第16讲其他方法求面积

第十六讲其他方法求面积1．如图所示，长方形倍分成面积相等的四部分，x=厘米。答案：6；解：最上面的长方形的面积是16×2=32（平方厘米），四个部分的面积相等，所以下面三个面积的和是32×3=96（平方厘米），所以x=96÷16=6（厘米）。2．如图所示，把一个长方形分成6个正方形，其中最小的一个面积是1平方厘米，那么这个长方形的面积是平方厘米。答案：143；解：如图所示，把6个正方形分别标上①、②、③、④、⑤、⑥，则②、③面积相等，记⑥的边长为a，则⑤的边长为a–1，④的边长为a–2，②、③的边长为a–3，从长方形的两条长比较得到a+a–1=a–2+a–3+a–3，解得a=7，所以长方形的长为7+6=13（厘米），宽为7+4=11（厘米），所以长方形的面积是13×11=143（平方厘米）。3．如图所示，长方形被两条直线切割成四部分，其中三部分的面积分别为28、12、6平方厘米，阴影部分的面积是平方厘米。答案：14；解：如图，设长方形内部的四条线段的长分别为a、b、c、d，则a×c=28，a×d=12，b×d=6，所以(a×c)×(b×d)÷(a×d)=b×c，即阴影部分面积为b×c=28×6÷12=14(平方厘米)。4．一个长方形被分割成8个小长方形，其中有五个小长方形的面积如下图所示（单位：平方分米），那么这个大长方形的面积是平方分米。答案：240；解：由上题中的结论知道，左下方的长方形的面积是35×21÷15=49（平方分米），面积为30的长方形下面那个长方形的面积是30×21÷15=42（平方分米），右上方的长方形的面积是30×28÷42=20（平方分米），所以大长方形的面积是35+15+30+20+49+21+42+28=240（平方分米）。5．如图所示，在一块长24米，宽16米的长方形绿地上，有一条款2米的小路，请你列式计算出这条小路的面积。答案：76；解：阴影部分的面积等于路长乘以路宽，路宽为2米，路长等于长+宽–2米=16+24–2=38，所以阴影部分的面积=38×2=76（平方米）。6．如图所示（单位：米），在大长方形中阴影部分的每个小长方形的长相等，宽也相等，求空白部分的面积。答案：576；解：观察图形，可以得到小长方形的长与宽的关系，其中2长+4宽=42米，2长+1宽=24米，所以3个宽等于18米，宽=6米。所以2个长=24–6=18（米），长=9米，小长方形的面积是54（平方米），大长方形的面积是42×24=1008（平方米），剩余部分的面积是1008–8×54=576（平方米）。7．已知两个正方形的边长和为25厘米，大正方形面积比小正方形面积大125平方厘米，那么大正方形的面积是平方厘米。答案：225；解：如图，在两个正方形之间放入4个长方形，长方形的长为b，宽为a，所以(a+b)+(b–a)=25，所以b=12.5，又4×a×b=125，所以a=2.5，大正方形的边长是12.5+2.5=15（厘米），所以大正方形的面积是15×15=225（平方厘米）。8．正方形ABCD的边长为6米，E是BC的中点，四边形OECD的面积为平方米。答案：15；解：连接DE，因为E是BC的中点，设三角形OBE的面积为1份，O点到AB、BE的距离相等，所以三角形ABO的面积为2份，三角形ABO的面积+三角形OBE的面积=三角形DEO的面积+三角形OBE的面积，所以三角形OED的面积为2份，三角形DEC的面积=三角形ABE的面积为3份，所以三角形BCD的面积是1+2+3=6（份），这六份为正方形面积的一半，为18平方米，所以每份是3平方米，所以四边形OECD的面积是3×5=15（平方米）。9．如图所示，三角形ABC和三角形EFD是面积为2004平方厘米的全等的直角三角形，AB=EF，BC=FD，∠ABC=∠DFE=90°，点B在DE边上，点F在AC边上，形成长方形GBHF，求长方形ADEC的面积。答案：4008平方厘米；解：连接BF，因为三角形ADB的面积=三角形FDB的面积（同底等高），所以三角形FGB的面积=三角形AGD的面积，同理，三角形ECF的面积=三角形BCF的面积，所以三角形ECH的面积=三角形BFH的面积，于是长方形ADEC的面积=三角形ABC的面积+三角形EDF的面积=4008（平方厘米）。10．如图所示，一大一小两个正方形拼在一起，若阴影部分的面积是10平方米，小正方形的面积是平方米。答案：20；解：连接BF，则BF与AC平行，所以三角形ACF的面积=三角形ABC的面积，所以小正方形的面积是2×10=20（平方米）。11．如图所示，AB=24厘米，长方形BDEF中EF=15厘米，阴影三角形面积是60平方厘米，则三角形DCE的面积是平方厘米。答案：30；解：连接AD，三角形ADE的面积=三角形BED的面积，所以三角形ACD的面积=三角形BCE的面积=60平方厘米，又三角形ACD的面积=CD×AB÷2，其中AB=24厘米，所以CD=60×2÷24=5（厘米），又EF=15厘米，所以BC=10厘米，所以DE=60×2÷10=12（厘米），三角形DCE的面积=12×5÷2=30（平方厘米）。12．如图所示，梯形ABCD中上底AB的长度是10厘米，梯形的高BE的长度是12厘米，且E是CD的中点，BF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，那么BF的长度是厘米。答案：13；解：取AB的中点G，连接EG，因为E、G分别为上、下底的中点，所以AG+DE=BG+CE，所以EG也把梯形分成面积相等的两部分，所以三角形BEG的面积=三角形BEF的面积，即EF=BG，在直角三角形BEF中，EF=5厘米，BE=12厘米，根据勾股定理BF的长的平方等于122+52=169，所以BF=13厘米。13．如图所示，ABCD是边长为18厘米的正方形，M、N分别是AB边和BC边上的点，已知AM=2BM，CN=2NB，AN和CM相交于点O，则四边形AOCD的面积是平方厘米。答案：243；解：连接OB，由于AM=2BM，CN=2NB，所以三角形AMO的面积=2×三角形MBO的面积，三角形MBO的面积=三角形NBO的面积，所以三角形AMO的面积=四边形MBON的面积=18×6÷2÷2=27（平方厘米），同样三角形CNO的面积=27平方厘米，所以四边形AOCD的面积=正方形ABCD的面积–27×3=18×18–81=243（平方厘米）。14．如图所示，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米，乙的顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集，这三个正方形的覆盖面积是多少？答案：103；解：由于乙的一个顶点在甲的中心，所以甲与乙重合的部分是甲的面积的四分之一，即4×4÷4=4（平方厘米）。同样乙与丙重合的部分是乙的面积的四分之一，即6×6÷4=9（平方厘米）。于是覆盖的面积是4×4+6×6+8×8–4–9=103（平方厘米）。15．校园有一块长方形的地，长18米，宽12米，想种上红花、黄花和绿草，一种设计方案如图所示（除长方形四个顶点外，其余各点均为各边中点），那么其中红花的面积是平方米。答案：54；解：图中红花面积加上黄花面积等于长方形面积的一半，又红花和黄花的面积相等，所以红花面积=18×12÷4=54（平方米）。16．如图所示，5×5的方格中，每个小方格的边长为1厘米，A、B两点在小方格的顶点上，现在要在小方格的顶点上确定一点C，连接AC、BC后，使得三角形ABC的面积最大，请在图中标出C点，并求出最大面积为多少？答案：4平方厘米；解：要使三角形ABC的面积最大，因为AB的长固定，那么就是要求AB边上的高尽可能大，显然当另外一点在左上或右下方的两个顶点时面积会大一些。若C点在右下角，则三角形的面积是3×3的正方形中去掉三个小三角形，面积是3×3–3×1÷2–2×1÷2–3×2÷2=3.5（平方厘米），若C点在左上角，则三角形的面积是3×4的长方形中去掉三个小三角形，面积是3×4–3×2÷2–2×1÷2–4×2÷2=4（平方厘米），所以当C点在左上角时，三角形ABC的面积最大为4平方厘米.17．用1、2、3、4、5、6、7、8这八个数作为下图图形的八条边的长（单位：米），不同的组成有不同的面积，那么这个图形的最大面积是多少？答案：50平方米；解：如图，将图中线段标为a、b、c、d、e、f、g、h，显然a+b+c=d，要使图形面积尽可能大，则取d=8，h=7，补足7×8的长方形，应该使得阴影部分的面积尽可能小，即a×(g–f)+b×f尽可能小，取g–f=1，a和b取2和1，g=4，f=3，g–f=1，如图组成所示的图形，面积为7×8–2×1–1×4=50（平方米）。18．如图所示，有A、B、C、D四块大小一样的正方形纸片放在一个大正方形纸盒中，它们之间互相叠合，已知露在外面的部分中，A的面积是144平方厘米，B的面积是96平方厘米，D的面积是84平方厘米，那么C露出部分的面积是平方厘米。答案：46.25；解：首先向左移动正方形B，使它有两边与大正方形的边重合（如图1），此时正方形B与正方形D露出的部分相等，均为(96+84)÷2=90(平方厘米)，所以此时正方形C露出的部分为90×90÷144=56.25（平方厘米），再计算图2中，正方形B中E这一部分，H部分的面积是90–84=6（平方厘米），E、F两部分的和是90平方厘米，所以G、H两部分的和是144–90=54（平方厘米），所以E部分的面积是90÷(54÷6)=10（平方厘米），所以C露出的部分的面积是56.25–10=46.25（平方厘米）。19．桌面上放有四张大小不同的正方形纸片，边长分别为2米、3米、4米、5米，若分别取走边长为2米、3米、4米、5米的正方形纸片中的一个，则剩下的三