2022-2023学年人教版数学八年级上册分式的运算备课资料（典型例题）

15.2分式的运算

典型例题

题型一分式的乘除运算

例1⑴化简(--的结果是()

(a)a-a

A.-a-lC.-ab+\D.-ab+b

(2)(2019•四川乐山中考)化简：2x+L丘三

x2-lx+1

分析：利用分式的除法法则进行计算，能分解因式的先进行因式分解.

=-(a-l)=-a+l.

答案：B

原式=系若x+l_1

⑵解:

x(x-l)X

例2计算：(1)当⑵叱+纹.

4/6b)y-3y2

分析：利用分式乘法法则与除法法则解题，结果要化为最简分式.

解.⑴空.(，)=-亚.A=-±

,4a216b)4a26b8«'

O2X3Z二4xz22X3Z.-3y2

y-3yy4xz

__2X3Z*3>,2___3x2y

y»4xz22z

点拨：分式乘除法的符号法则与有理数乘除法的符号法则相同.

例3计算：匕乌空工一生工.苴.

-xy-x4

分析：本题中出现了分式的乘法和除法的混合运算，在运算顺序上它们属于同一级运算,

没有括号时，直接从左往右运算即可.

解：，_2肛+y2.*_y2.曳

-xy2-x24

__2_2盯+)，2,y(%—y).3y

-xy1-x24

=*-)，」.一♦.3y=3*2f)

-xy2y(x-y)44y2

点拨：（1）运算顺序：分式的乘除混合运算要从左到右依次进行.（2）在进行分式的乘除混

合运算时，分式的分子和分母能分解因式的，先分解因式，同时把除法转化成乘法，再进行

分式的乘法运算.

题型二分式的乘方

/2\4（2、3

例4计算：（1）+）；（2）聿.

分析：先运用分式乘方法则，将分子、分母分别乘方，再综合运用基的乘方和积的乘方

法则计算.

⑵一43

⑵［与厂中一下一下，

点拨：在本例中，分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方.

例5计算：

分析：先算乘方，再算乘除.

_(x2y)2.(-y)2.(-2x5

lx》,(2狈2)2(缈)4

⑵卜｛T-图卜-加）

川(a1/i)”3

__*___•______=___

a2yb3)1ab4)b5

点拨：（1）分式的乘方法则反过来也成立，即%■=（£）（厚0）.（2）注意运算顺序，先乘方

再乘除；注意运算符号，分清负号在括号内还是在括号外.

题型三分式的加减法运算

例6⑴（2020•天津中考）计・算―二的结果是（）

（x+1）2（x+1）2

A.—B.—C.1D.x+1

x+1(x+1)2

(2)(2019•浙江衢州中考)计算：-+-=.

aa

x1x+11

解析：（1）-----------1-----------=----------=------

(x+1)2(X4-1)2(x+l)2X4-1

(2)-+-

aa

答案：⑴A（2）-

a

例7计算：

a+b2a-hb

(1)——+-----+一；

aaa

^+xy_x2-y2xy-y2

xyxyxy

分析：按照同分母分式运算法则进行计算.

An,2a-b,ba+b+2a-b+b3a+b

解：⑴----+-----+—=--------------=-----

aaaaa

x1+xyx2-y2xy-y2

xyxyxy

_/+孙-(九2)2)+孙一,2

孙

孙

点拨：同分母分式相加减时，要特别注意符号问题，分子相加减时，要把原来的分子用

括号括起来，再加减.

例8（2020•山西中考）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应

任务.

X2-92X+1

X2+6X+92X+6

(x+3)(x—3)2x+l

第一步

(x+3)22(x+3)

x-32x+l

第二步

x+32(x+3)

2(x-3)2x4-1

第三步

2(x+3)2(x+3)

2x-6-(2x+l)

第四步

2(x+3)

2戈—6—2,x+1

第五步

2(x+3)

5第六步

2x+6

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是,或填

为.

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事

项给其他同学提一条建议.

解：任务一：①三分式的基本性质分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整

式，分式的值不变

②五括号前面是，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号

X2-92X+1

任务

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2x+l

第一步

(x+3)22(x+3)

x-32x4-1

第二步

x+32(x4-3)

_2(x-3)2x+\

第三步

-2(x+3)-2(x+3)

2x-6-(2x+l)

...第四步

2(x+3)

2x-6-2x-\

第五步

—2。+3)

2^6…第六步

任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题

目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.

例9计算:

⑴]⑵殳

a+bx2yxy

分析：按照异分母分式的运算法则进行计算.

解：⑴一

112a

------―-------H------------------

a+ha-h(a+b)(a-b)

a-ba+h2a

(〃+8)(〃一/?)(a+b)(a-b)(a+b)(〃-b)

a-h-a-h+2a_2(a-h)_2

(〃+份3一份(〃+6)(〃一份a+b

22

(2)2y_x11_4y_x24)，2"+2

x2yxy2xy2xy2xy2xy

例10(1)(2020•武汉中考)计算二一-的结果是

m+nm-n

(2)(湖北十堰中考)化简：三生吧+手匕-+2.

X-4x+2x

分析：(口把分母病-/分解为⑺+用⑺一〃)，确定最简公分母为("?+〃)(/九-〃)，通分把异分

母分式的加减运算转化为同分母分式的加减运算，结果化为最简分式或整式的形式.

(2)先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，最后根据分式的加减法法

则运算即可.

(1)解析：•:苏-/=(相+〃)(相-〃)，

.2m-3n_2(m-n)tn-3n

m+n加2一〃2(m+ri)(m-n)

_2(/n-n)-(m-3ti)_2m-2n-m+3n

ri)(m-ri)(祖+〃)〃〃-〃)

m-\-n_1

(机+〃)(机一〃)m-n

答案：—

(2)解：＜-4X+4+-4Z^-+2

X2-4X-+2x

*-2)2|x-2

(x+2)(x-2)x(x+2)

x-2

+2

x+2犬(x+2)

x(x-2)+x-22x(x+2)

x(x+2)x(x+2)x(x+2)

戈(JV+2)

_3尸+3x—2

x(x+2)

点拨：(1)异分母分式相加减，关键是通分，即找最简公分母；(2)若加减法运算中含有

整式，则把整式的分母看做1.

题型四分式的混合运算

例11(1)(2020•湖北黄冈中考)计算f为一上］的结果是_______.

x2-y(x+y)

(2)(2019•重庆中考)计算：m-l+竺吆+2m+2

m-9m+3

⑴解析：

x~-y(x+y)x-y(1+yx+y)

=,),=---------!—

Y-y/x+y(x+y)(x-y)yx-y

答案：一匚

x-y

(2)分析：先按照除法法则进行除法运算，再进行加减运算.

解：向+与士生吆

nr-9m+3

F-112(*3):2(m+1)

(m+3)(〃?-3)根+3

12(m一3)m+3,|

=加一1+-------------------•-----------=772-1+--------

(m+3)(/x-3)2(m+1)m+1

(机+-1)+1_ZM2-1+1_m2

m+1/w+1m+\

题型五分式的化简求值

例12(2019•北京中考)如果用+〃=1,那么代数式(穹坦_+』•(〃P-〃2)的值为()

VTH*--mnm)

A-3B-1C.lD.3

解析：(27+几+').(m2_〃2)

\m~-mnm)

2m+ntn-n

-------------------1-------------------

m(m-ri)m(m-n)

2nt+m

Qn+n)(m-n)=3(m+〃).

m(m—n)

m+n=l,原式=3x1=3.

答案：D

例13（2019•广东深圳中考洗化简，再将x=T代入求值.

Ix+2）+4x+4

分析：先把括号内的式子进行减法运算，再把除式的分母分解因式，最后利用分式的乘

除法法则进行化简.

解：原式=X（x+2）：=x+2.

x+2x-l

当x=T时,原式=T+2=L

点拨：对于分式求值问题，一般是先化简，再求值，即先按顺序进行计算，将分式化成

最简分式或整式，再代入求值.

例14（2019•广西桂林中考）先化简，再求值：其中x=

X）2xyy-x

2+y/2,>y=2.

分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x,y的值代入计算可得.

解：原式=3、3^+-1-=二_+_!_=上.

孙U-y）x-yx-yx-yx-y

当x=2+0,y=2时,

原式=二七=孚

2

a2-2a4--^-,并在-2,-1,0,1,2

例15（2019•贵州遵义中考）化简式子F-------+1

a-4a+4a+a

中选取一个合适的数作为〃的值代入求值.

分析：将分式化简为最简分式，再选择不能使分母为0的数作为。的值代入即可.

解：原式=得.3+D3-1)

a(a+1)

。+。-2二。一1_2(。-1)*a2a

a-2cta-2a-\a—2

•:存T,0,1,2,

q=-2.

当〃=-2时，原式=2

例16已知光+,=5,求：

x

⑴小+讶的值；

3x4+』+3

⑵的值.

2x2

分析：将所求式子变形为含卜+力的式子，代入计算即可.

2

「-2,

解：⑴/+-y—x+l

x-

*+3=52-2=23.

X

...原式=2x23+^=35.

22

点拨：第⑴题是运用完全平方公式的变形公式。2+/=(“+与2-2"进行变形的：第(2)题是

逆用同分母的分式加减法法则进行变形的，再将第(1)题的结果代入求值.

题型六条件分式求值

对于特殊分式求值时，有时不能化简，也不能直接代入求值，需要变形转化.

例17已知mb,c为实数，且，也=',匹=工，」J=_L,求_运_

a+b3b+c4c+a5ab-\-bc-vac

的值.

ab1be1ac_1

解法1::

a+b3b+c4c+a5

a+bb+c.c+a匚

=3,------=4,-------=5

abbeac

则1+4=3,-+-=4,-+-=5.

bacbac

将这三个等式两边分别相加,得

2|

abc)

abc1

ab+be+acab+be+ac

abc

\_

1116

—+—+—

abc

ab_1be1ac1

解法2：•・•

a+b3b+c4c+a5

a+bb+c.c+a=

=3,----=4,----=5

ahbeac

a+bb+c,c+a.,

----+----+----=3+4+5c=12,

abbe

4+/?/?+cc+a_2(ab+bc+ac)_.

------+-------+=12o,

abbeac-------abc

.ab+be4-ac

••------------o,

abc

・abc1

..---------=—.

ab+bc+ac6

点拨：本题解法的巧妙之处在于先将已知条件取倒数，再进行变形，大幅度地降低了题

目的难度和计算量，很巧妙地求得分式的值.

222

例18已知上+二^+二=1,且x+y+z和，求工+工+工的值.

y+zz+xx+yy+zz+xx+y

解：因为x+y+存0,

所以原等式两边同乘(x+y+z),得

x(x+y+z)y(x+)，+z)z(x+y+z)_

----------r-----------------------X十)十Z,

y+zz+xx+y

即+虫上1+£+y(z+x)+上+至3=x+>z,

y+zy+zz+xz+xx+yx+y

x2v22

所以--+——+——+(x+y+z)=x+y+z,

y+zz+xx+y

222

所以上-+且_+=_=0.

y+zz+xx+y

点拨：条件分式的求值，如需把己知条件或所求分式变形，必须依据题目自身的特点,

这样才能得到事半功倍的效果.条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想.

例19已知仁心="£=±匕=k，求fL的值.

cab及2+1

分析：本题只要求出攵的值即可得解.由已知条件可彳杲/+6=或，b+c=ak,a+c=bk,将这三

个等式两边分别相加后得到23+什0=欧〃+>c),再通过讨论得到&的值.

解：由已知得a+b=M,b+c=ak,a+c=bk,

三式两边分别相加，得2(a+/?+c)=Z(a+〃+c),

即(2-2)(〃+/?+(?)=0.

所以2-攵=0或。+6+。=0,

即A=2或o+〃+c=0.

当〃+/?+c=0时，a+b=~c,

此时空2=7,即4=-1.

所以左=2或%=T.

当幺=2时，

jt2+122+15

当Z=T时，Y—=-W—=---

M+l(-iK+l2

点拨：在得至!12m+/?+c)=%(4+/>+c)后，因为a+Hc也可能等于零，所以方程两边不能同时

除以a+6+c,否则会丢解，应进行整理，用分解因式来解决.

题型七分式运算的实际应用

例20小明从甲地到乙地的速度是。，从乙地返回甲地的速度是b(a处)；小彬从甲地到

乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是土吆.往返全程，谁用的时间短？

2

分析：本题是关于速度、时间、路程之间的关系的问题，先表示出小明、小彬往返的时

间，然后作差比较.

解：设甲、乙两地之间的路程为s.由题意得

化+=史+22•工

67b)2aba-\-b

_s(a+Z?)2-_5(於+廿-2而)_$(〃一力2

ab(a+h)ah(a+b)ab(a+b)

・.八八八八,,・s(a-b)2

•〃>0,/?>0,s>0,叶b,・・----------->0n.

ab(a+b)

由此可知，往返全程，小彬用的时间短.

例21在如图15-2-1所示的电路中，已测定C4O支路的电阻是R欧姆，又知C8O支路的

电阻&比4大5。欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与&满足关系式六卜本

试用含凡的式子表示总电阻R.

图15-2T

分析：并联电路是一种基本电路，并联电路总电阻R与各支路电阻尺,Ri，此的关

系是！=-!-+-!-+—+则由J_=_L+_L得到R的表达式即可.

R与&R〃R叫&

解：因为户

一+一/?2=4+50,

&R2

所以"=_4+50।%

耳+

Ri+50.（鸟+50）.（为+50）

_2N+50

/?,(/?!+50)'

所以/?=R|(R|+5。)=僧+50屑

27?1+5027?,+50'

点拨：此题是物理中的电学知识和数学知识结合的综合题，应用分式运算规则的同时考

查了物理知识.

题型八负整数指数幕的运算

例22计算：

⑴(。%2小3)3;(2)〃％3.(“2万2)-3；

(3)(2aZ?2c3)-2^(a'2i>)3；

(4)(3x10-5)2*3x10-2)2.

分析：引入负整数指数幕后，指数的取值范围就扩大到了全体整数，以前所学的正整数

指数基的运算性质，对于整数指数幕仍然适用.

解：⑴(a方〃)3=3一1)3(/)3(/)3

=。3%-9=.

ac

(2)a%3.(a2b-2)-3=a2b3-a-6b6=ash9=〈.

a8

(3)(2a〃，)-2+(“-2与3=⑵为：万偿出屋分)

46

=2%%%6=篝

4b7

(4)(3x10-5)2-(3X10-2)2=(9x1oIO)-?(9x1O-4)

=10-6=J.

106

点拨：整数指数基的运算结果一般要用正整数指数基来表示，如⑴题中的结果得到ah6a9

A6

后，还要化为

a'c

6)=16,求小〃的值.

例23已知3"=—，

27

分析：先将:变形为底数为3的累，16变形为底数封的幕，然后确定孙〃的值，最

后代入求〃?"的值.

解：3"'=，=-V=3-3,即3"'=3汽m=-3.

2733

又；

例24已知2""=L32"=6,求23"N。"的值.

3

解：2""=(2'")T=L,2'"=3,

3

23，"=⑵=33=27.

V32,,=(25),,=25,'=6,

...2i°"=(25")2=62=36.

•23"1°”一23加+(-1°用一23加•2/。〃

=23，”.(2l0n)-|=27x36-|=27x-L=-.

364

点拨：运用负整数指数事的意义解决这类题目时，要将已知式子两边化为同底数或同指

数的形式，然后构造方程，并通过解方程确定指数或底数中的待定字母的值.

题型九用科学记数法表示绝对值小于1的数

例25用科学记数法表示下列各数：

(1)0.00003；(2)0.000000567；(3)0.00004；

(4)0.0034；(5)(3X10-8)X(4X103)；

(6)(3x10-5)2X(3X10-9)2.

分析：对于小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式，其中lWa<10,〃为原

数第1个不为。的数字前面所有0(包括小数点前面的一个0)的个数.

解：(1)0.00003=3x10-5

(2)0.000000567=5.67x10-7.

(3)0.00004=4x1()5

(4)0.0034=3.4x10-3.

(5)(3x10-8)X(4X103)=12x10-5=I.2X1O-4.

(6)(3x10-5)2X(3X10-9)2=9X10-'0X9X10-18

=81x10-28=8.1x10-27

点拨：用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移

了几位，10的指数就是负几.

例26计算：

(1)(3X10-7)X(2X103)；

⑵(2xK)-4)2x(5xi(y3)；

(3)(6xlO6H3xlO-2)；

(4)(2x10-2)3*4x10-3)-2.

分析：将10看成字母a，则本题实质上就是单项式的相关运算，按照单项式和幕的运算

法则进行计算.第(2)(4)小题涉及含乘方的混合运算，应当先算乘方，再算乘除.

解：(1)原式=(3x2)x(l0-7x103)=6x10±

(2)原式=(4x1(y8)x(5xl(y3)

=(4X5)X(10-8X10-3)

=20x10-11=2x10“0.

(3)原式=(6+3)x106(-2)=2x108

(4)原式=(8xl(y6产(也心)

=128x10-12=]28x10-10.

点拨：(1)用科学记数法表示的数字的计算问题，其结果仍然要用科学记数法表示，例如第

(2)题得到20x10”时，20大于10,不符合科学记数法的要求，因此不能作为最后结果.(2)用

科学记数法表示数字可使运算简便.

例27微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电

子元件的面积大约为0.00000053mm2,用科学记数法表示为m2.

解析：0.00000053mm2=5.3xl0-7mm2=5.3xl013m2(lmm^lQ-6m2).

答案：5.3x1O-13

点拨：本题还可以先将0.00000053mn?化为0.00000()00()00053n?,再用科学记

数法表示.

例28一块900mm2的芯片上能集成10亿个元件.

(1)每个这样的元件约占多少平方毫米？

(2)每个这样的元件约占多少平方米？

62

分析：注意面积单位、计数单位的换算：1亿=1。8,Jm2=iomm.

解：(1)：10亿=10X108=1()9,

9009八,八7,2、

转=诃=9°(mm)，

每个这样的元件约占9x10-7mm?.

(2)V1m2=106mtn2,

:.9xl0-7vl06=9xl0',3(m2).

•••每个这样的元件约占9x10」3m2.

点拨：指数的范围由正整数扩充到整数时，幕的运算性质同样适用，负整数指数幕转化

为正整数指数幕时，7m和，”为正整数).

题型十利用等式性质求分式中的待定系数

例29若与匚=其中A,B为有理数，求A,B的值.

X2-4x-2x+2

分析1：对等号右边的代数式进行通分，得到（A+B）x：（2A-2B）,进而求解

X2-4

分析2：本题除了可以利用上述方法以外，也可以利用待定系数法求解.隼匚=」一+

X2-4X-2

对于任意的x，±2都成立，我们可以选取A的特殊值代入进而求解，由于本题中存在两

x+2

个待定系数，因此需要选取两个x的特殊值，建立两个关于A,B的方程，联立得到关于A,B

的方程组，进而求出A,B.

解法1：:

x-2x+2

_A(x+2)B(x—2)

~(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)

_Ax+2A+Bx-2B

X2-4

_(A+B)x+(2A—28)

X2-4

.7x—2_(A+8)x+(2A—23)

A+B=7,[A=3,

解得

2A-2B=-2f[B=4.

解法2：令x=0,则*卜品得①

令x=l,则-』=-4+0,得34-8=5.②

33

联立①②得[*=3，

[8=4.

点拨：这里待定系数A,8可看成未知数，x可看成已知数.

题型十一分式的大小比较

比较分式的大小，往往通过对分式进行化简或对分式进行通分解决.方法是将它们化为

分母相同或分子相同的分式来比较大小.

例30已知.，人为实数，且出>=1,设加=，二+—,7V=—+—,则M,N的大

a+1b+\a+1b+1

小关系是（）

X.M>NB.M=NC.M<ND.不能确定

解析：分式的大小比较问题既可以通过通分解答，也可以通过分式的运算解答.

方法1：ab=\,：.M=—+—=—^—+

a+1b+\a+abb+ab1+b1+a

ab_。(。+1)+优a+1)2ab+。+6_。+b+2

方法2：ah=\,：.M=t—+-------------------

«+1b+\5+1)3+1)(a+l)S+l)-3+DS+l)

1Z7+1+a+1a+。+2

N=-J—4-・•・M=N.

67+1b+\3+l)(b+l)3+D3+1)

答案：B

规律总结：分式的大小比较问题主要是通过化简或计算，对分式进行恒等变形，然后通

过比较变形后的结果得出结论.有时也可以通过计算得到M-N的符号来进行判断.

题型十二规律性问题

例31方程=2=2,的解为制=2,X2=，:

x222

方程JC+-=—=3-的解为乃=3,X2=-;

x333

方程x+工=口=的解为制=4,X2--.

x444

(1)请写出第7个方程：,它的解为修=，X2=;

(2)请写出第(〃T)个方程：,它的解为兑=,及=.

解析：通过观察发现第〃个方程右端式子的分母是(〃+1),分子是("+1)2+1,方程的解为

X]=〃+1,X2=----.

n+]

答案：(1比+工=堂=818-

x888

小、1/+]]]

(2)犬+-=-----=n+-n-

xnnn

点拨：发现符号和数字的变化特点是探索此类问题的关键.

拓展资料

按遗嘱分马

传说有一位老人，他有3个儿子，老人临终前对他的3个儿子说：“我的遗产只有

17匹马，我把17匹马全部分给你们.我死后，老大分一半，老二分三分之一，老三分

九分之一.马是有灵性的，分马时一定不能让马受到伤害

老人去世后，三兄弟为按遗嘱分马的事发了愁.他们不会将17匹马按进行