2021年天津耀华滨海学校高三数学理期末试卷含解析

2021年天津耀华滨海学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数x的值为（）A．

B．1

C．

D．2参考答案：B2.若的展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．－540

B．－162

C．162

D．540参考答案：A3.在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC为等边三角形，那么命题p是命题q的(

)

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充分必要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：答案:C4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为(

)A.3 B. C. D.2参考答案：A由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：面ABC，△ABC中，，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选A.点睛;思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.

B.C.

D.参考答案：D略6.已知向量,若，则实数（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.已知双曲线的两个焦点分别为、，双曲线与坐标轴的两个交点分别为、，若，则双曲线的离心率A．

B．

C．

D．参考答案：A略8.

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D9.直线与圆相交所得弦长为（

）A．

6

B．3

C.

D．参考答案：A圆心到直线距离为，所以弦长为，选A.10.若，，则A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=

．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．解答： 解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC=2x，则（2x）2=x?（x+2），则．故答案为：．点评：本题考查三角形的全等与相似，考查逻辑推理能力．12.已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】正项等比数列{an}的公比q=2，由于存在两项am，an，使得=4a1，可得=4a1，化为m+n=6．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正项等比数列{an}的公比q=2，∵存在两项am，an，使得=4a1，∴=4a1，∵a1≠0，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则+=（m+n）（）==，当且仅当n=2m=4时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．13.定义平面向量的一种运算：，给出下列命题：

①；②；③；

④若，则。

其中所有真命题的序号是___________．参考答案：①④14.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：略15.已知中，角的对边分别为，为边上的高，有以下结论①

②

③

④＝，其中正确的是

（填上序号）参考答案：①②③④略16.如图，在△ABC中，，，，则的值为

．参考答案：－2试题分析：

17.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=

参考答案：，

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为.(1)求曲线C1的极坐标方程及C2的直角坐标方程；(2)点P为C1上任意一点，求P到C2距离的取值范围参考答案：解：(1)∵C1的直角坐标方程为，∴C1的极坐标方程为， ∵，∴，∴C2的直角坐标方程为(2)∵曲线C1的参数方程为（为参数），∴设P(，) ∴点P到直线C2的距离为d＝， ∴点P到直线C2的距离的取值范围为，略19.一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；（2）求该人两次投掷后得分的数学期望．参考答案：（1）“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C．则

因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为-（2）两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则：

；20.(本题满分12分)如图，在直三棱柱中，，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满

足，求的长；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以

………………2分

又平面，平面所以平面

………………4分

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以，解得，所以.

………8分（Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，

………………10分因为平面,取平面的法向量为

所以

平面与平面所成锐二面角的余弦值为

………………12分

21.（13分）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1?f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1?f（x1）≥g（x2）成立，则x1?f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…【点评】本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．22.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.(1)若a＜0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1、x2、x3∈[0,1]，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围．参考答案：(1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a).因为a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a.所以函数y＝f(x)的单调递减区间为.(3分)(2)当a＝0时，f(x)＝x3＋2.设在点A(x1，x＋2)，B(x2，x＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)．因为y′＝3x2，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x，所以，在