOF=2NEOF,NCOD=2/口。£。又因为NAOB=100°,NEOF=140°,NCOD+NDOE+NEOF=360°因此可解得NCOD=80°,,∠DOE=30°NCOF=15°。由此可得，∠BOE=30°,,NAOF=80°,即NAOF=2NXXX。解：(1)根据题意可知，OA1落在ON上，所以NA3OA2=4α=120°°答案为120°。(2)根据题意可知，/人2。Α4=35°,又因为OA4平分NA2OA3，所以NA2OA4=NA4OA3.由此可得NA2OA3=2NA2OA4=70°。又因为OA1、OA2、OA3、OA4构成等比数列，所以OA3/OA2=(OA2/OA1)2。代入α<30°时OA2∕OA1=sinα，解得OA3∕OA2=sin2α。又因为OA3平分NA2OA4，所以NA2OA3=35°/2=17.5°。根据正弦定理可得sin17.5°∕sin70°=sinα∕1,解得α≈7.07°°答案为7.07°。(3)根据题意可得NA2OA3=2NA2OA4=2x,NA3ON=180°-α-2α-3a=180°-6α。又因为OA4平分NA2OA3，所以NA2OA4=NA4OA3=x。根据正弦定理可得sinx∕OA4=sin(180°-6α)∕OA3,又因为OA3∕OA4=sin(2x)/SinX,代入化简可得SinX=Sin(2乂川山(180°-6£),化简得到2cosx=sin6α-sin2x。由此可得x≈7.49°°答案为7.49°。2.《哈利波特与魔法石》中，XXX第一次骑扫帚比赛中，他骑的是一把叫做“魁地奇”的扫帚，这把扫帚的加速度是a,它的质量是m,空气阻力与速度成正比，比例系数为k。已知XXX在比赛中的速度V与时间t的关系为v=bt,其中b为常数。1）若XXX在比赛开始后的第5秒时速度为10m∕s,求b的值。2）若XXX在比赛开始后的第5秒时速度从10m∕s加速到12m∕s,求k的值。3）若XXX在比赛开始后的第5秒时速度为10m∕s，他能否在10秒内达到最大速度，为什么？如果能，请给出最大速度；如果不能，请说明原因。解：（1）根据题意可得v=bt,所以在t=5s时，v=5b,又因为此时的速度为10m/s，所以5b=10，解得b=2.答案为2.（2）根据题意可知，XXX在5s时的速度为10m∕s，所以此时的加速度为2=队10，即a=10k。又因为在5s时的速度从10m∕s加速到12m/s,所以2a=2k×10=12-10=2，解得k=0.1.答案为0.1.（3）根据题意可知，XXX在比赛开始后的第5秒时速度为10m/s，所以此时的加速度为a=kx10，即a=10k。又因为空气阻力与速度成正比，所以F=kxv，即F=10kv。根据牛顿第二定律可得ma=10kv,代入a=k×10可得mk=10v,即k=10v∕mo所以k与V成正比。因为XXX在比赛开始后的第5秒时速度为10m∕s，所以k与V的值都是确定的，所以在10秒内XXX的最大速度也是确定的。所以XXX能够在10秒内达到最大速度。根据牛顿第二定律可得ma=10kv,代入a=k×10可得mkv=100v，即kv=100，解得v=10m∕s。所以XXX在10秒内的最大速度为10m∕so解题过程：1)由题意得：3α+180°-6α-(10α-180°)=-13α+360°=35°,解得α=25°o2)因为α<30°，所以可以用正弦定理求解：$亩£/2=$由(720°-£)/22/3,解得α=292°o3)由题意得：∠A2OA4=α,∠A2OA3=11α∕13,/八30八4=2久/13.因为OA4平分∠A2OA3，所以∠A2OA4=∠A3OA4,即a=2a/13,解得α=26°o所以NA2OA4=2a/13=4°,NA3OA4=11a/13=22°。1)根据题意，NCOD=90°,NAOC=40°,所以NCOE=50°,NDOE=90°-NCOE=40°o2)NDOE=2α∕13.3)(①)由于NCOE=90°-NDOE,所以NCOE和NDOE互补，即它们的度数之和为90°o②)根据题意，2NAOF+NBOE=(NAOC-NAOF),即2NAOF+90°-NDOE=(2α-2NAOF)，解得NAOF=2ɑ-90°°因为NAOF和NDOE在同一直线上，所以它们的度数之和为180°,即4NDOE-5NAOF=180°o将NAOF=2α-90°代入，解得NDOE=2久/13.所以N