2021年安徽省马鞍山市当涂县马桥中学高三数学理测试题含解析

2021年安徽省马鞍山市当涂县马桥中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是A、B、C、D、参考答案：A2.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A．866 B．500 C．300 D．134参考答案：解：如图，设勾为，则股为，弦为，则图中大四边形的面积为，小四边形的面积为，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．落在黄色图形内的图钉数大约为．故选：．3.设集合A={x∈Z||x|≤2}，，则A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出根据A、B的范围，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．4.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为(

)参考答案：C5.已知复数是虚数单位，则=

A．

B．1

C．5

D．参考答案：D由得，所以，即，所以，选D.6.

(

)

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：答案：C7.执行如右图所示的程序框图,若输入的值等于7,则输出的的值为A.15

B.16

C.21

D.22参考答案：B8.已知函数，则的值为（

）

、

、0

、

、参考答案：D由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以【考点】函数的导数。9.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于（）

A．

B．或2

C．2

D．参考答案：A略10.已知全集，集合，则（

）

A.

B.C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三角形的边长为，利用斜二测画法得到的平面直观图为，那么的面积为

.参考答案：12.已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．参考答案：6略13.设等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，S6=4S3，则a4=．参考答案：3【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴S6==．∴q3=3．∴a1q3=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．14.已知函数点集则所构成平面区域的面积为_________.参考答案：15.函数在点处的切线方程为__________________________;参考答案：4x-y-4=0略16.设是等比数列的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于

。参考答案：略17.过坐标原点的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝2相交于A，B两点，且△ACB为等腰直角三角形，则直线l的方程为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司有价值万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②时，；③，其中为常数，且．

（Ⅰ）设，求表达式，并求的定义域；

（Ⅱ）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入．参考答案：（2）

……7分当时，即，时，

………9分当，即，在上为增函数∴当时，

………………11分综上，当，投入时，附加值y最大，为万元；当，投入时，附加值y最大，为万元………13分19.（本小题满分14分）设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.参考答案：(1).若切点为原点,由知切线方程为;.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即，，，，，…………，将以上不等式相加得：，即20.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性与极值；（3）当a=2时，求函数f（x）在上的最值．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到k=f'（1），故可求出切线方程；（2）根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出，（3）由（2）值知道函数的单调区间，函数的极小值就是最小值，再根据端点值得到函数的最大值．解答： 解：（1）a=2时，f（x）=x﹣2lnx，∴，∴k=f'（1）=﹣1，又f（1）=1，故切线方程为：y﹣1=﹣1（x﹣1）即y=﹣x+2．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=1﹣=①当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；②当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，f极小=f（a）=a﹣alna，无极大值．（3）因为当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以函数在上递减，在（2，3]上递增．最小值为f（2）=2﹣2ln2因为f（1）=1，f（3）=3﹣2ln3．f（1）＞f（3）．所以最大值为1．点评：本题考查了导数的几何意义，即切线方程的求法，以及导数和函数的单调性极值最值的关系，属于中档题21.几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD//AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF·EC. （I）求证：CE·EB=EF·EP； （II）若CE颐BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长.

参考答案：

解：（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP.-------------------------------------------------（5分）（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．----------------------------------（10分）

略22.（本小题满分12