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文档简介
2021-2022学年四川省德阳市兴隆中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合,,则A∩B=(
)A.{0} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}参考答案:B【分析】计算出集合的取值范围再求交集。【详解】由题可知集合的取值范围是,所以故选B.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题。2.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略3.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是(
)A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC参考答案:C【考点】空间点、线、面的位置.【专题】压轴题;阅读型.【分析】逐一检验答案,A、B的正确性一致,C、D结合图形进行判断.【解答】解:A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾C不正确,如图所示:D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明.故选C.【点评】结合图形,通过仔细分析及举出反例,判断各答案是否正确4.从0,2,4中取一个数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是(
) A.36 B.48 C.52 D.54参考答案:B略5.若m<n,p<q,且(p﹣m)(p﹣n)<0,(q﹣m)(q﹣n)<0,则m,n,p,q从小到大排列顺序是()A.m<p<q<n B.p<m<q<n C.m<p<n<q D.p<m<n<q参考答案:A【考点】不等式比较大小.【分析】把p、q看成变量,则由(q﹣m)(q﹣n)<0,知m,n一个大于q,一个小于q.由m<n,知m<q<n;由(p﹣m)(p﹣n)<0,知m,n一个大于p,一个小于p,由m<n,知m<p<n.由p<q,知m<p<q<n.【解答】解:∵(q﹣m)(q﹣n)<0,∴m,n一个大于q,一个小于q.∵m<n,∴m<q<n.∵(p﹣m)(p﹣n)>0,∴m,n一个大于p,一个小于p.∵m<n,∴m<p<n.∵p<q,∴m<p<q<n.故选:A.【点评】本题考查不等式大小的比较,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式的性质的合理运用.6.直线(t为参数)被曲线x2﹣y2=1截得的弦长是()A. B. 2 C. D.2参考答案:D略7.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦长为()A. B. C.
D.5参考答案:C8.一个单位有职工800人,期中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(
)A.12,24,15,9
B.9,12,12,7
C.8,15,12,5
D.8,16,10,6参考答案:D略9.已知函数,求A.—1
B.5C.4D.3参考答案:B10.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为(
)A.
B.
C.
D.
Ks5u参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数,若函数恰有3个零点,则实数a的取值范围为____;参考答案:【分析】由函数恰由3个零点,即方程有3个不同的解,设,,利用导数求得函数的单调性与最值,作出函数的图象,结合图象,即可求解。【详解】由题意,函数恰由3个零点,即方程有3个不同的解,设,,则,可得当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以,则函数的图象,如图所示,方程有3个不同的解等价于函数的图象与直线由3个的交点,结合图象可得,实数的取值范围。【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值,以及函数与方程的综合应用,其中解答中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数,准确利用导数求得函数的单调性与最值,画出函数的图象,结合图象求解是解答的关键,着重考查了数形结合与转化思想,以及推理与运算能力,试题有一定的难度,属于中档试题。12.数一数,三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱,正方体,正八面体等的几何体的面数(F),顶点数(V),棱数(E),由此归纳出一般的凸多面体的面数(F),顶点数(V),棱数(E)满足的关系为:
。参考答案:13.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程
参考答案:14.在东经圈上有甲、乙两地,它们分别在北纬与北纬圈上,地球半径为,则甲、乙两地的球面距离是
.参考答案:15.关于函数的性质描述,正确的是________.
①f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1];
②f(x)的值域为(-1,1);③f(x)在定义域上是增函数;
④f(x)的图象关于原点对称;参考答案:①②④【分析】函数的定义域为,故,所以为奇函数,故①④正确,又,故可判断②正确,③错误.【详解】由题设有,故或,故函数的定义域为,故①正确.当,,此时,为上的奇函数,故其图像关于原点对称,故④正确.又,当时,;当时,,故的值域为,故②正确.由可得不是定义域上增函数,故③错.综上,选①②④.【点睛】对函数的性质的研究,一般步骤是先研究函数的定义域,接下来看能否根据定义域简化函数解析式,使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性,因为一旦明确函数的奇偶性或周期性,我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质,最后通过研究函数的单调性得到函数的值域.16.已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率e的最大值为________.参考答案:17.已知双曲线的两个焦点为F1、F2,点M在双曲线上,若·=0,则点M到x轴的距离为_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)解不等式;(2)设函数的最小值为m,若a,b均为正数,且,求的最小值.参考答案:(1);(2)【分析】(1)通过讨论范围,求出各个区间上的的范围,取并集即可;(2)求出的值,根据基本不等式求出的最小值即可【详解】(1)因为,由可得或或得不等式解集为.(2)由(1)知,在单调递减,在上单调递增,所以.因为是正数,则,当且仅当时取等号.又因为,所以,则的最小值为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式以及转化思想,是一道常规题19.学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的3道题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为,且每题正确完成与否互不影响.(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?参考答案:【考点】概率的应用;离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值,求出相应的概率,可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望;(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η,求出相应的期望与方差,比较,即可得出结论.【解答】解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ,则ξ可能取值为1,2,3,∴,,…(3分)∴考生甲正确完成题目数的分布列为ξ123P∴…(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η.∵η~B(3,),其分布列为:∴…(6分)∵…(8分)∴Dξ<Dη∵,…(10分)∴P(ξ≥2)>P(η≥2)①从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题数的方差考查,甲较稳定;②从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大,因此,可以判断甲的实验操作能力强.…(12分)【点评】本题考查随机变量的分布列和数学期望,考查概率知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.若点(p,q),在,中按均匀分布出现(1) 点M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点M(x,y)落在上述区域的概率?(2)
试求方程有两个实数根的概率。参考答案:故点落在上述区域内的概率P=---------6分(2)方程有两个实数根,则有---------9分故点落在圆的外部
---------10分故方程有两个实数根的概率P=---------12分21.已知函数f(x)=loga()(0<a<1,b>0)为奇函数,当x∈(﹣1,a]时,函数y=f(x)的值域是(﹣∞,1].(1)确定b的值;(2)证明函数y=f(x)在定义域上单调递增,并求a的值;(3)若对于任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,求k的取值范围.参考答案:(1)根据函数f(x)为奇函数,建立方程关系即可求出b;(2)运用单调性的定义,可得g(x)==﹣1+在(﹣1,1)递减,再由复合函数的单调性,可得f(x)在(﹣1,1)递增;由题意可得f(a)=1,解方程可得a的值;(3)由f(t2﹣2t)>﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),f(x)在(﹣1,1)递增,可得t2﹣2t>k﹣2t2,且﹣1<t2﹣2t<1,﹣1<k﹣2t2<1,可得k<3t2﹣2t的最小值,运用二次函数的最值求法,可得最小值,即可得到k的范围.解:(1)∵函数f(x)=loga()(0<a<1,b>0)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),即f(﹣x)+f(x)=0,∴loga+loga=loga(?)=0,即?=1,∴1﹣x2=b2﹣x2,即b2=1,解得b=1(﹣1舍去),当b=1时,函数f(x)=loga为奇函数,满足条件.(2)证明:设x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,由g(x)==﹣1+,g(x1)﹣g(x2)=﹣=,x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,可得x2﹣x1>0,(1+x1)(1+x2)>0,则g(x1)﹣g(x2)>0,即有g(x)在(﹣1,1)递减,由f(x)=logag(x),0<a<1可得,f(x)在(﹣1,1)递增;∴函数f(x)=loga在x∈(﹣1,a)上单调递增,∵当x∈(﹣1,a]时,函数f(x)的值域是(﹣∞,1],∴f(a)=1,即f(a)=loga=1,∴=a,即1﹣a=a+a2,∴a2+2a﹣1=0,解得a=﹣1±,∵0<a<1,∴a=﹣1+;(3)对于任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,即有f(t2﹣2t)>﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),由f(x)在(﹣1,1)递增,可得t2﹣2t>k﹣2t2,且﹣1<t2﹣2t<1,﹣1<k﹣2t2<1,可得k<3t2﹣2t的最小值,由3t2﹣2t=3(t﹣)2﹣,可得t=,取得最小值﹣,可得k<﹣.检验成立.则k的取值范围是(﹣∞,﹣).22.(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB;(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.参考答案:解法一:(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED=EB.在正△ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,在Rt△NEF中,tan∠NFE==2,∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,∴S△CMN=CM·NF=,S△CMB=BM·CM=2.设点B到平面CMN的距离为h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN·h=S△CMB·NE,∴h==.即点B到平面CMN的距离为.解法二:(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(
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