2022-2023学年静安区初三数学中考一模试题含详解

九年级数学学科练习

(满分150分，用卷时间100分钟)

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题；

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题

一律无效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的

相应位置上

1.下列实数中，无理数是

(A)；(C)(乃+2)0；(D)

7

2.计算所得的结果是

(A)%9；(B)%6；(C)%5；(D)x.

3.如果非零向量3、3互为相反向量，那么下列结论中错误的是

(A)allb；(B)|«H^|；(C)a+B=0；(D)a--b.

4.如图，已知AABC与下列条件一定能推得它们相似的是

(A)ZA=ZE>,NB=NE；

=且丝=变

(B)

DFEF

(C)ZA=NB,ND=4E；

5NE且卷=短

(D)

5.如果0°<NA<60°,那么sinA与cosA的差

(A)大于0；(B)小于0；(C)等于0；(D)不能确定.

九年级数学试卷第1页共6页

6.如图，在△ABC中，中线A。与中线BE相交于点G,联结。E.下列结论成立的是

（A）DG=-AG；

BGDE

~EG~~AB

S^DEG_J.

SMGB4

第6题图

SAAGB2

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.）的倒数是▲.

3

、、但42a

8.计算：---+-----=▲.

Q+2a+2

9.己知a»=2:3,那么，一的值是▲.

10.抛物线y=（x+1》-2与y轴的交点坐标是▲.

11.请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线

的表达式可以是▲.（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）

12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水

位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点

。距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平

面xOy,那么此抛物线的表达式为▲

第12题图

13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作8C、AD,且迎水坡A8的坡度为

1：2.5,背水坡CD的坡度为1:3,则迎水坡AB的坡角▲背水坡CD的坡

角.（填“大于”或“小于”）

14.已知△48CSZV1|8IC|SZ\A2B2C2，△4BC与△AiBiG的相似比为g,ZxABC与

15.在矩形ABC£>内作正方形4E/7）（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于

点P.如果点尸恰好是边CD的黄金分割点（£>QFC）,且PE=2,那么PF=▲.

九年级数学试卷第2页共6页

16.在△ABC中，AB=6,AC=5,点£>、E分别在边AB、AC上，当A£>=4,ZADE=ZC

NBDC=6Q°,BE=3,那么A、一两点间的距离是▲.

18.定义：把二次函数y=a（x+〃?）~+N与y=（a¥0,皿、〃是常数）称作

31

互为“雌函数”.如果二次函数＞与y=—f—[cx+c（仄。是常数）

互为“旋转函数”，写出点P（b,c）的坐标▲.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（本题满分10分）

计算:EE+f空六

20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，已知在△ABC中，点。、E分别在边A&AC上，且BZX2AZ）,

AE=-EC.

2

(1)求证：DEHBC-,

（2）设=BC=b,试用向量a、b表示向量AC.

21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

5

如图，已知在△ABC中，NB为锐角,40是8c边上的高，cosB—,AB=13,8C=21.

13

（1）求AC的长；

（2）求/BAC的正弦值

九年级数学试卷第3页共6页

第21题图

22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

有一把长为6米的梯子A8,将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地

面所成的角记为a,地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足50。WaW75。时，人才

能安全地使用这架梯子.

（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求a的度数（结果取整数），此时人是否能安

全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，

如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端8也随之向后平移

到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

第22题图1

23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图，在梯形ABCQ中，AD//BC,。尸分别交对角线AC、底边BC于点E、F,且

ADAC^AEBC.

（1）求证：AB//FD；

（2）点G在底边BC上，BC=10,CG=3,联结AG,如果△AGC与的面积

相等，求FC的长.

第23题图

九年级数学试卷第4页共6页

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线）+力尤―6（4工0）与x轴交于点

A、8（点A在点B的左侧），交y轴于点C,联结8C,/ABC的余切值为工，AB=8,点

P在抛物线上，且PO=PB.

（1）求上述抛物线的表达式；

25.（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）第24题图

在等腰直角△ABC中，NC=90。，AC=4,点。为射线CB上一动点（点£＞不与点8、

C重合），以A。为腰且在的右侧作等腰直角△ADE/4OF=90。，射线AB与射线"）

交于点E,联结BE

（1）如图1所示，当点。在线段C8上时，

①求证：△ACQS/XABF；

②设C£）=x,tanNB/rZAv,求v关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

九年级数学试卷第6页共6页

九年级数学学科练习（解析版）

（满分150分，用卷时间100分钟）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题；

2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题

一律无效；

3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的

相应位置上

1.下列实数中，无理数是（B）

(A)V16^:(C)(乃+2)0；(D)

7

【解析】（A）痛=4,是有理数，不合题意;

"无法化简，是无理数，符合题意;

(B)3

（C）（7+2）°=1,是有理数，不合题意;

Q

（D）2为分数，是有理数，不合题意.

7

2.计算所得的结果是（C）

(A)%9；(B)/；(C)%5；(D)x.

【解析】於*=/3+2）=京C符合.

3.如果非零向量4、力互为相反向量，那么下列结论中错误的是(c)

(A)allb；(B)|«|=|^|；(C)a+B=O；(D)a--b.

【解析】；非零向量"、Z互为相反向量,

二。、B长度相同、方向相反,

(4)(B)(D)正确，

选择(C).

4.如图,已知△ABC与下列条件一定能推得它们相似的是(A)

(A)ZA-ZD,NB=ZE；

4且理=变

(B)

DFEF

(C)ZA=ZB,ND=NE；

(D)小㈤卷啮

【解析】(A)VZA^ZD,NB=NE,

：.4ABCs△DEF(A.A)；

44=/。且4g=生，不符合S.A.S.,

(B)

DFEF

故不可证明Z)E尸相似;

(C)ZA=NB,ND=NE,只能推得△ABC与AOE尸为等腰三角形,

不可证明448。与4DE尸相似;

AriAC

(D)NA=NE且一=——，不符合S.A.S.,

DEDF

故不可证明△48(7与4OEF相似.

5.00<ZA<60°,那么sinA与cosA的差(D)

(A)大于0；(B)小于0；(C)等于0；(D)不能确定.

【解析】采用赋值法：

(1)当/A=30°时，sinA=sin30°=—,cosA=cos30°=—,

22

则sinA—cosAvO.

斯jy

(2)当NA=45°时，sinA=sin45°=——,cosA=cos45°=——,

22

则sinA—cosA=0.

由此可得：不能确定sinA与cosA的差与0之间的大小关系，・・.D符合.

【规律】当00vNA<45。，sinA<cosA；当45。<44<90。，sinA>cosA.

6.如图，在△ABC中，中线AO与中线3E相交于点G,联结。E.下列结论成立的是（C）

G

(A)DG^-AG；(B)(O^=1;(D)^o^=l

3EGAB4S^AGB2

【解析】•・•中线AO与中线BE相交于点G,・・・G为重心，DE为中位线.

（A）：G为重心，，OG=，AG,故（A）不成立;

2

（B）的=2,"=L故（B）不成立；CHDMB

EGAB2第6题图

np\盘应=(匹故©

(C)VDE//AB,——=-)2=_1,成立;

AB2S.BAB4

(D)在△ABO与ABCE中，BD=-BC,EH=-AM,

22

u&DEG]_

•♦SAABD=SABCE，=S四边形CDGE,由(C)可知,

4

.•.可得隆盛=3,故（D）不成立.

"GB4

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.）的倒数是▲.

3

【解析】」的倒数是3.

3

"计算:2+急

42a4+2。2(2+〃)

【解析】----------1----------=-----------

。+2。+2。+2Q+2

9.已知。/=2:3,那么一日一的值是▲

a+b

【解析】：a:Z?=2:3,・,•设a=24，b=3k,

u、a2k2k2

a+b2k+3k5k5

10.抛物线y=（尤+1）2-2与y轴的交点坐标是▲.

【解析】y=（x+l）2-2=x2+2x+l-2=x2+2x-l,

抛物线y=（x+l）2-2与y轴的交点坐标是（0,-1）

11.请写出一个以直线x=3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线

的表达式可以是▲.（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）

【解析】•.•对称轴为直线x=3,...可知抛物线表达式：y=a（x—3y+m,

；对称轴左侧部分是下降的抛物线，a>0，

抛物线的表达式可以是：y=（x-3）2,y=2（x-3T+l等（答案不唯一）.

12.有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水

ncccc，-c-n

位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点

。距离水面为3米，如图建立直角坐标平

第12题图

面xOy,那么此抛物线的表达式为▲.

【解析】由题：桥下水面A8宽20米，拱桥的最高点O距离水面A8为3米,

3,

.•.0(0,0),A(-10,-3),8(10,—3),...可得y=—而/

13.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD,且迎水坡AB的坡度为

1:2.5,背水坡CD的坡度为1：3,则迎水坡AB的坡角▲背水坡CD的坡

角.（填“大于”或“小于”）

［解析】设迎水坡AB的坡角为a,背水坡CD的坡角为P,

由题可得，tanc=1:2.5,tan4=1:3,

；tana随a的增大而增大,而tana>tan/7,

：.a>/3,即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角

14.已知△4BCSZ^4BC|S/\42B2C2，△48C与△4BIG的相似比为,，△ABC与

5

2

△A282c2的相似比为一，那么△AIBICI与△A2B2C2的相似比为▲

3

【解析】由△A8C与△AIBIG的相似比为;，可设AABC为鼠△AiSG为女，

2

同理，由△ABC与AA282c2的相似比为一，可设282c2为1.5A,

3

：./XA\B\C\与282c2的相似比为5k：l.5k=—.

3

15.在矩形A8CO内作正方形AEF。（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边E尸于

点P.如果点尸恰好是边CD的黄金分割点（OQFC）,且PE=2,那么PF=▲.

【解析】•.•正方形AEFZ）,...OFuAE,

:点尸恰好是边CD的黄金分割点,

.CFDFV5-1

..----=-----=--------,

DFCD2

第15题图

.CFPF75-1

CF//AE,

"~AE~~PE~2

■：PE=2,

16.在△ABC中，AB=6,AC=5,点。、E分别在边AB、AC上，当AO=4,NADE=NC

【解析】由题，可画出图形（如右图），

；NADE=NC,/A=/A,

，/\ADE^ACB,

.DEAD4

"AC-5

17.如图，△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△£>r:,如果点8、D、E在一直线上，且

NBDC=60°,BE=3,那么A、。两点间的距离是▲

【解析】作CHL3E,联结A£>,

：△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△OEC,

.♦.可得等腰等腰⑶△BCE,

3

BE=3,BH=EH=CH=-,第17题图

2

在中，NBDC=60°,：.得CD=4^，:.AD=OCD=庭.

18.定义：把二次函数y=a(x+〃z)2+〃与y=-。(工一勿2)2-〃(〃W0,〃?、〃是常数)称作

31

互为“旋转函数”.如果二次函数y=/+耳。工一2与y=—工2一^cx+c(〃、c是常数)

互为“旋转函数”，写出点尸(b,c)的坐标▲.

【解析】y=ci[x+zn)2+〃=ax2+2axm+am?+n,

y=—a(x——n=—ax2+2axm—am2—n,

由此可知，在互为“旋转函数”中：

(1)二次项系数互为相反数；(2)一次项系数相同；(3)常数项互为相反数.

则在二次函数y=x2与y=-x2一1cx+c中，

3,1f,1

——b=—cb=—

<24.解得｛3，(—।—,2).

-2=-cc-2

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（本题满分10分）

计算：7cos2300-sin230°+（侬45。…45。了.

tan45°

------2--------1V2

r会「，底一（6丫UY/-TX276-472V23-2V23-V2

【解析】原式=1————+（———）"=-+―：—=—+---=---.

2⑶1AV24222

20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，已知在△ABC中，点。、E分别在边A&AC上，且BD=2AZ）,

1

AE=-EC.

2

(1)求证：DEHBC-,

（2）设丽=Z,BC=b,试用向量々、B表示向量元.

【解析】(1),：BD=2AD,：.——=-

BD2

.AE-1

'：AE=-EC,

2,EC"2

.AD_AE

：.DEIIBC.

"^D~EC

..AE_l,EC_2

•f・・=一—,

EC2AC3

—k3—*3—k--3-33一

AC=-EC=-(EB+BC)=-(-a+b)=--a+-b.

22222

21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，已知在△ABC中，为锐角,40是BC边上的高，cosB=—Mfi=13,«C=21.

13

(1)求AC的长；

(2)求N84C的正弦值.

【解析】(1)cosB=—,AB=\3,

13

.\BD=5,AD=12,

第21题图

：BC=21,Z.CD=BC~BD=21-5=16,

：.Rt/\ABD,AD=\2,CD=16,；.AC=20.

⑵作CH1AB,A

：.Rt/\BCH,cosB=—=>sinB

13

...2=U=S=经，

BC1313

252

：.sinZBAC=-=-^~63

AC2065

22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

有一把长为6米的梯子AB,将它的上端A靠着墙面，下端8放在地面上，梯子与地

面所成的角记为a,地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足50°WaW75。时，人才

能安全地使用这架梯子.

（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求a的度数（结果取整数），此时人是否能安

全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，

如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移

到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

25

【解析】（1）cosa=—,解得a=65°,

6

在50°Wa<75°的范围内，.•.能.

答：£=65。，此时人能安全地使用这架梯子.

（2）由题：人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开

地面最高，，a=75。，

Rt/\AOBfAO=AB-sin75°=5.8m,

AD=1.5/77,O£>=5.8-1.5=4.3/n,

...sinZDEO,解得ZDEO=46°<50°,

DE6

答：此时人不能安全使用这架梯子.

第22题图2

23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图，在梯形A3C。中，AD//BC,。尸分别交对角线AC、底边BC于点E、F,且

ADAC=AE-BC.

（1）求证：AB〃FD；

(2)点G在底边8c上，BC=\O,CG=3,联结AG,如果ZXAGC与AEFC的面积

相等，求FC的长.

【解析】(1),JAD//BC,：.ZDAE=ZACB,

An

'：ADAC^AEBC,：.—=——，

BCAC

：./\ADE^/\CBA,：.ZADE=ZABC,

第23题图

'JAD//BC,；.NADE=NEFC,

:.NABC=NEFC,：.AB//FD.

(2)♦.•△466'与448(7同高，，^^£=区3

SAABCBC10

VAAGC"EFC的面积相等,

2

...三3=匕CF一，解得CF=i—a.

10100

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线^=。/+"一6（。。0）与x轴交于点

4、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C,联结BC,ZABC的余切值为:，AB=8,点

P在抛物线上，且PO=PB.

（1）求上述抛物线的表达式；

（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P,新抛物线的对称轴与x轴交于点E.

①求新抛物线的对称轴；

②点尸在新抛物线对称轴上，且\/

/EOF=/PCO,求点尸的坐标.\/

【解析】（1）RfZXBOC,cotZABC=-,\/

0IBx

Vy=ax2+bx-6,：.C（0,-6）\

Jc

工可求得B（2,0）,

VAB=8（点A在点B的左侧），；.A（-6,0）,

第24题图

1,

代入抛物线，ny=jx2+2x—6.

（2）①：尸O=PB,在OB的中垂线上，

•••新抛物线过点。和点P,...原抛物线向右平移，

=由点A平移到点0,.•.原抛物线对称轴向右平移6个单位,即得新抛物线对称轴，

原抛物线对称轴：直线后一2,=新抛物线对称轴：直线x==4.

_z）

②「P在08的中垂线上，...XP=1,代入原抛物线（1,

2

52

PC：y——x—6,tan^.PCO—