2022版初中数学新定义压轴题：题型专练

2022版初中数学新定义压轴题：题型专练

一、解答题

1.（2021.北京•中考真题）在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定义：若将

线段BC绕点A旋转可以得到的弦夕C分别是B,C的对应点），则称线段BC是。。的以点A为中心的

“关联线段

（1）如图，点A综匕,生，6，%（3的横、纵坐标都是整数.在线段8©,&G，83c3中，的以点A为中心的“关联

线段”是;

（2）AABC是边长为1的等边三角形，点A（0,f）,其中FO.若8c是的以点A为中心的“关联线段”，求f的

值；

（3）在AABC中，AB=1,AC=2.若BC是G）O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以

及相应的8c长.

2.（2020•北京•中考真题）在平面直角坐标系x0y中，。。的半径为1,A,B为（DO外两点，AB=1.给出如下定

义：平移线段AB,得到OO的弦A8,（4,*分别为点A,B的对应点），线段A4,长度的最小值称为线段AB到

OO的“平移距离

(1)如图，平移线段AB到。0的长度为1的弦耳鸟和A'则这两条弦的位置关系是；在点匕鸟,号巴中，

连接点A与点—的线段的长度等于线段AB到。O的“平移距离”；

(2)若点A,B都在直线y=6x+26上，记线段AB到。。的“平移距离”为4，求4的最小值；

(3)若点A的坐标为(2.|),记线段AB到。。的“平移距离”为4,直接写出&的取值范围.

3.(2019・北京•中考真题)在AABC中，D,E分别是两边的中点，如果QE上的所有点都在aABC的内部

或边上，则称OE为aABC的中内弧.例如，下图中OE是^ABC的一条中内弧.

(1)如图，在Rt^ABC中，AB=AC=2&D,后分别是AB,AC的中点.画出AABC的最长的中内弧

DE，并直接写出此时OE的长；

(2)在平面直角坐标系中，已知点4(0,2),8(0,0),C(4r,0)(r>0),在AABC中，D,E分别是AB,AC的

中点.

①若f=g，求^ABC的中内弧QE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在aABC中存在一条中内弧OE，使得所在圆的圆心P在aABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.

4.(2018•北京♦中考真题)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形”上任意一点，

Q为图形N上任意一点，如果P,。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形N间的“闭距离”，记

作d(M,N).

已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求"(点。，^ABC)；

(2)记函数y=区(-1<X<1,%工0)的图象为图形G,若d(G,^ABC)=1,直接写出火的取值范围；

(3)0T的圆心为T"0),半径为1.若d(or,^ABC)=1,直接写出/的取值范围.

5.(2020.北京房山•一模)如图，平面上存在点尸、点M与线段A8.若线段48上存在一点Q,使得点M在以PQ

为直径的圆上，则称点M为点P与线段A8的共圆点.

已知点P(0,1),点A(-2,-1),点B(2,-I).

(1)在点0(0,0),C(-2,1),D(3,0)中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是；

(2)点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标"的取值范围；

(3)已知点-1),若直线y=gx+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出机的取值范围.

6.(2020•北京海淀•一模)A,B是。C上的两个点，点P在③C的内部.若NAPB为直角，则称/APB为AB关于

OC的内直角，特别地，当圆心C在NAPB边(含顶点)上时，称NAPB为A8关于。C的最佳内直角.如图1,

是AB关于。C的内直角，/ANB是A8关于。C的最佳内直角.在平面直角坐标系X。)，中.

(1)如图2,。0的半径为5,A(0,-5),B(4,3)是。。上两点.

①己知Pi(1,0),尸2(0,3),Pi(-2,1),在NARB,ZAP2B,ZAP3B,中，是AB关于。。的内直角的

是;

②若在直线y=2x+6上存在一点P,使得NAP8是AB关于。。的内直角，求b的取值范围.

(2)点E是以T(f,0)为圆心，4为半径的圆上一个动点，。7与x轴交于点。(点。在点7的右边).现有点

M(1,0),N(0,〃)，对于线段MN上每一点”，都存在点T,使/OHE是OE关于。T的最佳内直角，请直接

写出〃的最大值，以及〃取得最大值时，的取值范围.

备用图1

备用图2

7.(2020.北京西城•一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形Wi和图形W2.给出如下定义：在图形Wi上存在两

点A,B(点A,B可以重合)，在图形W2上存在两点M,N,(点M于点N可以重合)使得AM=2BN,则称图

形W1和图形W2满足限距关系

⑴如图1,点C(l,0),D(-l,0),E(0,石)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E重合)，连接OP,CP.

①线段OP的最小值为,最大值为;线段CP的取值范直范围是；

②在点O,点C中，点与线段DE满足限距关系；

(2)如图2,。。的半径为1,直线y=Gx+8(b>0)与x轴、y轴分别交于点F,G.若线段FG与。O满足限距关

系，求b的取值范围；

(3)00的半径为r(r>0),点H,K是OO上的两个点，分别以H,K为圆心，1为半径作圆得到。H和0K,若对于

任意点H,K,OH和。K都满足限距关系，直接写出r的取值范围.

8.(2021.北京西城•一模)对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ,给出如下定义：若存在APQR使得

S.PQR=PQ2，则称APQR为线段PQ的“等幕三角形”，点R称为线段PQ的“等哥点”.

(1)已知43,0).

①在点耳1,3)，A(2,6),《(_5,1),舄(3,_6)中，是线段OA的“等幕点”的是；

②若存在等腰AOAB是线段OA的“等基三角形”，求点B的坐标；

(2)已知点C的坐标为C(2,-l),点。在直线y=x-3上，记图形M为以点7(1,0)为圆心，2为半径的e7位于x

轴上方的部分，若图形M上存在点E,使得线段8的“等第三角形"为锐角三角形，直接写出点。的横坐标

X”的取值范围.

9.(2021.北京东城.一模)在平面直角坐标系xOy中，已知正方形A8C。，其中

A-日,0,B0.y-lc与,0,D。，-等)，M,N为该正方形外两点，MN=1.给出如下定义：记线段MN的

中点为尸，平移线段MN得到线段使点M',N'分别落在正方形ABC。的相邻两边上，或线段与正方形

的边重合分别为点M,N,P的对应点)，线段PP长度的最小值称为线段MN到正方形ABC。的“平移

距离”.

(1)如下图，平移线段MN,得到正方形ABC。内两条长度为1的线段则这两条线段的位置关系是

;若儿6分别为陷乂,加2小的中点，在点耳,巴中，连接点尸与点的线段的长度等于线段MN到正

方形ABC£＞的“平移距离”；

(2)如图，已知点E*+1,0,若M,N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABC。的“平移距离”为4,求4

\7

的最小值；

备用图

(3)若线段MN的中点P的坐标为(2,2),记线段到正方形A8C。的“平移距离”为4，直接写出&的取值范

围.

10.(2021.北京朝阳•一模)对于平面直角坐标系中的图形M和点P,给出如下定义：将图形M绕点P顺时针

旋转90。得到图形N,图形N称为图形M关于点尸的“垂直图形例如，图1中点。为点C关于点尸的“垂直图

形

I2345x

备用图

(1)点A关于原点O的“垂直图形''为点B.

①若点A的坐标为(0,2),则点8的坐标为；

②若点8的坐标为(2』)，则点A的坐标为.

(2)E(-3,3),F(-2,3),G(a,O).线段EF关于点G的“垂直图形"记为£尸'，点E的对应点为£,点尸的对应点为

F'.

①求点£的坐标(用含。的式子表示)；

②若。。的半径为2,ET'上任意一点都在O。内部或圆上，直接写出满足条件的EE'的长度的最大值.

11.(2019.北京西城•一模)在平面直角坐标系Mb中，对于两个点P,。和图形W,如果在图形W上存在点

N(M,N可以重合)使得户”=QN,那么称点尸与点。是图形卬的一对平衡点.

⑴如图1,已知点4(0,3),8(2,3)；

①设点。与线段A8上一点的距离为"，则”的最小值是,最大值是；

②在?(1,4),鸟(-3,0)这三个点中，与点。是线段的一对平衡点的是；

(2)如图2,已知G)O的半径为1,点。的坐标为(5,0).若点E(x,2)在第一象限，且点。与点E是。。的一对平

衡点，求x的取值范围；

(3)如图3,已知点”(-3,0),以点。为圆心，O”长为半径画弧交x的正半轴于点K.点C(a，b)(其中。20)是

坐标平面内一个动点，且OC=5,OC是以点C为圆心，半径为2的圆，若”K上的任意两个点都是OC的一对平

衡点，直接写出6的取值范围.

12.(2020.北京平谷.一模)在△A8M中，ZABM=90°,以AB为一边向△ABM的异侧作正方形ABC，以A为圆

心，AM为半径作。A,我们称正方形A8CD为。A的“关于AABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在。A

的内部(或圆上)，我们称正方形ABCO为。A的“关于aABM的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD是

◎A的''关于△ABM的友好正方形”.

(1)图2中，△ABM中，BA=BM,ZABM=90°,在图中画出。4的“关于△ABM的友好正方形ABC£>”.

(2)若点A在反比例函数了=上(k>0,x>0)上，它的横坐标是2,过点4作ABLy轴于B,若正方形ABC。为

X

OA的“关于aAB。的绝对友好正方形”，求k的取值范围.

(3)若点A是直线产-x+2上的一个动点，过点A作轴于8,若正方形ABCD为。A的“关于△ABO的绝

对友好正方形”，求出点A的横坐标m的取值范围.

备用图督■用图

13.(2020.北京石景山.一模)在△ABC中，以AB边上的中线C。为直径作圆，如果与边AB有交点E(不与点。

重合)，那么称Of为△ABC的C-中线弧.例如，如图中OE是△ABC的C-中线弧.在平面直角坐标系xOy

中，已知△A8C存在C-中线弧，其中点A与坐标原点。重合，点B的坐标为(2f,0)(r>0).

(1)当f=2时，

①在点G(-3,2),C2(0,273),C3(2,4),C4(4,2)中，满足条件的点C是；

②若在直线丫=近(左>0)上存在点P是△ABC的C-中线弧QE所在圆的圆心，其中C£>=4,求人的取值范围;

(2)若aABC的C-中线弧所在圆的圆心为定点P(2,2),直接写出f的取值范围.

14.(2021•北京门头沟.二模)在△ABC中，点尸是N8AC的角平分线4。上的一点，若以点P为圆心，PA为半径

的OP与△ABC的交点不少于4个，点P称为△48C关于/3AC的“劲度点”，线段PA的长度称为△ABC关于/

比1C的“劲度距离”.

(1)如图，在NBAC平分线40上的四个点勺、P］、舄中，连接点A和点的线段长度是aABC关于N

BAC的“劲度距离”.

(2)在平面直角坐标系中，已知点M(0,力，N(4,0).

①当仁5时，求出△MON关于NMON的“劲度距离”4的最大值.

②如果人4442&内至少有一个值是△MON关于NMON的“劲度距离”，请直接写出r的取值范围.

y

o

15.(2021.北京燕山•二模)对于平面内的图形Gi和图形G2,记平面内一点P到图形GI上各点的最短距离为由，

点P到图形G2上各点的最短距离为若小=d2,就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点在平面直角坐

标系X。)，中，已知点4(6,0),B(0,273).

(1)在C(4,0),。(2,0),E(1,3)三点中，点4和点B的等距点是；

(2)已知直线产2.

①若点A和直线尸2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；

②若直线y=b上存在点A和直线y=2的等距点，求实数b的取值范围；

(3)记直线A3为直线直线/2：y=x,以原点。为圆心作半径为r的。O.若。O上有“个直线八和直

3

线，2的等距点，以及〃个直线/i和y轴的等距点(〃印0,n/0),当〃曲时，求r的取值范围.

16.(2021•北京西城•二模)对于平面内的点M,如果点P,点。与点M所构成的A"PQ是边长为1的等边三角

形，则称点P，点。为点M的一对“关联点”，进一步地，在A"PQ中，若顶点M,P,。按顺时针排列，则称点

P,点。为点M的一对“顺关联点”；若顶点M,P，。按逆时针排列，则称点P,点。为点M的一对“逆关联

点”.已知4L0),

⑴在0(0,0)1(0,1)((2,0),。1|,一同中，点A的一对关联点是一，它们为点A的一对—关联点(填“顺”或

“逆”)；

(2)以原点。为圆心作半径为1的圆，已知直线/:y=6x+A.

①若点尸在。。上，点。在直线/上，点P,点。为点A的一对关联点，求b的值；

②若在。。上存在点R,在直线/上存在两点T(X，y)和5(々,%)，其中%>%，且点T,点S为点R的一对顺关联

点，求％的取值范围.

17.(2021・北京大兴•一模)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点(盯％)，若|玉-々|+|乂-刃=々

(左为常数且发/0),则称点M为点N的4倍直角点.

根据以上定义，解决下列问题：

(1)已知点A(L1)

①若点5(-2,3)是点A的左倍直角点，则k的值是；

②在点C(2,3),E>(T,1),E(0,-2),0(0,0)中是点A的2倍直角点的是；

③若直线y=~2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；

(2)e7的圆心T的坐标为(1,0),半径为r,若e7上存在点。的2倍直角点，直接写出r的取值范围.

18.(2021.北京通州•一模)在平面直角坐标系中，任意两点尸&,乂)，。(%，%)，定义线段的"直角长度”

为4>2=归2-力+昆一必|.

(1)已知点43,2).

①d()A=--------------；

②已知点8(，”,。)，若叁8=6,求机的值；

(2)在三角形中，若存在两条边“直角长度''之和等于第三条边的''直角长度”，则称该三角形为“和距三角形已知

点M(3,3).

①点D(0,d)(dK0).如果AOMO为“和距三角形”，求d的取值范围；

②在平面直角坐标系xOy中，点C为直线y=-x-4上一点，点K是坐标系中的一点，且满足CK=1,当点C在直

线上运动时，点K均满足使△OWK为“和距三角形“，请你直接写出点C的横坐标七的取值范围.

19.(2021.北京丰台•一模)如图，直线/和直线/外一点尸，过点尸作于点”任取直线/上点。，点〃关于

直线尸。的对称点为点“，标点H'为点尸关于直线/的垂对点.在平面直角坐标系xOy中，

(1)已知点尸(0,2),则点。((),()),42,2),8(0,4)中是点P关于x轴的垂对点的是；

4

(2)已知点且机＞0,直线y=-]X+4上存在点M关于x轴的垂对点，求的取值范围;

(3)已知点N(〃,2),若直线y=x+〃上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出”的取值范围，

备用图1备用图2

20.(2021•北京朝阳•二模)在平面直角坐标系X。)中，对于图形。和NP,给出如下定义：若图形。上的所有的

点都在NP的内部或/尸的边上，则/尸的最小值称为点尸对图形Q的可视度.如图1,/AO8的度数为点。对线

段AB的可视度.

(1)已知点N(2,0),在点M(0,|百)，%(2,3)中，对线段ON的可视度为60。的点是

(2)如图2,已知点A(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),。(2,2),E(0,4).

①直接写出点E对四边形48co的可视度为°；

②已知点尸(。，4),若点尸对四边形ABC。的可视度为45。，求a的值.

E

2

02

B-2C

图1图2

21.（2021•北京海淀.一模）在平面直角坐标系Mb中，对于点A和线段MN,如果点4,O,M,N按逆时针方向

排列构成菱形AOMN,且NAOM=a,则称线段MN是点A的“a-相关线段”.例如，图1中线段MN是点A的

“30°-相关线段”.

（1）已知点4的坐标是（0,2是

①在图2中画出点A的“30"相关线段”MN,并直接写出点M和点N的坐标;

②若点A的“a-相关线段”经过点（6,1）,求a的值；

（2）若存在a,Z?（a工?）使得点P的“a-相关线段”和“P-相关线段”都经过点（0,4）,记2。=/,直接写出f的取值

范围.

2022版初中数学新定义压轴题：题型专练

参考答案

1.(1)B，G；(2)/=+73；(3)当。，in=1时，此时BC=J5；当。4也=2时，此时BC=逅.

2

【分析】

(1)以点A为圆心，分别以A4AG，AgAC2，A/AC3为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；

(2)由旋转的性质可得△AB'C'是等边三角形，且BC'是。。的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进

行求解；

(3)由BC是的以点A为中心的“关联线段”，则可知B',C'都在。。上，且AB'=A5=LAC'=AC=2,然后由

题意可根据图象来进行求解即可.

【详解】

解：(1)由题意得：

通过观察图象可得：线段鸟C?能绕点A旋转90。得到OO的“关联线段”，8©,83c3都不能绕点A进行旋转得到;

故答案为B2c2；

(2)由题意可得：当8c是。。的以点A为中心的“关联线段'’时，则有△A5'C'是等边三角形，且边长也为1,当

点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

设8c与），轴的交点为。，连接08’,易得8'C'Ly轴,

/.B'D=DC'=~,

2

/.0D=>JOB'2-B'D2=—,AD=-JAB'2-B'D2=—,

22

/.OA=y/3,

t=6;

当点A在y轴的正半轴上时，如图所示:

同理可得此时的04=6,

（3）由BC是G）。的以点A为中心的“关联线段”，则可知B',C'都在OO上，且A8'=A8=1,AC'=AC=2,则有当

以皆为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：

由运动轨迹可得当点A也在。。上时为最小，最小值为1,此时AC'为的直径，

Z/®C'=90。，

ZAC5=30°,

/.BC=B'C=AC-cos30°=^；

由以上情况可知当点A8',0三点共线时，OA的值为最大，最大值为2,如图所示:

连接。过点C作CPJ_Q4于点尸,

二OC'=1,AC'=OA=2,

设OP=x,则有AP=2—x,

二由勾股定理可得:C'P2=AC'2-AP2=OCn-OP2,即22-（2-X）2=1-X?,

解得：x=L，

4

・・・CP:叵,

4

3

・・.BfP=OB,-OP=-

4f

在MAB'PC'中，B'C'=ylB'P2+C'P2=—,

2

/.BC=—;

2

综上所述：当。4而=1时，此时BC=6；当。4a=2时，此时BC=^.

2

【点睛】

本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、

三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.

2.(1)平行，P3；(2)且；(3)4叵

2222

【分析】

(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；

(2)过点0作OELAB于点E,交弦CD于点F,分别求出OE、OF的长，由4=。5-。尸得到4的最小值；

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A(2，T)为圆心，半径为1的圆，只需在。。内找到与之平行，且长度

为1的弦即可.平移距离&的最大值即点A,B点的位置，由此得出4的取值范围.

【详解】

解：(D平行；P3；

(2)如图，线段AB在直线y=6x+2石上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD,CD〃AB,过点0作OELAB

于点E,交弦CD于点F,OF1CD,令y=0,直线与x轴交点为(-2,0),直线与x轴夹角为60。，

OE=2sin60=6

由垂径定理得：==李，

：.d.=OE-OF=-

'2

X

A及2eVO、J2

■1

(3)线段AB的位置变换，可以看作是以点A(2,g)为圆心，半径为1的圆,

只需在。。内找到与之平行，且长度

为1的弦即可；

点A到0的距离为A0=卜?+(|J=|.

53

如图，平移距离4的最小值即点A到。0的最小值：--1=-；

-y

-1

平移距离4的最大值线段是下图AB的情况，即当AI,A2关于0A对称，且AIB2，A|A2且A|B2=1时

B2A2Al=60°,则NOA2Al=30°,

TOA2=1,OM=4,A2M=B,

22

而

•*.MA=3,AA2=

.♦.4的取值范围为：|<44浮

【点睛】

本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关

系是解题的关键.

3.(1)］；(2)①P的纵坐标“41或②0<”血.

【分析】

(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2,最长中内弧即以DE为直径的半圆，OE的长即以DE为

直径的圆周长的一半；

(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，①当f时，要注意圆心P在DE上方的中垂

线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角/AEP满足9(TWNAEPV135。；②根据题意，t的最大值

即圆心P在AC上时求得的t值.

【详解】

解:(1)如图2,

以DE为直径的半圆弧£>E，就是^ABC的最长的中内弧DE，连接DE,•••/A=90。，AB=AC=2正，D,E分别

是AB,AC的中点，BC="^=-^-=4,OE=18C=Lx4=2,

sinBsin4522

••.弧£)E=gx27r=/；

(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE,作DE垂直平分线FP,作EG_L

AC交FP于G,

①当/=；时，C(2,0),；.D(0,1),E(1,1),叫

设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，

VOA=OC,ZAOC=90°

:.ZACO=45°,

VDE/7OC

AZAED=ZACO=45O

作EGJ_AC交直线FP于G,FG=EF=;

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求;

综上所述，1或mNl.

2

TP在DE中垂线上，

3

，P为AE中点，作PM_LOC于M,则PM二—

2

,:DE〃BC

/.ZADE=ZAOB=90°,

AE=yjAD^DE2=712+(2r)2="『+1

VPD=PE,

AZAED=ZPDE

*.•ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

AZDAE=ZADP

/.AP=PD=PE=-AE

2

由三角形中内弧定义知，PD<PM

・・•/AE，AE<3,即J4/+1,,3,解得：L,叵

vr>0

/.0<V2

【点睛】

此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧''新定义，要求学

生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.

4.(1)2；(2)一14%<0或0</41；(3)f=Y或0W/W4-2收或f=4+2&-

【详解】

分析：（1）画出图形，根据"闭距离''的概念结合图形进行求解即可.

（2）分k<（）和&>0两种情况，画出示意图，即可解决问题.

（3）画出图形，直接写出，的取值范围.

详解：（1）如下图所示：

'：B(-2,-2),C(6,-2)

:.D(0,-2)

：.d(。，^ABC)=OD=2

(2)-l<k<0^0<k<l

（3）f=T或0W4-2应或/=4+2&.

点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离''的概念是解题的关

键.

5.(DC：(2)-1-V2<xk<l-72^72-l<Xk<l+V2；(3)m--2布或他3+2®

【分析】

(1)由题意可知当Q与A重合时，点C在以AP为直径的圆上，所以可以成为点P与线段AB的共圆点的是C；

(2)根据题意由两点的距离公式可得AP=BP=20,分别画以AP和BP为直径的圆交x轴于4个点：跖、*、

矽、K4,结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；

(3)由题意先根据直线y=gx+3,当x=0和y=0计算与x轴和y轴的交点坐标，分两种情况：M在A的左侧和右

侧，先计算圆E与直线y=gx+3相切时m的值，从而根据图形可得结论.

【详解】

解：(1)如图1,可以成为点P与线段AB的共圆点的是C,

(2)VP(0,1),点A(-2,-1),点B(2,-1).

AP=BP=^/(-2-0)2+(-1-1)2=2垃,

如图2,分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点Ki、七、K3、K4,

/.PE=AE=^2>

.\OE=|AG=I,

，KI(-1-72,0),kz(1-&,0),k3(应-1,0),k4(1+&,0),

,/点K为点P与线段AB的共圆点，

-1-41<Xk<l->/2或啦_l<Xk<l+>/2;

(3)分两种情况：

①如图3,当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y=gx+3相切于点F,连

接EF,则EF_LFH,

V

当x=0时，y=3,当y=0时，y=1x+3=0,x=-6,

・・.ON=3,OH=6,

ONEF3\_

VtanZEHF=

~OH~FH62

设EF=a,则FH=2a,EH=^a,

.,.0E=6-石a,

□△OEP中，OP=1,EP=a,

由勾股定理得：EP2=OP2+OE2,

Aa2=l2+(6-^)2,

解得：a=也普（舍去）或守，

QG=2OE=2(6-石a)—-3+2VlO,

.\m<3-2M；

②如图4,当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y=gx+3相切于点F,连

接EF,则EFJ_FH,

同理得QG=3+2ji6,

.,.m>3+2^,

综上，m的取值范围是mW3-2j访或mN3+2jid.

【点睛】

本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M为点P与线段AB的共圆点，圆的切线的性质等

知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.

6.(1)①NAP28,NAP38；②-5〈店5；(2)〃的最大值为2；f的取值范围是-6-10<5

【分析】

(1)判断点P，尸2,P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；

(2)求得直线A8的解析式，当直线y=2x+〃与弧AB相切时为临界情况，证明可求出此时〃=5,

则答案可求出；

(3)可知线段上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2,则当点N在该圆的

最高点时，〃有最大值2,再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的f值即可得解.

【详解】

解：(1)如图1,

图1

Q4(1,0),A(0,-5),3(4,3),

\AB=y/42+82=4石，RA="+5?=-J16,RB=33?+32=30,

A不在以AB为直径的圆弧上，

故不是48关于G)O的内直角，

Q6(0,3),A(0,-5),B(4,3),

\P、A=8,AB=4后，《8=4,

222

\P2A+P2B=AB,

\?AP,B90?,

\?A6B是AS关于。。的内直角，

同理可得，P.B2+P,A2=AB2,

\?4GB是A8关于。。的内直角，

故答案为：bA^B,DARB；

(2)•.♦NAPB是AB关于。。的内直角，

ZAPB=90°,且点尸在。。的内部，

,满足条件的点尸形成的图形为如图2中的半圆H（点A,B均不能取到），

过点8作轴于点。，

QA(0,・5),8(4,3),

.•.80=4,A£)=8,

并可求出直线AB的解析式为y=2x-5,

当直线y=2x+/?过直径43时，｝=-5,

连接。8,作直线O"交半圆于点E,过点E作直线EF//AB,交》轴于点尸,

\OA=OB9AH=BH,

..EH.LAB,

；.EHtEF,

.•.族是半圆”的切线.

Q2OAH?OAH,2OHB?BDA90?,

\DOAHSDBAD,

OH

.-BD_4=j_

"'AH~~AD~8"2'

\OH=-AH=-EH,

22

\OH=EO,

Q?EOF?AOH,2FEO1AHO907,

\DEOF@DHOA(ASA),

\OF=04=5,

■.■EFI/AB,直线AB的解析式为y=2x-5,

•・・直线EF的解析式为"2x+5,此时6=5,

."的取值范围是-5<b„5.

(3)•.•对于线段MN上每一个点”，都存在点T,使““E是OE关于eT的最佳内直角，

点T一定在ZDHE的边上，

QTO=4,ZDHT=90°,线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以7D为直径的圆上，该圆的半径为2,

.•・当点N在该圆的最高点时，〃有最大值，

即〃的最大值为2.

分两种情况：

①若点H不与点M重合，那么点T必须在边"E上，此时/D〃T=90。，

点”在以OT为直径的圆上，

如图3,当。6与仰相切时，GH1MN,

=0N=2,

\MN=-JON2+OM2=y/5，

Q?CMH?OMN,?GHM?NOM,ON=GH=2,

\DGHM@DNOM(ASA),

\MN=GM=45,

\OG=石-1,

\OT=75+1,

当T与M重合时，/=1,

此时f的取值范围是-后-

②若点H与点〃重合时，临界位置有两个，一个是当点T与〃重合时，，=1,另一个是当，M=4时，f=5,

，此时,/的取值范围是L,r<5,

综合以上可得，f的取值范围是-6-L,r<5.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角

形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的

关键.

7.(1)①孝，也,64cp42,②0;(2)b>^-(3)0<i<3.

【分析】

(1)①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP,CP的最大值，最小值即可解决问题.②根据限距关系的定义判

断即可.

(2)直线y=+匕与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b),分三种情形：①线段FG在。O内部，②线段FG与

。。有交点，③线段FG与。O没有交点，分别构建不等式求解即可.

(3)如图3中，不妨设。K,。11的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据。H和。K都满足限距关系，构建不等式

求解即可.

【详解】

(1)①如图1中,

VD(-1,0),E(0,G),

.,.OD=1,OE=B

npr-

：.tcm^EDO=—=yl3,

OD

：.ZEDO=60°,

当OP_LDE时，OP=ODrin600=B,此时OP的值最小，

2

当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为G，

当CPJ_DE时，CP的值最小，最小值=8・°行60。=6，

当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2,

故答案为：—,8,>/3<CP<2.

2

②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M,N,满足OM=2ON,

故点O与线段DE满足限距关系.

故答案为O.

(2)直线y=6x+b与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b),

当0<b<l时，线段FG在。O内部，与。。无公共点，

此时上的点到线段FG的最小距离为1-b,最大距离为1+b,

•••线段FG与。O满足限距关系，

Al+b>2(1-b),

解得人之;,

；.b的取值范围为:4b<l.

当lWbW2时，线段FG与。。有公共点，线段FG与。。满足限距关系，

当b>2时，线段FG在。。的外部，与。0没有公共点，

此时。0上的点到线段FG的最小距离为,最大距离为b+1,

♦.•线段FG与。O满足限距关系，

；♦〃+122^—/?—1],

而6+总成立，

.•.b>2时，线段FG与。。满足限距关系，综上所述，b的取值范围为人2g.

(3)如图3中，不妨设。K,0H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

图3

两圆的距离的最小值为2r-2,最大值为2r+2,

H和。K都满足限距关系，

：.2r+2>2(2r-2),

解得区3,

故r的取值范围为0<E3.

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关

键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型.

8.⑴①②或（|,-6）；（2）=或3气<告逝

【分析】

（1）①根据定义求出三角形面积与。A?进行比较即可确定线段OA的“等幕点”；②如图，由AOAB是线段04的“等

幕三角形”，可得£皿=。42.由点A的坐标为A（3,0）,若记中OA边上的高为力，可得产m=9,求

33

出为=6.由AOW是等腰三角形，点8在线段04的垂直平分线上即可求点8的坐标为（彳，6）或（彳，-6）；

（2）设半圆与x轴交于G,H两点,过7作CH的平行线与半圆交于R,作CH的垂线交半圆于Q,直线产x-3与），

轴交于N,设。（x,x-3）,过。作），轴平行线，与过C作x轴平行线交于尸，求出N（0,-3）,H（3,0）,可证△

ON”为等腰直角三角形，NOHN=NON〃=45。，点。运动分两种情况，第一种情况点力在射线C”，去掉线段CH

部分运动，在R△TC”中777=2,TC=CH=THxsin450=2x显=母,QC=2+及，又因为△ECO为锐角三角形，点E

2

在QR上运动，点E到CZ）的距离/?的范围是&。42+0,可求/z=2CD=20（x-2）,3<玄〈言&；第二种情

况点。在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在QG上运动，求出GU=GHxcos45o=2应，可得

20T42+应，可求2042收（2—引42+0,解不等式即可得上也<%<1.

【详解】

11