2022-2023学年天津大神堂中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年天津大神堂中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列，数列-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，则(A)±

(B)±

(C)-

(D)参考答案：D略2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（

）A．1

B.

C.

D．2参考答案：B3.已知是锐角的三个内角，向量则与的夹角是（

）A．锐角

B．钝角

C．直角

D．不确定参考答案：B4.设x、y满足约束条件的最大值为

（

）

A．0

B．2

C．3

D．参考答案：D5.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．e2 B．2e2 C．e2 D．e2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故选D．【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.下面程序运行的结果是

(

)A

210，11

B

200，9

C

210，9

D200，11

参考答案：D略7.直线的倾斜角是(

).

A、40°

B、50°

C、130°

D、140°参考答案：Ｂ略8.已知直线与（）A．相交 B．平行 C．异面 D．共面或异面参考答案：B9.某班级有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号投中次数67787则投中次数的方差为S2=(

)A．2 B．0.4 C．4 D．0．参考答案：B【考点】极差、方差与标准差．【专题】运动思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出平均数再求出方差即可．【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，这组数据的平均数是7，甲班投中次数的方差是（1+0+0+1+0）=0.4，故选：B．【点评】本题考查了求方差和平均数问题，是一道基础题．10.若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A.- B． C．D．参考答案：A考点;余弦定理．专题;计算题．分析;通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．解答;解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A．点评;本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x3-12x在区间[-3，3]上的最大值是___________.参考答案：1612.已知圆的极坐标方程，则该圆的圆心到直线的距离是____参考答案：13.从一批含有件正品、件次品的产品中，不放回地任取件，则取得次品数的概率分布为

.

参考答案：

14.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.参考答案：415.已知函数，关于方程（为正实数）的根的叙述有下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有3个不同的实根②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根④存在实数，使得方程恰有6个不同的实根其中真命题的个数是（

）A0

B

1

C

2

D

3参考答案：D16.已知函数（1）当时，求的最大值；（2）时，判断函数的单调性；（3）若，证明对任意，均有.参考答案：解：（1）∴当变化时，变化情况如下表：1＋0－单调递增极大值单调递减∴当=1时，取得极大值，也是最大值即…………………3分（2）∵，,∴恒成立在是减函数…………6分（3）∵在单调减，∴不妨设则即∴在单调减设=

…………………8分∵∴△=16－4×2×=－8=－8≤0∴≤0恒成立∴为减函数∴对均成立………10分

略17.在平面直角坐标系中，设为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数．下列四个说法中：①存在实数，使点N在直线l上；②若，则过M，N两点的直线与直线l重合；③若，则直线l经过线段MN的中点；④若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．所有结论正确的说法的序号是 ．参考答案：③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1

中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。

（I）求证：C1D//平面ABB1A1；

（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角；参考答案：（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，

四边形ABCD为正方形，AB//CD所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，

面CDD1C1

….2分所以C1D//平面ABB1A1

…………2分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，

在中，由已知可得所以，

…………2分因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥平面A1B1C1D1A1D⊥B1D1。又B1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1-C1D的一个法向量为n=（1，1，0）

…………2分设与n所成的角为，则

…………2分所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为

…………2分略19.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20.解方程参考答案：解析：得

21.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在C上，求此正三角形的边长．参考答案：（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出抛物线的准线方程，运用抛物线的定义可得1﹣（﹣）=2，可得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，由|OA|=|OB|，推得线段AB关于x轴对称，因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，得到x1，y1的方程，解得即可得到AB的长．解答：解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，因此，抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2．∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22，即x12﹣x22+4x1﹣4x2=0?（x1﹣x2）（x1+x2+4）=0．∵x1＞0，x2＞0，∴x1=x2，即|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，不妨取y1＞0，所以=tan30°=．因为x1=，所以y1=4，故正三角形的边长|AB|=2y1=8．点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程和准线方程的运用，同时考查两点的距离公式和化简整理的能力，属于中档题．22.(14分)设函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；(3)如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，

————1分

切线的斜率——————2分

又

切点的坐标为————————3分

切线的方程为，即————4分

（2）“存在，使得成立”等价于“”.————5分

——————6分

得：或————