信号与线性系统 课件 Lecture2.1

信号与线性系统主讲教师：吴赟电话：67792332（办）Email:wuyun_hit@1知识点:

信号的分类；信号的简单处理；系统的分类。重点与难点:

能量信号和功率信号的判定；

LTI系统的判定。上讲回顾2第二章连续时间系统的时域分析本章介绍连续时间信号的时域分解和LTI连续时间系统响应的时域求解。详细阐述冲激信号及其特性；系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应。重点介绍卷积积分以及利用其计算系统的零状态响应。3

时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。

本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。2.1引言4系统分析过程

经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决--h(t)；

卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)

5本章知识点线性系统完全响应的求解；冲激响应h(t)的求解；卷积的图解说明；卷积的性质；零状态响应=f(t)

h(t)。

重点难点卷积积分求冲激响应h(t)

6一．物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。7二．微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。

元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.

8三．n阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述

9例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。

10上式是一个微、积分方程，对方程两边求导，并代入系数，整理为这是二阶系统的数学模型——二阶线性微分方程。解:这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得11四．求解系统微分方程经典法双零法零输入：可利用经典法求零状态：利用卷积积分法求解变换域法12解的形式:全响应=齐次解rh(t)+特解rp(t)1.齐次解rh(t):特征方程(特征根)a.特征根无重根时:b.特征根有重根时,以为k重根,其他皆为单根为例:经典法13特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表1列出了几种激励及其所对应特解的形式。备注A（常数）BA（待定常数）

不等于特征根

等于特征单根

重特征根

所有特征根均不等于零

重等于零的特征根激励特解或等于B有所有特征根均不等于2.14齐次解往往称为系统的自然响应或者固有响应,函数形式仅取决于系统本身的参数(特征值),但是系数ci与激励有关;而特解称为受迫响应或者强迫响应,完全由激励信号决定.*齐次解以及特解中的待定系数的确定:①特解系数可将特解回代方程得到②齐次解系数由初始值决定15例2.1-2：描述某系统的输入输出方程为已知求系统的响应求系统响应将代入上式得c=2故解：求系统的特征根则系统的响应为16例2.1-3描述某系统的微分方程为r

''(t)+5r'(t)+6r(t)=e(t)求当e(t)=2e-t，t≥0；r(0)=2，r'(0)=-1时的全解；解:特征方程为λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。所以,齐次解为:r

h(t)=c1e–2t+c2e–3t由表1可知，当f(t)=2e–t时，其特解可设为rp(t)=Be–t将其代入微分方程得Be–t+5(–Be–t)+6Be–t=2e–t

解得B=1于是特解为rp(t)=e–t全解为：r(t)=rh(t)+rp(t)=c1e–2t+c2e–3t+e–t其中待定常数c1,c2由初始条件确定。r(0)=c1+c2+1=2，r'(0)=–2c1–3c2–1=–1解得c1=3，c2=–2最后得全解r(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0172.2

算子方程一、算子定义微分算子：

积分算子：

注：利用算子可以将电路中的电感和电容伏安特性记为：

18二、算子运算法则1.算子多项式可进行代数运算；如：

(p+1)(p+2)=p2+3p+22.微分和积分运算次序不能任意颠倒；3.算子方程两边p的公因子不能随意消去。19三、算子方程举例一般系统：算子方程：20简记为：或：其中：H(p)称为转移算子或算子形式系统函数。D(p)就是齐次方程的特征多项式。因此，零输入响应就是齐次方程D(p)r(t)=0的解。21例2.2-1求例2.1-1激励为e(t)，响应为i(t)的系统传输算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程为

(p2+5p+6)i(t)=pe(t)则由可得222.3系统的零输入响应若系统在t=0时未施加输入信号，但由于t<0时系统的工作，可以使其中的储能元件蓄有能量，而这能量不可能突然消失，它将逐渐释放出来，直至最后消耗殆尽。零输入响应正是由这种初始的能量分布状态，即初始条件所决定的。求零输入响应对应于解齐次方程：

D(p)r(t)=0231.一阶系统其中注：0-表示激励接入之前的瞬时；0+表示激励接入之后的瞬时。24系统的状态：起始状态：决定了激励接入之前的瞬时0-系统的状态。初始状态：决定了激励接入之后的瞬时0+系统的状态。初始条件：决定了完全响应。25对于零输入响应，对于零状态响应，0-未接入激励，故因此，系统状态的关系为：26

2.二阶齐次微分方程的一般算子形式为

(p-λ1)(p-λ2)r(t)=0

根据下式确定常数c1和c2

rzi(0-)=c1+c2

rzi'(0-)=λ1c1+λ2c2

27若（p-λ)2=0，特征根相同，则是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为

rzi(t)=c1eλt+c2teλt

t≥0283.n阶系统求解零输入响应由如下两步构成

1)

确定系统的自然频率令D(p)=0，将p看成一个代数量，解得其n个特征根。2)确定零输入响应的形式解：如果没有重根，则可以确定其形式解为：29若有一个k重根，其余非重根。则：30一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数

,带入形式解中就可以确定待定系数。3)根据初始条件，确定待定系数定解条件：(2.3-1)31式(2.3-1)可用矩阵形式表示为(2.3-2)32

常数c1、...、cn可用克莱姆法则解得，或用逆矩阵表示为33例2.3-1已知系统的传输算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，

初始条件rzi(0-)=1，

,试求系统的零输入响应。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4则零输入响应形式为

rzi(t)=c1e-3t+c2e-4t

t≥0

将r(0-)=1，r'(0-)=2代入，可得rzi(t)=6e-3t-5e-4t

t≥0

解出

c1=6

c2=-5

1=c1+c2

2=-3c1-4c234例2.3-2

图2-1(P24)所示RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2Ω。若激励电压源为0，且电路初始条件为：(1)i(0-)=0，i'(0-)=1A/s(2)i(0-)=0，uC(0-)=10V。这里电压降的方向设与电流i的正方向一致。分别求上述两种初始条件下电路的零输入响应电流。解：建模

求解解释35思考与练习：求下列系统的零输入响应解：36作业一：求下列连续时间LTI系统的零输入响应。(1)(2)37作业2：1.P77,2.12.p78,2.42.5382.4 奇异函数奇异信号（函数）：函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。要求：掌握单位斜变信号、单位阶跃信号、单位冲激信号、冲激偶信号等奇异信号。39一、单位斜变信号（斜坡信号、斜升信号）1．

单位斜变信号：2．有延迟的单位斜变信号40二．单位阶跃信号1.

定义2.

有延迟的单位阶跃信号413.

可代替电路中的开关，故又称为开关函数42

(a)(b)(c)4.ε(t)给函数的表示带来方便435．用单位阶跃信号描述其它信号其它函数用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。

符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数44三．单位冲激信号（难点、重点）1.

单位冲激信号的定义2.

单位冲激信号的性质45定义1规则信号取极限矩形脉冲信号：面积1保持不变；脉宽↓；

脉冲高度↑；

窄脉冲集中于t=0处。★面积为1★宽度为0三个特点：46若面积为k，则强度为k。47定义2：狄拉克(Dirac)函数函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0

时，，为无界函数。

48冲激函数的性质1．抽样性2．奇偶性3．尺度变换49抽样性(筛选性)对于移位情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

502.

奇偶性513.对(t