2022-2023学年上海市黄浦区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市黄浦区高二上学期期末数学试题

一、填空题

1.已知必〃表示两个不同的平面，加为平面《内的一条直线，贝心a_L£，，是的

条件

【答案】必要不充分

【分析】根据直线和平面的位置关系以及充分必要条件的定义可判断.

【详解】若a，尸，加与面尸不一定垂直，

若加上夕，根据面面垂直的判定定理可得a•*•4，

故答案为：必要不充分.

2.一个总体分为48两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知B层中每个

1

个体被抽到的概率都是12,则总体中的个体数为.

【答案】240

【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论

【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为2。的样本.

11

由8层中每个个体被抽到的概率都为内，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是五，

20'=240

所以总体中的个体数为^

故答案为：240.

3.己知数据再、X,毛是互不相等的正整数，且7=3,中位数是3,则这组数据的方差是

【答案】2

【分析】根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果.

[详解]设占<X2<X3<X4<X5,则》3=3,

又因为数据是互不相等的正整数，所以*=1户2=2,

vx=3,x4+x5=9,X4=4,X5=5

2222

^=1[(x,-3)+(x2-3)2+(x3-3)+(x4-3)+(X5-3)[=2

故答案为：2.

4.若正四棱柱的底面边长为1,"用与底面48co成60。角，则4G到底面

ABCD的距离为.

【答案】8

【分析】确定4a到底面/8CO的距离为正四棱柱"8CO-44GA的高，即可求得结论.

【详解】•.•正四棱柱"8CC-44GR,

・・・平面ABCDH平面44GA,

...4Gu平面，

二./£〃平面/BCD,

■1•4G到底面ABCD的距离为正四棱柱-44GA的高

・••正四棱柱4BCD-4BCA的底面边长为1,他与底面ABCD成60。角，

/.AA}=>/3

故答案为:

5.某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型H1N1流感，拟采用分层抽样

的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取人.

【答案】45

【分析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.

50_1

【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为1485+132+33一记,

1485x—=45

所以学生中应抽取33,

故答案为：45.

6.过正方形N8C。之顶点4作尸/，平面/8CO,若P4=4B,则平面力8尸与平面COP所成的锐

二面角的度数为.

【答案】45。

【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.

【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：

pE

连接CE,则平面CDP和平面CPE为同一个平面，

由题可知PE_L平面5CE,BE，CEu平面BCE,

PE1BE,PE1.CE,又平面48尸八和平面CDP=尸E,BEu平面ABP,（7£<=平面。£）尸，

•••NCEB为平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的平面角，大小为45。.

故答案为：45。.

7.的三边长分别为3、4、5,尸为平面力8c外一点，它到三边的距离都等于2,则产到平面

/8C的距离是.

【答案】6

【分析】作2°工平面/8C于°,由题可得。是28c的内切圆圆心，可得半径,・=1,进而即得.

［详解］如图力8C,AB=3,BC=4,AC=5则”8C为直角三角形，

作「01平面/8C于。，PD_L4B于D,PE工BC于E,PF1.AC于F,连接。。，。瓦。尸，

由题可知PD=PE=PF-2,故0D=OE=OF,

由尸。工平面ABC,ABU平面ABC,

所以P。2又•.•481尸。，尸。1"1尸°=「,/）01=平面/50。，尸。u平面尸0。，

48工平面P。。，。。<3平面尸。。，

AB±0D,同理8C_L0E,NC_LOF,

故。是的内切圆圆心，设其半径为厂，

、；x3x4=；x(3+4+5)r

所以r=0°=l,

所以PO=-\/22-i'=75

故答案为：6

8.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为

0.65,摸出黄球或白球的概率为0.6,那么摸出白球的概率为.

【答案】0.25

【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为“1，C,根据互斥事件概率加法公式

尸（4+8）=尸（/）+尸（8）=0.65尸（N+C）=P（N）+P（C）=0.6

P（4+8+C）=P（Z）+P（8）+P（C）=l,解得P（N）=0.25

9.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是

甲乙

82~9~

91345

254826

785535

667

【答案】45,46

兀

【详解】10.如图，在长方体'88-48CA中，AB=BC=2,4。与8c所成的角为则

8G与平面8BQO所成角的正弦值为—

【答案】2##0.5

【分析】由题可得为正方体，根据正方体的性质结合条件可得为直线

8G与平面8BQQ所成角，进而即得.

［详解］因为在长方体Z8C。-48（；"中，4B=BC=2,

•••上下底面为正方形,

7T

连接则8C"//2,'Q与8G所成的角为5,

兀

...4。与所形成的角为5,即

：・44,D、D为正方形，ABCD-AMCR为正方体，

设4Gnse=。,则GCJ_B闽,

因为-L平面A]B}CiDi(GOu平面AiBxC}Di,

所以A8J.GO,又48n8a=q,81Bu平面B8QD,BRU平面BBRD

所以GO，平面83a0,连接80,

则NC#°为直线8G与平面88QD所成角,

由题可知Rt'G'O中，8G=2/，C[O=y[l

sinZC,S0=-,即8G与平面BBQ、D所成角的正弦值为g.

故答案为：2.

11.如图，在三棱柱/8C_44G中，ZJC5=90°,乙4CC]=60。,N8CG=45。，侧棱CG的长

为1,则该三棱柱的高等于

1_

【答案】2##0.5

【分析】过G作平面/C8、直线8C、/C的垂线，交点分别为。，D,E,可得四边形。EC。为矩

形，结合条件可得°吟，进而即得.

【详解】过G作平面/CB、直线8C、/C的垂线，交点分别为。，D,E,连接8、OC、0E,则

G°即为三棱柱的高，

由G。，平面HC5,/。匚平面478,可得C0，zc,

又力C_LC[E,G°nGE=C[,C0u平面CQE,GEu平面G°E

所以平面COE,又0Eu平面G°E,

所以NC^OE,同理可得。。1BC,又4c2=90。，

所以四边形°£8为矩形，

在直角三角形和。CG中，4CG=60°,/8CG=45。，侧棱CG的长为1

V2

CE=-CC,=-

则22CD=C、D=2

OD=CE=-

所以2,

所以0cl=4DC；-OD-=2,

即三棱柱的高等于5.

故答案为：2.

12.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在

20~80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200

元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以

下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.据《法制晚报》

报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这

28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为

【答案】4320

【分析】根据频率分布直方图结合醉酒驾车的含义即得.

【详解】由题意结合频率分布直方图可得，醉酒驾车，即血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以

上的人数约为：

28800x（0.01+0.005）x10=4320

故答案为：4320.

二、单选题

13.已知/是直线，区夕是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A.若l"a,〃甲，则a〃夕B,若则

C,若/JLa,〃啰，则D.若〃/a，a%,则〃啰

【答案】C

【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断.

［详解］若=m，〃加JaaJu夕，则有〃/a,〃/，故可判断人错误.

若ac/3=m,l"m,lBa,则〃/6或/u£,故B错误.

若/,a,〃/£,则/存在直线与/平行，所以a'#,故C正确.

若〃/a,a〃尸，则〃〃或/u〃，故D错误.

故选：C.

14.设直线/u平面c,过平面a外一点A与/，a都成30。角的直线有且只有：

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【分析】过A与平面a成30。角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30。角），然后

考虑这些母线中与直线/成30。角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得.

【详解】如图，AOla,以4°为轴，A为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120。，则圆

锥的母线与平面a所成角为30°,因此过A的所有与平面a成30。角的直线都是这个圆锥母线所在

直线，

过圆锥底面圆心O作直线/交底面圆于民°两点，圆锥的母线中与直线厂夹角为30。的直线是

母线也只有这两条直线，

故选：B.

15.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论:

①ABLEF；

②Z8与CM成60。的角；

③E尸与是异面直线；

④A/NIICD其中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①③

【答案】D

【详解】将展开图还原为正方体，由于EFIIND,而ND1AB,；.EF，AB；显然AB与CM平行；EF

与MN

是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.

16.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标

志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例

数据，一定符合该标志的是

A.甲地：总体均值为3,中位数为4B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

【答案】D

【详解】试题分析：由于甲地总体均值为？，中位数为】，即中间两个数（第,6天）人数的平均

数为1,因此后面的人数可以大于一,故甲地不符合.乙地中总体均值为1,因此这】0天的感染人数

总数为10,又由于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1,可以有一天大于，故乙地不符

合，丙地中中位数为，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8,故丙地不符合，故丁地符合.

【解析】众数、中位数、平均数、方差

三、解答题

17.如图，正四棱锥S-4BCD的底面边长为“，侧棱长为2°,点P、。分别在8。和SC上，并且

BP:PD=1:2,尸。〃平面S/D,求线段PQ的长.

岂

【答案】3"

【分析】过尸作尸例交°。于"，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面POM”平

面进而然后利用余弦定理结合条件即得.

【详解】如图，过P作PM//8C,交CD于M,连结

因为PMHBC,ADUBC,

所以月W〃/£>,又PA/a平面S4D,4)u平面S/。，

所以PM〃平面S/D,又P。〃平面S4J,

又PMCPQ=P,PM,尸0u平面尸0M,

所以平面「〃平面S4),又平面尸。例n平面SDC=M0,平面S£>cn平面S/O=SE>,

MQ//SD,

22

由研：必1:2,可得加严丁

12

:.QM=-SD=-a

33,

-SD//QM，AD//MP，

?.NPMQ=NADS

AD

71

•/cos/ADS==-

SD4,

PQ2=PM2+QM2-2PMQMcos/.PMQ=-a2+-a2-2x-ax-ax-=—

所以993349,

岂

所以线段P。的长为3

18.如图所示是一多面体的表面展开图，加，°，产分别为展开图中线段8C,C£»,Z)£的中点，则在原

多面体中，求直线A/E与平面NP0所成角的正弦值.

2

V14

【答案】石

【分析】先还原几何体，建立空间直角坐标系，计算线面角正弦值.

【详解】还原多面体为长方体，以。为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标

由题意得。(0,0,0),4(2,0,0),。(0,1,0),尸(0,0,2),£(0,0,4),71/(1,2,0)

PA=(2,0,-2),PQ=(0,1,-2),ME=(-1,-2,4)

设面力尸。的法向量7=（xj,z）,

itPA=02x-2z=0

则〔小即

P2=°,y-2z=0,令x=］得"=(1,2,1)

设直线ME与平面APQ所成角为a,

n-MEV14

sina=

~42~

则

19.设在直三棱柱/8C-/4G中，/8=/C=/4=2,/A4C=90。产F依次为CQBC的中点.

(D求异面直线所成角e的大小(用反三角函数值表示);

(2)求点用到平面AEF的距离.

娓

arccos——

【答案】⑴3

⑵指

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角.

(2)先求出平面/后尸的法向量，利用空间向量求点到面的距离.

【详解】(1)以A为原点建立如图空间坐标系，

则4(0,0,2),5(2,0,0),B、(2,0,2),£(0,2,1),尸(1,1,0),

43=(2,0,-2),EF=(1,-1,-1)

\A{B\\EF\2V2XV33

Zarccos"

3

(2)设平面4或7的一个法向量为％

vAE=(0,2,1)("=(1,1,0),

n-AE=0j2y+z=0

n-AF=0Ix+y^0解得：〃=(x,-x,2x)

令x=l可得〃=(1,T,2),

...丽=(2,0,2)

6=V6,

.•.点5i到平面AEF的距离为V6

20.为预防甲型H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性

（若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试

结果如下表：

/组5组C组

疫苗有效673Xy

疫苗无效7790Z

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个?

（3）已知y2465/225,求不能通过测试的概率.

【答案】⑴》=66°

⑵90

2_

⑶11

【分析】（1）根据概率与频率的关系求解；（2）根据分层抽样的抽取方法求解；（3）利用古典概率模型

求解.

【详解】（1）因为在全体样本中随机抽取1个，

」一=0.33

抽到8组疫苗有效的概率是2000,所以x=660.

（2）C组的样本个数为y+z=2000-（673+77+660+90）=500,

360x^-=90

所以应在C组抽取2000.

(3)由⑵可知，V+z=500,且y,zeN,

所以样本空间包含的基本事件有:(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),

(471,29),(472,28),(473,27),(474,26),(475,25),共有［1个，

若测试不能通过，则77+90+Z>2000X°7,解得Z>33,

所以包含的样本点由(465,35)，(466,34)共2个，

所以不能通过测试的概率为H.

21.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形,

AB=2EF=2,EF||AB,EF1FB,ZBFC=9O°,BF=FC,H为BC的中点,

(I)求证：FHII平面EDB;

(D)求证：AC1