2022-2023学年河南省平顶山市汝州第五中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年河南省平顶山市汝州第五中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的（

）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要参考答案：A【分析】利用反三角函数的定义得出，然后取特殊角可得出，于此可得出答案.【详解】当，则，所以；另一方面，取，则，则，因此，“”是“”的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，可以利用逻辑推证法以及取特殊值的方法推出矛盾，考查推理能力，属于中等题.2.设i为虚数单位，则(－1+2i)(2－i)=（

）A．5i

B．－5i

C．5

D．-5参考答案：A.故选A.3.下列命题正确的是（） A． 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B． 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C． 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D． 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行参考答案：C略4.设

若－2≤x≤2，－2≤y≤2，则z的最小值为（A）－4

（B）－2

（C）－1

（D）0参考答案：C5.千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

年份（届）2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107

根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（

）A．111

B．117

C．118

D．123参考答案：B6.已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点满足：，则A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．详解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为=48+π．故选：A．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[12，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）参考答案：B【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．9.椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动(

)A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线参考答案：B10.若函数的导函数,则函数的单调递减区间是

(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点均在同一个球面上，且AB=AC=3，∠BAC=60°，AA1=2．则该球的体积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意知：△ABC为等边三角形，设其中心为O，设球心为O1，则△AO1O为直角三角形，AO⊥OO1，由此能求出球的半径，从而能求出该球的体积．【解答】解：由题意知：△ABC为等边三角形，设其中心为O，则AO=BO=CO=，设球心为O1，则△AO1O为直角三角形，AO⊥OO1，∴球的半径r==2，∴该球的体积为V球==．故答案为：．12.在中，若,则__________.参考答案：2在中，两边同除以得.13.在极坐标系中，直线的方程是，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线的方程是.如果直线与垂直，则常数________．参考答案：-3略14.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2,则e1·e2的取值范围为

。参考答案：【知识点】单元综合H10设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．

由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，?．?1＜＜4，

∴e2=；

e1=．

∴e1?e2==。【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1?e2的取值范围是．15.已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为cm2．参考答案：1【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．16.已知向量=（﹣1，m），=（0，1），若向量与的夹角为，则实数m的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别用坐标和定义计算cos＜＞，列方程得出m即可．【解答】解：=m，||=，||=1，∴cos＜＞==．∵向量与的夹角为，∴=，解得m=，故答案为．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．17.已知直线：和：，则∥的充要条件是=

．参考答案：3因为的斜截式方程为，斜率存在为，所以直线的斜率也存在所以，即，所以要使∥，则有，解得或且，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

正方体的棱长为1，点封闭为的中点。（1）证明：平面；（2）证明：平面。参考答案：（Ⅰ）连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，

又F为A1D的中点，所以EF∥A1B，……………3分

又平面AFC，平面AFC，

由线面平行的判断定理可得A1B∥平面AFC……5分

（Ⅱ）连B1C，在正方体中A1B1CD为长方形，

∵H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点，

∴只要证平面ACF即可

………………6分

由正方体性质得，，

∴平面B1BD，∴

…………9分

又F为A1D的中点，∴，又，∴平面A1B1D，

∴，又AF、AC为平面ACF内的相交直线，

…11分

∴平面ACF。即平面ACF。

………………12分19.（本小题满分12分）已知函数在x=2处取得极值。（I）求实数的值及函数的单调区间；（II）方程有三个实根求证：参考答案：(Ⅰ)，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）由（1）可知极小值；极大值为，可知方程三个实根满足，设，，，则，即，所以，由（1）知函数在上单调递减，从而，即①同理设，，，即，，由（1）知函数在上单调递增，从而，即②，由①②可得得证.试题分析：(Ⅰ)首先求出函数的导函数，然后由已知可得，解方程即可得出参数的值；然后分别令和并解出对应的自变量的取值范围即为所求函数的单调递增、递减区间即可；（Ⅱ）首先由(Ⅰ)易求出函数的极小值和极大值，即函数的大致图像可画出，进而可知方程三个实根满足，于是构造函数，和，分别判断其在各自区间上的增减性，进而判断出三者之间的关系即可得出证明.试题解析：：(Ⅰ)由已知，，所以，由，得或；由，得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）由（1）可知极小值；极大值为，可知方程三个实根满足，设，，，则，即，所以，由（1）知函数在上单调递减，从而，即①同理设，，，即，，由（1）知函数在上单调递增，从而，即②，由①②可得得证.考点：1、导数在研究函数的极值中的应用；2、导数在研究函数的单调性中的应用；20.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.参考答案：解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，……2分

解得，……4分，设平面的法向量为，则，令，

……6分又平面的法向量为所以所求二面角的大小为…………………8分（Ⅱ）设得……10分，，解得，存在点使面此时…………12分21.（本小题满分12分）已知函数（，）的最大值是，且．求的值；设，，，，求的值．参考答案：∵函数的最大值是2，∴…………………2分∵∴…………………3分又∵∴……………