2022-2023学年内蒙古自治区乌兰察布市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区乌兰察布市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1.已知A={x|x<2},下列正确的结论是()

A.{-1}6B.{1}1AC.-1cAD.0eA

【答案】A

【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可.

【详解】解：因为4={和<2},

所以{T}=A,{1}GA,0SA,

故A正确，BCD错误.

故选：A.

2.已知/(幻=以2+次是定义在［q-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是()

A.--B.-C.一！D.g

3322

【答案】B

【分析】由偶函数的定义得八-尤)=/。)且1=-2.求出a、b,然后求

【详解】：/(x)=ax2+%x在［a-1,2d］上是偶函数

/(-X)=/(x)有：h—0,且a—1=—2a

.1

・・〃=一

3

...1

..a+b=-

3

故选：B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义/(-幻=/(幻且定义域关于原点对称求参数

值

3.A={x|x<l},B=<x<2},则&A)n3=()

A.{x|l<x<2}B.C.{x|l<x<2}D.{x|x>lj

【答案】A

【分析】利用补集和交集的定义计算可得结果.

【详解】由己知可得汆4=卜卜>1},因此，(aA)c3={x[l<x<2}.

故选：A.

4.己知函数〃X)=(m2-/»-1卜”5-2是塞函数，且在(0,+8)上是减函数，则实数，〃=()

A.2B.-IC.4D.2或-I

【答案】A

【分析】根据第函数的定义求出加的值，再讨论函数，(x)是否在(0,+8)上是减函数.

【详解】解：基函数〃x)=(〃—〃—)--2时2中，

令=得，/—机―2=0,

解得加=2或/n=-1；

当m=2时，nr-2,n-2=-2,函数八的=/2,在(0,+8)上是减函数，满足题意；

2

当m=T时，m-2m-2=l,函数f*)=x,在(0,—)上是增函数，不满足题意；

所以实数，"=2.

故选：A.

5.设“={x|-2VxM2},N={y|0My42},函数/*)的定义域为M,值域为N,则/*)的图象可以

是()

【答案】B

【详解】A选项中的图像定义域不是M={*1-24x42},所以A错误；

B选项正确；

C选项中的图像不是函数图像，所以C错误；

D选项中的图像的值域不是N={y|0Wy<2},所以D错误.

故选：B.

6.下列各组函数是同一函数的是()

®f(x)=x2-2x-l与gQ)=s2-2s-i

@f(x)=7^与g(X)=XsPx

Y1

@f(x)=—与g(x)=—

XX

@f(x)=X与g(x)=正'

A.①②B.①③C.①④D.③④

【答案】B

【分析】利用函数的三要素：定义域、值域、对应关系即可求解.

【详解】对于①，函数=x2-2x-l与g(s)=?-2.y-l的定义域都是R,

对应关系相同，虽然自变量不同，但仍然是同一函数，所以正确；

对于②，函数/(x)与g(x)定义域是(YO,0],

当f(x)=/二7=国/工，对于关系不同，故不是同一函数；

对于③，函数/(X)三与g(x)=W定义域均为(9,0)5。,田)，

X1

化简/(X)=—=1，g(X)=—=1,故函数为同一函数；

XX

对于④，函数f(x)=X与g(x)的定义域均为H,

但g(x)=J7=W，故不是同一函数,

同一函数为①③

故选：B

【点睛】本题考查了函数的三要素，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

■的定义域是

7./(x)=(x-l)n+J3

V+1

A.(-1+QO)B.(F-1)

C.RD.(—1,l)U(l,-*<30)

【答案】D

fx*l

<=x>-LSxfl

【详解】试题分析：U+l>°，故选D.

【解析】函数的定义域.

8.设〃=/，b=(g),C=0.8°3则。，b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】将匕=&J9化为匕=309,利用指数函数的单调性得b=3°-9>a=3°，>3°=1,

c=0.809<0.8°=l,即可得c<a<b.

【详解】由指数函数的单调性可得，6=(；)=3°9>。=3°8>3°=1,

c=O.809<0.8°=1，所以c<a<b.

故选：D

二、多选题

9.下列结论中不正确的是()

A.若则a>bB.若工<),贝!|“>b

ab

C,若c>d,则D.若则

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质判断选项A；求得不等式《的解判断选项B；举反例否定选项C；求

得不等式2"-">1的解判断选项D.

【详解】选项A：ac2>be2»则c?>。，则a>b.判断正确;

选项B：若1<十,则a>力>0或6<"0或a<0<6.判断错误；

选项C：令a=3>l=b,c=-3>-5=df则改=一9〈一5=次/.判断错误；

选项D：若2"一”>1，则。一人>0,则a>0.判断正确.

故选：BC

10.下列函数最小值为2的是（）

A.j=x24-^7B.y=+3+/~■=

x2Jf+3

101

C.y=2'+—D.y=x2+—,x>0

2Xx

【答案】AC

【分析】根据基本不等式的性质运算判断A,B,C,根据函数的取值判断D选项.

【详解】解：对于A,丁=幺+!中丁>0,所以工2+与乜"1=2,当且仅当f=i时，等号

成立，故A符合；

对于B,〉=1不+开工中名再326,所以7ZR+*=244r方~^==2,当且

，厂+3vVX2+3Vy/x2+3

仅当J甬3=—=即/=_2时等号成立，故等号不成立，故V=4^+-/==最小值不为2,

故B不符合；

对于C,y=2'+/中2*>0,所以2'+：22^2”（=2,当且仅当2，=2，即x=0等号成立，

故C符合；

对于D,y=x2+-,x>0,当犬=正时，y=（g|+0=匕空<孚=2,故D不符合.

x22J22

故选：AC.

11.已知关于x的不等式"2+fer+c>0解集为3-I<x<4},则（）

A.a>0

B.不等式乐+c>0的解集为1x卜

C.a+b+c>0

D.不等式ex?-fex+4<0的解集为<x<1）

【答案】CD

【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和

一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由已知可得。<0,并且-L4是方程以2+版+°=0的两根，

则由韦达定理可得："，解得c=-4〃，b=-3a,所以A错误；

-1x4=-

a

选项B：不等式乐+c>0化简为3x+4>0,解得x>-g,所以不等式反+c>()的解集为［x卜

所以B错误；

选项C：。+人+。=。一3。-4。=-6。>0,所以C正确，

选项D：ex?一反+&<0化简为4炉一3%-1<0,解得一!<大<1,所以不等式cJ-bx+av。的解集为

4

所以D正确，

故选：CD.

-ar+3,x<1

12.已知函数/(x)=42a-l,是R上的减函数，则实数。的取值可以是()

-------,x>1

x

124

A.-B.—C.1D.一

333

【答案】BCD

【分析】根据减函数的定义，结合一次函数、反比例函数的单调性、分段函数的单调性进行求解判

断即可.

-ax+3,x<\

【详解】因为函数f(x)=2〃-1,是R上的减函数，

-------,x>1

、X

一。<0

14

所以有'2。-1>0=>—<«<—,

一。•1+3N-------

11

选项BCD符合题意，

故选：BCD

三、填空题

13.已知函数f(x)为偶函数，且x>0时,f(x)=x3+x2,则〃-1)=________

【答案】2

【分析】先求/⑴，再根据偶函数求

【详解】因为x>0时，f(x)=xi+x2,所以7(1)=1+1=2

因为函数/(x)为偶函数，所以/(一1)=/⑴=2

故答案为：2

【点睛】本题考查根据偶函数性质求函数值。考查基本分析求解能力，属基础题.

14.函数/(x)=『-；+4(x>0)的最小值为.

【答案】3

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意x>0,

4I~4

/'(X)=x+——1>2Jx-----1=3,

4

当且仅当x=—,x=2时等号成立.

x

故答案为：3

15.已知全集。="次€2,|刈”3},集合4={-2,0,1,2},«={-2,1,3},如图中阴影部分所表示的集

合为.

【答案】{0,2,3}

【解析】求出全集。=3工€乙|》|,,3}={-3,-21,0,1,2,3},。,4={-3,-1,3},

。/={-3,-1,0,2},图中阴影部分所表示的集合为（Ac移B）u（8c“A）.

【详解】由题意得全集U={x|xeZ,|x|”3}={-3,-2,-1,012,3},

又集合A={-20,1,2},8={-2,1,3},

所以，={-3,-1,3},立5={-3,—1,0,2},

故Anq/={o,2},80电4={3},

所以，图中阴影部分所表示的集合为(人/淞2小口〃A)={0,2,3}.

故答案为:{0,2,3}.

【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn图等基础知识，考查运算求解能力，属于基

础题.

16.命题“3xe[l,2],f+x-aMO”为假命题，则。的取值范围为.

【答案】（—,2）

【分析】写出原命题的否定，结合分离参数法以及二次函数的性质来求得“的取值范围.

【详解】“玉叩,2],f+x_aw0，，为假命题，

其否定：Vxe[l,2],x2+x-«>0,是真命题，

所以a<+x在区间42]上恒成立，

y=x?+x在[,2]上递增，最小值为「+1=2，

所以。<2,即。的取值范围是（f,2）.

故答案为：（YO,2）

四、解答题

【答案】（l）：2+e

⑵迈

25

【分析】（1）根据指数塞的运算法则逐步计算即可；

（2）将根式化为分数指数第，再利用指数幕的运算法则化简即可.

【详解】（1）原式=3+l-l+：+e—加

2

=一+e

3

(2)原式上=，*8/>"为'工=近

2m3210025

18.已知全集U=(f,+°o),A=|x|l<x<51,8={x|mvxvl-3加}.

⑴若机=-1,求B3Q,A)；

(2)若An8=A,求实数〃i的取值范围.

【答案】⑴{巾<4或XN5}.

0

⑵卜。v

【分析】(1)代入机=T化简集合8,再利用集合的交并补混合运算即可得到结果;

(2)由4口8=4得4勺8,利用数轴法即可得解.

【详解】(1)因为加=-1,所以3={X，"<x<l-3〃”={X-l<x<4},

因为U=(T»,+OO),A={x[l<x<5},所以电A={x|x41或xN5},

故83。间=卜卜<4或工25}.

(2)因为4|"|8=4,所以A=

m<\

m<\4

所以，解得4,故机W——,

l-3w>5ni<——

3

所以实数m的取值范围为18,一：

19.已知集合4={x|W-3x-4<。},B=1x|x2+4mx-5m2<O1(/M>0)

(1)若集合8={x|—5<x<l},求此时实数加的值；

⑵已知命题P：xeA,命题q:xe8,若P是4的充分条件，求实数机的取值范围.

【答案]⑴1

(2)[4,-H»)

【分析】(1)B={x]-5<x<1},得方程》?+4g-5加=0的两根为-5,1,可解出〃?=1.

(2)由P是夕的充分条件，知A《B,利用集合的包含关系求实数，"的取值范围.

【详解】(1)B={x|x2+4mr-5/n2<0}={jc|-5<x<l},

二方程Y+4wtr-5>=0的两根为-5,1,

知一5+1=-4m,解得n?=l,

当m=1时，不等式f+4勿a一5相2<0为工2+4无_5<0，

B[J(x+5)(x-l)<0,解得—5vx<l

此时满足8={x|-5vxvl},

故实数阳的值为1;

（2）由。是9的充分条件，知

X^={X|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4）,

B={x|(x-/n)(x+5m)<0},

因为〃2>0,所以一则3={x]-5，?7cxem},

—5/n«—1mN一

，解得一5即THN4,

m>4、.

{w>4

所以加的范围是［4,+oo）.

ffl

20.(1)已知a>b>0,c<d<0m<0,求证：---->----

fa-cb-d

（2）已知关于x的方程f+2（机-2»+/+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个

根的积大21,求加的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）6=7.

【分析】（1）由不等式的性质证明.

（2）利用韦达定理解决一元二次方程两根的相关问题.

【详解】解：（1）证明：由a>6>0,c<d<09

以-c>—d>0,得-a—c>b—d>0,

由（a—c）0—d）>0,----<---,

a-cb-d

bc,日mm

又根<0，得---->----

a-cb-a

（2）设方程/+252-2）元+〃22+4=0有两个实数根为大,々，则

$+%=4-,xxx2=疗+4,

由已知得戈；-x]x2=21,即(与+七)2—3%%2=21,

得(4一2加)2-3(1+4)=21,即/一16m—17=0,

解得〃2=17或〃7=-1.

又由判别式△=4（机一2）2-4（*+4）20,得加工0,

/./??=-1.

21.如图，长方形488表示一张6x12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），

中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P

锯掉一块三角形废料AWV,其中M,N分别在A8.AO上.设4W,4V的长分别为切分米，〃分米.

mn

（2）为使剩下木板M8CLW的面积最大，试确定加，〃的值；

（3）求剩下木板的外边框长度（MB/CCRDN的长度之和）的最大值及取得最大值时〃2,

n的值.

【答案】（1）1

（2）6=4,〃=2

（3）最大值为（33-2点）分米，此时力=2+&,”=尤+1.

【分析】（1）过点尸分别作A8,A。的垂线，垂足分别为E,尸，根据可得出;

（2）利用基本不等式求出〃?”的最小值即可;

（3）利用基本不等式求出帆+〃的最小值即可.

【详解】（1）过点户分别作A8,AO的垂线，垂足分别为瓦尸,

2n—\

则APNF~^MPE,所以=则

EMPE"2—2~T~

21

整理可得一+—=1;

（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料网的面积S=g〃?”最小,

因为，">0,〃>0,则1=2+上.2已.1,可得见?..8,

mn\mn

21

当且仅当*=上，即机=4,〃=2时，等号成立，

tnn

所以当〃?=4,〃=2时，剩下木板的面积最大；

(3)要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度机+〃最小，

则加+〃=(租+扉2+口=&+，3..2、叵互+3=2正+3,

当且仅当a