()信号与系统课后习题与解答第一章

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐()信号与系统课后习题与解答第一章1-1分离推断图1-1所示各波形是延续时光信号还是离散时光信号，若是离散时光信号是否为数字信号？

图1-1

图1-2

解信号分类如下：

???

??

?

????--???--））（散（例见图数字：幅值、时光均离））（延续（例见图抽样：时光离散，幅值离散））（延续（例见图量化：幅值离散，时光））（续（例见图模拟：幅值、时光均连延续信号d21c21b21a21图1-1所示信号分离为（a）延续信号（模拟信号）；（b）延续（量化）信号；（c）离散信号，数字信号；（d）离散信号；

（e）离散信号，数字信号；（f）离散信号，数字信号。

1-2分离推断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）（1）)sin(teatω-；（2）nTe-；（3）)cos(πn；

（4）为随意值）（00)sin(ωωn；

（5）2

21???

??。

解

由1-1题的分析可知：（1）延续信号；（2）离散信号；

（3）离散信号，数字信号；（4）离散信号；（5）离散信号。

1-3分离求下列各周期信号的周期T：（1）)30t(cos)10t(cos-；（2）j10te；

（3）2)]8t(5sin[；

（4）[]为整数）（n)TnTt(u)nTt(u)1(0

nn∑∞

=。

解推断一个包含有多个不同频率重量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各

重量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。

（1）对于重量cos(10t)其周期5T1π=；对于重量cos(30t)，其周期15

T2π=。因为

5π

为21TT、的最小公倍数，所以此信号的周期5

Tπ

=

。

（2）由欧拉公式)t(jsin)t(cosetjωωω+=即)10t(jsin)10t(cosej10t+=

得周期5

102Tπ

π==。

（3）由于[])16t(cos2

252252)16t(cos125)8t(5sin2

-=-?=

所以周期8

162Tπ

π==。

（4）因为

原函数???+≤t，则122)2()(00000=??

?

??=?????-=-

-?∞

∞-tuttudtttuttδ（4）设00>t，则0)()2()(000=-=--?∞∞

-tudtttuttδ

（5）2)2()(2-=++?∞

∞--edtttetδ

（6）2

166sin6)6

()sin(+=?????+=

-

+?∞

∞-πππ

π

δdtttt（7）01)]()([0tjtjedtttteωωδδ-∞∞

=--?

此题的（3）、（4）两小题还可用另一种办法求解：

（3）冲激)(0tt-δ位于0t处，阶越信号???

?

?-20ttu始于20t，因而

)(2)(000ttttutt-=??

?

?

?

-

-δδ则原式=1)(0=-?∞∞

-dtttδ

（4）冲激仍位于0t，而)2(0ttu-始于02t，也就是说在0t处，0)(0=-ttu，因而0)2()(00=--ttuttδ

则原式=00=?∞

∞

-dt

1-15电容1C和2C串联，以阶越电压源)()(tEutv=串联接入，试分离写出回路中的电流)(ti，每个电容两端电压)()(21tvtvCC、的表达式。

1

C2

C+

-

)

(t

v图

1-15)

(ti2

L)(2tiL图1-16

解由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分离为)()(21tvtvCC，，则回路电流

)()()(21212121tECCCCdttdvCCCCtiδ?+=+=其中，2121CCCC+为1C、2C的串联等效电容值。

再由电容的电流和电压关系，有

)()(1)(2

1211tuCCECdttiCtvt

C+==?∞-

)()(1)(2

1122tuCCECdttiCtvt

C+==?∞-

1-16电感1L与2L并联，以阶越电流源)()(tIuti=并联接入，试分离写出电感两端电压)(tv、每个电感支路电流)()(21titiLL、的表示式。

解由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电感支路的电流分离为)(1tiL和)(2tiL，则电感两端电压

)()()(21212121tILLL

LdttdiLLLLtvδ?+=+=

其中2121LLL

L+为1L、2L的并联等效电感值。

再由电感的电流和电压关系，有

)()(1)(2

1211tuLLILdttvLtit

L?+==?∞-

)()(1)(2

112

2tuLLI

LdttvLtit

L?+=

=

?

∞

-

1-17分离指出下列各波形的直流重量等于多少？（1）全波整流)sin()(ttfω=；

（2）)(sin)(2ttfω=；（3）)sin()cos()(tttfωω+=；（4）升余弦)]cos(1[)(tKtfω+=。

解（1）)sin(tω的周期为ωπ2，)sin(tω的周期为ω

π

，因而)(tf的直流重量

π

πωπωπωω

πωπ

2)11(1)cos(1)sin()(1000==-===??tdttdttfTfTD

（2）)2cos(21

21)(sin)(2tttfωω-==因为)2cos(tω在一个周期内的平均值为0，因而

)(tf的直流重量2

1

=Df。

（3）)(tf的两个重量)cos(tω和)sin(tω的周期均为

ωπ2，因而的周期也为ωπ

2。但因为)cos(tω和)sin(tω在一个周期内的均值都为0，所以)(tf的直流重量0=Df。（4）)(tf与（2）中)(tf类似，所以KfD=，理由同（2）。

1-18粗略绘出图1-17所示各波形的偶重量和奇重量。(c)

图1-17

(b)

2

12

-

解（a）信号)(tf的反褶)(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如图1-18（a）、（b）、（c）所示。（a）

（b）

（c）

图1-18

（b）由于)(tf是偶函数，所以)(tf只包含偶重量，没有奇重量，即)()(tftfe=，0)(=tfo

（c）信号)(tf的反褶)(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如图1-19（a）、（b）、（c）所示。

（a）

（b）

（c）

图1-19

（d）信号)(tf的反褶)

(tf-及其偶、奇重量)(tfe、)(tfo如图1-20（a）、（b）、（c）所示。（a）

（b）图1-20

（c）

1-19绘出下列系统的仿真框图：

（1）)()()()(100tedtdbtebtratrdtd==+；

（2）)()()()()(100122tedtd

btebtratrdtdatrdt

d+=++。

解（1）选取中间变量)(tq，使之与激励满足关系：)()()

(0tetqadt

tqd=+①将此式改写成)()()

(0tqatedt

tqd-=，易画出如图1-21（a）所示的方框图。再将①代

入原微分方程，有

[][])(')()(")(')](')("[)]()('[)()('1001001000tqbtqbatqbtqbtqatqbtqatqbtratr+++=+++=+对照两边，可以得到)(tq与)(tr之间的关系式：)(')()(10tqbtqbtr+=

将此关系式在图1-21（a）中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21（b）所示。

图1-21

)

（a）（b）

（2）办法同（1）。先取中间变量)(tq，使)(tq与)(te满足：

)()()(')("01tetqatqatq=++②

将②式代入原微分方程后，易看出)(tq与)(tr满足：

)(')()(10tqbtqbtr+=③将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图。

图1-22

b-

1-20推断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？

（1）dt

tdetr)

()(=；

（2）)()()(tutetr=；（3）)()](sin[)(tutetr=；（4）)1()(tetr-=；（5）)2()(tetr=；（6）)()(2tetr=；（7）ττdetrt

?∞-=)()(；

（8）ττdetrt?∞

-=5)()(。

解（1）因为

dt

tdetrtedt

tdetrte)

()()()

()()(2221

11=

→=→而dt

tdeCtrdttdeCtrCtrCteCteC)

()()()()()()(22211

22112211+=+→+所以系统是线性的。

当dt

tdetrte)

()()(=→，而激励为)(0tte-时，响应为

)()

()

()(0000ttrttdttdedtttde-=--=-所以系统是时不变的。

由dt

tdetr)

()(=可知，响应)(tr只与此时的输入)(te有关，与这之前或之后的输入都无

关，所以系统是因果的。（2）因为

)

()()()()

()()()(222111tutetrtetutetrte=→=→

而)()()()()()()()(221122112211trCtrCtuteCtuteCteCteC+=+→+所以系统是线性的。

因为当)1()1()(1--+=tutute时，)1()()(1--=tututr

而)2()()1()(12--=-=tututete时，)1()2()()(12-≠--=trtututr，

即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时光单位，所以系统是时变的。由)()()(tutetr=可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。（3）因为

)()](sin[)()()

()](sin[)()(222111tutetrtetutetrte=→=→

而

[])()](sin[)()](sin[)()()

()()()(sin)()()(2211221122112211tuteCtuteCtrCtrCtuteCtuteCtrteCteC+=+≠+=→+

所以系统是非线性的。当激励为)(01tte-时，响应)()()](sin[)()](sin[)(00011ttrttuttetutetr-=--≠=所以系统是时变的。

由)()](sin[)(tutetr=可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。（4）因为

)1()()()

1()()(222111tetrtetetrte-=→-=→

而

)()()1()1()()()(221122112211trCtrCteCteCtrteCteC+=-+-=→+所以系统是线性的。

因为当)5.1()()(1--=tutute时，)1()5.0()(1--+=tututr

而当)2()5.0()5.0()(12=-=tututete时，)5.0()5.0()1()(12-≠--+=trtututr所以系统是时变的。

令)1()(tetr-=中0=t，则有，说)1()0(er=明响应取决于未来值（0时刻输出取决于1时刻输入），所以系统是非因果的。（5）因为

)2()()()

2()()(222111tetrtetetrte=→=→

而

)()()

2()2()()(221122112211trCtrCteCteCteCteC+=+→+

所以系统是线性的

因为当)1()()(1--=tutute时，)5.0()()(1--=tututr

而当)2()1()1()(12=-=tututete)1()1()5.0()(12-≠=trtututr所以系统是时变的。

对于)2()(tetr=，令1=t，有)2()1(er=，即响应先发生，激励后浮现，所以系统是非因果的。（6）因为

)()()()

()()(2

2222111tetrtetetrte=→=→而

[])

()()()()()()(22112

22112211trCtrCteCteCtrteCteC+≠+=→+

所以系统是非线性的。因为)()()(2111tetrte=→

)()()()()(010212022ttrttetrttete-=-=→-=

所以系统是时不变的。

由)()(2tetr=知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。（7）因为

τ

τττdetrtedetrtet

t

?

?

∞

-∞-=→=→)()()()()()(22

2

111

而

)()()()()()(221122112211trCtrCdeCdeCteCteCt

t+=+→+??∞

-∞

-τ

τττ

所以系统是线性的。

因为)()()()(00000ttrdaaedtrttet

tta

t-=??

→?-→-??∞--∞

-=-τττ

所以系统是时不变的。

由ττdetrt

?∞-=)()(可知，t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关，所以系

统是因果的。

（8）因为

τ

τττdetrtedetrtet

t

??

∞

-∞-=→=→52225111)()()()()()(

而

)()()

)()()()()()(2211522511522112211trCtrCdeCdeCdeCeCteCteCt

t

t

+=+=+→+???∞

-∞

-∞

-τττττττ

所以系统是线性的。

因为)()()()()(0)(5550000ttrdaaedaaedtettettt

a

tt

-=≠??

→?-→-???-∞

-∞

-=-∞

-τττ

所以系统是时变的

对于ττdetrt

?∞

-=5)()(，令1=t，有ττder?∞

-=5

)()1(

即输出与将来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。

1-21推断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不行逆，指出访该系统产生系统输出的两个输入信号。（1）)5()(-=tetr；

（2）)()(tedtd

tr=；

（3）ττdetrt

?∞-=)()(；

（4）)2()(tetr=。

解（1）该系统可逆，且其逆系统为)5()(+=tetr

（2）该系统不行逆，由于当，,)()(2211CteCte==，（21CC≠且均为常数）时，)()(21trtr=，即不同的激励产生相同的响应，所以系统不行逆。

（3）该系统可逆。由于微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为

)()(tedt

d

tr=。

（4）该系统可逆，且其逆系统为)2

()(t

etr=。