2021年河南省开封市李砦中学高三数学文测试题含解析

2021年河南省开封市李砦中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B2.已知圆O：x2+y2=1，点P为直线x﹣2y﹣3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（2m+3，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线x﹣2y﹣3=0的任一点，所以设P（2m+3，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（m+，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直线AB恒过定点（，﹣），故选D．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．3.已知函数是以2为周期的偶函数，且当时，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D4.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．参考答案：C5.双曲线的渐近线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是(

)A．1025 B．1035 C．1045 D．1055参考答案：C略7.函数的图象可看成将函数的图象（

）A．向左平移个单位得到

B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C．向右平移个单位得到

D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到参考答案：A8.命题P：将函数的图象向右平移个单位得到的图象；命题Q：函数的最小正周期是，则复合命题“P或Q”

“P且Q”

“非P”为真命题的个数是（

）

A．0个

B.

1个

C、2个

D、3个参考答案：C9.已知、、均为单位向量，且满足·=0，则（++）·（+）的最大值是__________.A．

B．3+

C．2+

D．参考答案：C10.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且，.则该三棱锥的外接球的体积为(

)A. B.13π C. D.参考答案：D【详解】∵，，∴是以为斜边的直角三角形，

其外接圆半径，则三棱锥外接球即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，

∴三棱锥外接球的半径满足故三棱锥外接球的体积故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，

则____；的面积为____. 参考答案：，.试题分析：由余弦定理可得，又∵，∴，.考点：1.切割线定理；2.相交弦定理.12.观察分析下表中的数据：

多面体

面数（）顶点数（)

棱数（)

三棱锥

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.参考答案：

13.若实常数，则不等式的解集为

．参考答案：14.若实数x,y满足，则的最小值是______．参考答案：【详解】由约束条件作出可行域如图，令,则，由图可知,当直线过B时，z有最小值.，解得.∴的最小值是.故答案为：.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.曲线与直线所围成的封闭图形的面积是

.参考答案：16.已知向量满足、之间的夹角为，则=

▲

。参考答案：略17.复数=______________.（是虚数单位）参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意，b=1，=，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．【解答】解：（1）由题意，b=1，=，∴a=2，b=1，c=1，∴椭圆C的方程为=1；（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，∵（x，）在椭圆上，∴=1，∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k?+=0，∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．19.己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a（a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．20.已知函数（为常数,且）的图象过点.（1）求实数的值;（2）若函数,试判断函数的奇偶性,并说明理由.参考答案：此函数的定义域为,又,所以函数为奇函数.略21.已知函数,其中.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.（2）当时，图象上任意一点处的切线的倾斜角为，且，求a的取值范围．参考答案：解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，------------2分∵f′(x)是开口向下的抛物线，∴，∴a≥3.------------6分(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，------------9分由－3x2＋2ax≥0，得a≥x，a≥，

------------11分由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋.又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)，∴a≤

.------------13分综上，a的取值范围是≤a≤.

…………14分

略22.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男女合计网购迷

20

非网购迷45

合计

100

（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不.影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812

将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：(1)中位数估计为17.5千元.(2)见解析；(3)【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3)设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意得，，计算，由，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估