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9.3.1平面向量基本定理

问题1：

研究火箭升空的某一时刻的速度．问题2：

物理中的力的分解．1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度．2．，是两个不共线的向量，是平面内的任一向量，如何将分解到，方向上去？1．共面向量定理：探索：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？

且分解是唯一的？（2）对于平面上两个不共线向量，

，是不是平面上的

所有向量都可以用它们来表示？如果是，

同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

，使．我们把不共线向量，

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理．

+2．平面向量基本定理：正交分解：一个平面向量用一组基底，

表示成的形式，我们称它为向量的分解，当，

所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解．注意：（1），

均是非零向量，且不共线，则它可作为这一平面内所有向量的一组基底．

（2）基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；，

是被，

，

唯一确定的实数．

（3）由定理可将任一向量在给出基底，

的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．

（4）时，与共线；时，与共线；时，

．

思考：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系?例1

平行四边形的ABCD对角线AC和BD交于点M，，，试用向量，表示思考：解决这类问题的关键是什么?例2

如图，质量为的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹角为，求斜面对物体的磨擦力．f-fWθθP例3

已知向量，求作向量－2.5＋3．

例4

设，

是平面内的一组基底，如果=3

-2，=4+，=8-9．求证：A，B，D三点共线．变式设，

是平面内的一组基底，如果=2+k

，=+3

，=2

-

．且A，B，D三点共线，求k的值．例5

如图，不共线，，用，表示．OBAP变式1

如图：，不共线，点在上，求证：存在实数使．

变式2

设，

不共线，点在，

，

所在的平面内，且

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