2021年四川省绵阳市冯河中学高三数学理期末试题含解析

2021年四川省绵阳市冯河中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故选C．2.已知函数f（x）=cos（2x+），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（

）A．B．C． D．参考答案：D【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，诱导公式，求得φ的值．【解答】解：已知函数f（x）=cos（2x+），将y=f（x）的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得y=cos（4x+）的图象，再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，可得y=cos（4x﹣4|φ|+）的图象．根据所得的图象关于原点对称，可得﹣4|φ|+=kπ+，k∈Z，令k=﹣1，可得φ的一个值是，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．?参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A={x|x≤1}，由B中y=ln（x+1），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，且其外接球的面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为（）A． B．2 C．4 D．3参考答案：A【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，利用外接球的表面积公式求出外接球的直径，即可求出该三棱柱的侧棱长．【解答】解：由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为=故选：A．【点评】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．5.已知函数，下列结论中错误的是（

）（A），（B）函数的图象是中心对称图形（C）若是的极小值点，则在区间单调递减（D）若是的极值点，则参考答案：C若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞,）单调递减是错误的，D正确。选C.6.函数y=的部分图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】判断奇偶性排除B，C，再利用特殊函数值判断即可得出答案．【解答】解：∵y=f（x）=，∴f（﹣x）===f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．∵f（2）=＞0，∴（2，f（2））在x轴上方，所以排除A，故选：D．【点评】本题考查了对数，指数函数的性质，奇函数的偶函数的图象性质，考查了学生对于函数图象的整体把握，属于中档题．7.展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若△的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的面积为，则

A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：B9.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为R，值域为；②函数的图像关于直线对称；③函数是偶函数；④函数在上是增函数.其中正确的命题的序号是

．参考答案：.①②③略10.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S三棱柱=2××2×1+2×2+2×2+2×2=6+8．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．参考答案：{x|﹣1＜x＜1}．考点： 交集及其运算．

专题： 计算题．分析： 通过求解一元二次不等式和绝对值的不等式化简集合A，B，然后直接利用交集运算求解．解答： 解：由x2+2x﹣3＜0得：﹣3＜x＜1．由|x﹣1|＜2得：﹣2＜x﹣1＜2，﹣1＜x＜3．所以A={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜1}∩{x|﹣1＜x＜3}={x|﹣1＜x＜1}．故答案为{x|﹣1＜x＜1}．点评： 本题考查了一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法，若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．考查了交集及其运算．是基础题．12.函数对于总有≥0成立，则的取值集合为

．参考答案：{4}13.设函数，其中是给定的正整数，且。如果不等式在区间上有解，则实数的取值范围是

。参考答案：略14.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为

.

参考答案：4略15.在二项式的展开式中，含的项的系数是

．参考答案：略16.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.参考答案：a=0或a=6将圆的方程转换成标准方程得,圆C的圆心为(-1,2),半径为3，如图所示，因为直线与圆C的交点A,B满足，所以为等腰直角三角形，则弦AB的长度为，且C到AB的距离为，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为,所以得，，所以a=0或a=6,

17.正方体中，异面直线与所成的角的大小为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．（1）求证：BE=DE；（2）若，，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，又∵CO⊥BD，AO⊥BD，∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，在正△ABCD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1），设二面角B﹣AE﹣D为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．19.（本题满分12分）已知向量,函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期;（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边,其中为锐角,,且,求和的面积．参考答案：解:（Ⅰ）……………3分………5分因为,所以………………7分20.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=21nx－ax+a（a∈R）．

（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜＜时，．参考答案：解：（Ⅰ）f￠(x)＝，x＞0．若a≤0，f￠(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增；若a＞0，当x∈(0，)时，f￠(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，f￠(x)＜0，f(x)单调递减． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上递增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．若a＞2，当x∈(，1)时，f(x)递减，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈(1，)时，f(x)递增，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．若a＝2，f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)≤f(1)＝0，合题意．故a＝2，且lnx≤x－1（当且仅当x＝1时取“＝”）． …8分当0＜x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2ln－2(x2－x1)＋2＜2(－1)－2(x2－x1)＋2＝2(－1)(x2－x1)，所以＜2(－1)． …12分21.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，－cosA)，且m⊥n．（1）求角A；（2）若b＋c＝a，求sin(B＋)的值．参考答案：解：（1）因为m⊥n，所以m·n＝0，即sinA－cosA＝0．………2分所以sinA＝cosA，得tanA＝．…………4分又因为0＜A＜π，所以A＝．………………6分（2）（解法1）因为b＋c＝a，由正弦定理得sinB＋sinC＝sinA＝．………………8分因为B＋C＝，所以sinB＋sin(－B)＝．………………10分化简得sinB＋cosB＝，…………………12分从而sinB＋cosB＝，即sin(B＋)＝．……………14分（解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA，即