2022-2023学年江苏省扬州高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合A={xly=N},B={0,1,2,3,4},贝l]A,8间的关系是（）

A.A=BB.AC.AGBD.

【答案】D

【分析】计算得到A={0,l,2,3},得到集合的关系.

【详解】A={x|y=^x,xeN）={0,l,2,3},3={0,1,2,3,4},故A±B.

故选：D

2.下列选项中与角a=1680。终边相同的角是（）

A.120°B.-240°C.-120°D.60°

【答案】C

【分析】先表达出与角a=1680。终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角.

【详解】与£=1680。终边相同的角为£=1680。+360%，keZ,当％=-5时，

£=1680。-360。*5=-120。，C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.

故选：C

3.命题“八>1,/-1>0”的否定形式是（）

A.Vx>l,x2-l<0B.Vx<l,x2-l<0C.3X<1,X2-1<0D.3X>1,X2-1<0

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.

【详解】命题“Vx>l,x2-l>0”的否定形式是

故选：D

4.已知a=logs0.6/=3>4,。=0.92。，则“、氏。的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为log..0.6〈logs1=0,即。<0,3">3:3,即6>3,0<0.922<0.9°=1,即0<c<l,

所以£>>c>a

故选：B

5.如果点P（sinacos。）位于第四象限，那么角，所在的象限是（).

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

Jsin0>0

【详解】：点P（sin，,cos，）位于第四象限,

[cos0<0

...角。所在的象限是第二象限.

故选B.

6.国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴

含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子

进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子

后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为尸=336、据资料显示宇宙中可观测物质

。P

原子总数约为Q=10*',则下列数中最接近数值g的是（）（参考数据：电3=0.477）

A.1089B.IO90C.10"D.1092

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则计算lg3湖后可得.

【详解】lg336'=3611g3«361x0.477=172.197,lg^=lgP-lg<2»172.197-80=92.197,

P

因此0最接近于IO'”.

故选：D.

D.

【答案】A

x*-x2

【详解】试题分析：丫=p^^P=1+-^为奇函数且*=0时，函数无意义，可排除C,。，又在

e-ee-1

(TO,0),(0,+8)是减函数，故选A.

【解析】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.

8.设a>0,b>0,且2a+b=2,Mlj—+-^-()

aa+b

14

A.有最小值为4B.有最小值为2应+1C.有最小值为？D.无最小

值

【答案】B

【分析】由换元法与基本不等式求解，

【详解】设]”:，贝iJ6=y-x,2a+b=x+y=2,

[0+匕=y

2+且=+生=山+在U+生+1Z2&+1,

aa+bxyxyxy

当且仅当2==即x=2&-2，y=4-2&时等号成立，

xy

故当a=2也-2，8=6-4应时，2+^^取最小值2a+1，

aa+b

故选：B

二、多选题

9.下列说法正确的是()

4

A.240。=§乃B.1弧度的角比1。的角大

C.用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D,扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，

则扇形的圆心角的弧度数为4

【答案】AB

【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB,根据弧度制的定义即可判断C,根据扇形的

弧长公式和面积公式即可判断D.

2404

【详解】解：对于A,240。=三乃=三/，故A正确；

1803

IQ0O

对于B,lrad=->10,故B正确；

对于C,用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误;

对于D,设扇形的圆心角为a,半径为R,

因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，

aR+2R=6r/?=2=l

则有1°,，解得।或“，即扇形的圆心角的弧度数为4或1,故D错误.

-aR-=2[a=l[a=4

故选：AB.

10.已知函数〃x)=|lnx|,0<a<b,且〃a)=/(b),下列结论正确的是()

A.—>0B.a+2b>2V2

a

2

C.-+/?>3D.(67+1)7+(6+1)9>8

【答案】BCD

【分析】利用函数图象的作法，结合对数函数的图象得函数=图象，从而得0<avlvb,

且对A进行判断，利用题目条件所得结论，结合函数y=x+L的性质，对B进行判断，利

ax

用利用题目条件所得结论，结合不等式性质，对c进行判断，利用利用题目条件所得结论，结合利

用基本不等式求最值，对D进行判断，从而得结论.

【详解】解：因为0<a<b,〃a)=/0),

所以由函数/(x)=|lnx|图象知且b=

对于A,因为6所以A不正确；

a

对于B,因为0<a<l<6,且人=’,

a

2

所以。+2〃=。+—.

a

2

因为函数y=x+]0c<i)是单调递减函数,

2

所以函数>=元+、(。<工<1)的值域是(3,+00),

2

因此。+—>3,即a+2b>3>20，所以B正确；

a

对于C,因为0<。<1v〃，且b=L

a

2

所以一+b=3〃>3,因此C正确；

a

对于D,因为Ova<lv〃，且匕=1,

a

所以(〃+1)2+9+1)2=/+/+2(0+6)+22206+4而+2=8,

当且仅当。=6时，等号成立，

而0<。<1<6,因此(。+1)2+3+1)2>8,所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题考查了函数图象的作法，不等式性质，利用基本不等式求最值，解题的关

键是画出函数图象，根据图象得出0<。<1<6,且匕=’.

a

l,x>0

11.已知符号函数sgn(x)=,O,x=O下列说法正确的是()

—1,x<0

A.函数y=sgn(x)图象的对称中心坐标是(0,0)B.对任意x>l,sgn(lnx)=l

C.函数y=e'-sgn(-x)的值域为(-00/)D.对任意的xeR,|R=x-sgn(x)

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项;利用符号函数的定义可判断BD选项;分x>0、x<0、

x=0三种情况讨论，分别求出函数y=e*-sgn(-x)的值域和函数值，综合可得出函数)，=e'.sgn(-x)

的值域，可判断C选项.

【详解】对于A选项，当x>0时，-x<0,sgn(x)=l,sgn(-x)=-l,满足sgn(-x)=-sgn(x),

当x<0时，-x>0,sgn(x)=-l,sgn(-x)=l,满足sgn(-x)=-sgn(x),

又sgn(-O)=-sgn(O),所以，函数y=sgn(x)图象的对称中心坐标是(0,0),A对；

对于B选项，对任意的x>l,lnx>0,则sgn(lnx)=l,B对；

v

对于C选项，当x>0时，-x<0,sgn(-x)=-l,e>1,则y=e*•sgn(-x)=-e*<-1,

当x<0时，-x>0,sgn(-x)=l,o<ev<1»则y=e*•sgn(-x)=e*w(O,l),

又因为e0-sgn(O)=O,综上，函数y=e*-sgn(—x)的值域为(y>,—l)U[O,l),C错;

对于D选项，当x>0时,x-sgn(x)=x=|x|,当x<0时，x・sgn㈤=-x=|x|,

又因为O・sgn(O)=|q,故对任意的xeR,|M=x-sgn(x),D对.

故选：ABD.

12.给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是()

人「">3”是“2、>4”的充分不必要条件

B.函数/(x)=log“(x-1)+1(“过定点(2,1)

C.若函数/5)满足/(-x+2)=/(x+14),则f(x)的图象关于直线x=8对称

mn

D.函数f(x)的定义域为若满足：(1)/*)在。内是单调函数；(2)存在QD,使得/*)

在上的值域为［，",川，那么就称函数/(x)为“梦想函数”.若函数/(x)=log“S+f)(a>0,awl)

是“梦想函数”，贝口的取值范围是-g,o)

【答案】ABC

【分析】求出2*>4的解集结合充分不必要条件的定义可判断A；求出对数复合函数恒过定点可判

断B；根据函数的对称性可判断C；根据题意把问题转化为〃?与"是方程—的两个不相

等的实数根，换元后转化为一元二次方程问题，进而利用二次函数图象进行求解可判断D,

【详解】对于A,2r>4，解得：x>2,所以x>3=x>2,但x>2不一定得到x>3,所以“x>3”

是“2,>4”的充分不必要条件，A正确；

对于『⑴。恒过点正确;

B,=10gli(x-1)+1(>0,"1)(2,1),B

—x4-2+x+14

对于C,由/(—x+2)=/(x+14)得4=,"十/；“十］*=8,则/⑴的图像关于直线工=8对称，C选

项正确；

对于D,函数/(x)=log“(a'+f)(a>0,aHl),根据复合函数单调性可知：单调递增，结合题意可得:

m

a'"-a^-t=0,

化简得：„，则，〃与〃是方程。一层一二。的两个

a"-cP-t=0

根，令则”5>0与二>0是一元二次方程z2-zT=0的两个不相等的正实根，令

A=l+4r>0

*(Z)=Z?-Z-f,故满足：，,解得：D选项错误.

0(0)>0

故选：ABC.

三、填空题

13.若黑函数y=f(x)的图像经过点则〃-2)=.

【答案】7

4

【分析】设出事函数，代入点计算函数表达式，将-2代入得到答案.

【详解】设：f[x)=xa,图像经过点白],即2=4)"=〃=一2

1316J163

/(x)=x-2=>/(-2)=^-

故答案为:

4

【点睛】本题考查了事函数的计算，属于简单题.

14.求值：(2(j-(-9.6)°-log24=.

3

【答案】--

【分析】根据指数运算和对数运算，直接求解即可.

【详解】-(-9.6)。-唾24n-l-2='-3=-1.

3

故答案为：-

15.若函数/(外在R上是单调函数，且满足对任意xwR,都有/[/(x)-k)g3司=1,则函数Ax)的

零点是.

【答案】g

【分析】设/(x)-log3x=f,并表达出x=r时的方程，解出参数乙求出表达式f(x),令其为零，即

可得到函数/(X)的零点.

【详解】解：由题意x>0

在y=f(x)中，/(X)在R上是单调函数，/[/(x)-log3x]=l,

设/(x)-log,x=t,则/(r)=log3r+z=1

解得：r=l

/./(x)=log3x+l

当/(X)=10g3X+l=0时，解得：x=1

/(X)的零点是g

故答案为：—.

16.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(F,0］上单调递增，且/(-2)=0.若A是血?C的

一个内角，且满足</(2),则A的取值范围为______.

(sin2A+l［)

【_答案_】(信7K彳3兀卜、(］3K五11兀))

【分析】偶函数/(X)在区间(-8,0］上单调递增，则在区间［0,+8)单调递减，依据此可将

/(—^~7］<〃2)中的“尸，去掉，进而解出A的取值范围.

【详解】偶函数/(X)在区间(-8,0］上单调递增，则在区间［(),+")单调递减，

：.f［—5—］=/(-1—I</(2),.-.--->2,

(sin2A+lJ(sin2A+lJsin2A+l

0<|sin2A+1|<5,,二-1<sin2A<-

又A是AABC的一个内角，则0<4<兀，

.-.0<2A<27t,.-.—<2A<—.

四、解答题

17.已知角a的终边经过点P(T,3),

tana

(1)求=二需二］值；

⑵求sin?a+sinacosa+2cos2a的值.

【答案】⑴Y

O

29

Q）一

25

【分析】(1)根据点坐标求出正余弦三角函数值结合诱导公式和同角的三角函数关系即可求出结果;

(2)直接代入正余弦值即可.

34

【详解】(1)由题意sina=g,cosa=--,贝ij

sina

原式_cosa_]__5；

sina+sina2cosa8

,八,少2i121629

(2)原式=l+sinacosa+cosa=1--+—.

252525

18.设全集U=R,已知集合4=卜卜一〃区1},B={x|(4-x)(x-l)<0}.

(1)若a=4,求AuB;

(2)若4口8=人，求实数a的取值范围.

【答案】(1)AU8={X|X41或xN3}

⑵(Y),0]U[5,+OO)

【分析】(1)由已知解出集合A,B,根据并集的运算即可得出答案；

(2)若An8=A,则AqB,根据集合间的包含关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【详解】(1)当a=4,A={x||x-4|<1),

.-.-l<x-4<l=>3<x<5,即A={x|34x45},

又3={x[(4-x)(x-l)40}={x|x<lBgx>4),

/.A<JB={#41或XN3}.

(2)已知A=|x||x-a|<l|=|x|-l+a<x<l+a},

由(1)知8={x|x41或x24},

若AC8=A,则A=B,

—1+心4或1+。＜1,

解得。（0或QN5,

实数a的取值范围为(—,0]U[5,”).

19.设/(x)是(-oo,+oo)上的奇函数，/(x+2)=-/(x),当04x41时，/(x)=x.

⑴求，⑺的值;

(2)求-14x43时,F(x)的解析式；

(3)当T4x44时，求方程/。)=加(〃?<0)的所有实根之和.(写出正确答案即可)

【答案】(1)万-4

⑵“x)=,”人

[2-x(l<x43)

(3)见解析

【分析】(1)首先根据已知求出函数周期，然后借助函数的周期性求解函数值即可；

(2)首先根据函数的奇偶性求解xe(-LO)的解析式，再根据已知条件/(x+2)=-/(x)求得

xe(-1,3]的解析式，进而求得答案；

(3)首先画出函数/(x)在T4X44的图像，然后结合图像根据对称性求得函数实根之和.

【详解】⑴由〃x+2)=-/(x),

得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-/(x+2)=/(x),

所以/(1)=/(乃-4)=-/(4-乃)=-(4-乃)="一4.

(2)若一IWXWO,I11IJ0<X<1,贝(!/(一x)=-x,

•••/(X)是奇函数，"(-力=+-/(6,即f(x)=x,-1—,

即当-IVxWl时，f(x)=x,

若I<x43,则-l<x-241,v/(x+2)=-/(x)

/(x)=-/(x-2)=-(x-2)=-x+2,

/\zxfx,-l<x<l

即当一14x43时，的解析式为〃x)=；,

12—x,

(3)作出函数/(x)在T4x44时的图像，如下图,

若〃7<-1,则方程/(%)=万无解,

若机=-1,则函数在-4WxW4上的零点为x=-l,x=3,则-1+3=2,

若Tvm<0,则函数在TWxK4上共有4个零点，则它们分别关于户-1和x=3对称，设它们分

别为a,b,c,d,贝！Ja+〃=-2,c+d=6,BPa+b+c+d=-2+6=4.

20.设(加>0,«>0)是奇函数.

⑴求加与〃的值;

(2)如果对任意xeR,不等式/(2。+8$*+/(4$布;(:一缶=1—7)>0恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)m=1，n=2

⑵g4aeg

【分析】(1)根据奇函数的表达式〃-x)=-/(x)对定义域内所有自变量成立即可求解;

(2)利用奇函数的变换和分离常数法确定f(x)的单调性，再利用参变分离即可求解.

【详解】(1)因为/")是奇函数，

所以/(-x)=-/(x),

即-2二十"=一三辿对定义域内任意实数X成立.

化简整理得(2加-办221+(2加7-4)•2,+(2%-〃)=0,这是关于x的恒等式，

2ni-n=0,

所以

2mn-4=0

m=—l\m=\

所以〃=一2或i〃=2.

m=\

经检验C符合题意.

〃=2

(2)因为/(2a+8s2x)+/(4sinx-52a-1-7)>0,且/*)是奇函数

所以/(2a+cos?x)>_/(4sinx-«2a-l-7)=f"2cLi-4sinx+7),

因为〃=在R上单调递减，

2(2+1)

所以2a+cos2%-4sinx+7,

即2a-yj2a-\<-cos2x-4sinx+7对任意R都成立，

由于一cos2x-4sinx+7=(sinx-2)2+2,其中-iKsinxKl,

所以(sinx-2)2+2N3,即最小值为3

所以24-j2〃-l<3,

即2cl—1—2。-1-2<0,

将看作一个整体，

解得—1<\l2a-1<2，

故<2,

即9"|.

1—Y

21.己知函数f(x)=lg-

x+1

⑴求不等式“73)+/(Ig3)>0的解集；

(2)函数g(x)=2-/(。>0,”1),若存在演，X2G[0,1),使得〃x)=g优)成立，求实数。的取值

范围；

【答案】⑴品)

(2)(2,-KO)

【分析】(1)求出“X)的定义域、值域和单调性，由题意可得上<=<:，解不等式即可得出答

101+x3

案.

(2)求得xe[0,l)时，/(x)的值域；讨论和0<a<l时g(x)的值域，由题意可得/(x)与g(x)值

域有交集，即可得所求范围.

【详解】(1)/)=3尸,定义域为OLD

f(-x)+/(x)=lglz£+lgl1^=Igl=0,函数f(X)是奇函数.

l+x1-x

又f(x)=lg在时是减函数,

故不等式/(不等)+/(lg3)>o等价于/(不动>/(-1g3)

即.〈吟又大"】一4<目

解得卜1<亮Q

故不等式/V(x))+/(1g3)>0的解集为(g,5).

(2)由题意知:xe［O,l)时，f(2与g(x)值域有交集.

xe[0,l)时，/(x)=lgf-l+-1-j-

是减函数/(x)e(-00,0],

当。>1时，g(x)=2-ax,xe[0,l)时单调递减，g(x)w(2-a,l],

/.2-a<0a>2

当0<“<1时，g(x)=2-a',xe［0,l)时单调递增，g(x)e［l,2-a),显然不符合

综上：”的取值范围为(2,田)

22.已知函数/(x)=/-1,g(x)=a|x-l|.

⑴若关于x的方程I/(x)|=g(x)有两个不同的实数解，求实数a的值；

⑵求函数心)=1/(%)I+g(x)在区间［-2,2］上的最大值.

【答案】(1)。=。或。=2

⑵当aNO时,在［-2,2］上的最大值为3a+3；当-3Va<0时,双幻在［-2,2］上的最大值为。+的

当。<-3时，人(x)在［-2,2］上的最大值为0.

【分析】(1)由"(x)bg(x)整理得|x-l|(|x+l|-a)=O,要有两不同的实数解，则|x+l|=a必须存

在一个不等于1的解，分为“=0和“>0两种情况分类讨论即可求解;

x2+ax-tz-l,(x>1),

(2)去绝对值得〃(力=，-x2-ax+a+1,(-1<x<1),—>1,0<—<1,-I<—<0,—<-l,

222222

5<-1几类情况分类讨论，确定分段函数在各分段区间单调性，确定最值，进而得解.

【详解】(1)方程l/(x)l=g(x),Bp|x2-l|=a|x-l|,变形得|x-l|(|x+l|—a)=0,

显然，x=l已是该方