非线性方程的一类半隐式方法

非线性方程的一类半隐式方法<摘要及关键词请参见原文中文〉正文：1引言众所周知，求在空间R中可微的函数方程#「的单根用牛顿法及其他一些显式方法［1-2］求得近似根是很好的选择，且其二次收敛于根。但是当处理一些困难问题时，显式方法是不稳定的［3-4］。本文的目的就是发展引入一种稳定的p阶收敛的迭代法，误差己二'一L满足如下误差方程，E二牌+⑴E <•-〔,），K为在的导数的函数。此方法基于A-稳定Rosebrock方法用于求解常微分方程刚性问题，同样适用于求解非线性方程组。本方也给出了此方法的收敛阶数分析，通过对几个困难问题的数值分析表明此新方法优于牛顿法、光滑及阻尼法。2半隐式方法当迭代过程逼近单根时我们可以得到收敛阶数。所以我们假设*"在区间［a，b］有单根•'、，对任意m‘\，均不等于0且有任意高阶的导数。假设已得到k次近似值4，那么考虑如下牛顿微分方程,工70=- 玖 r°0J=我们很容易验证等式（1）的解」门存在，’」J二•、即为要寻求的根。如果我们用Euler方法去解式（1），步长为1，那么可得xt._|=Xt-f）/f（ （2）这就是著名的牛顿法。本文中，我们考虑对式（1）采用A-稳定Roseenbrock半隐式方法[6]以获得一种新的半隐式迭代法以求解非线性方程。求解如下自治系统4V="以x（0）=的Roseenbrock方法为r $用I二暮+£冲K*i=IK]=h[g（\）+1&=h[g（^+%E+b.J（xk+在这里，h为步长，方法（4）对常微分系统来说也是稳定的，那么Jacobian矩阵，二』*。设方法（4）解式（1）：设步长k=1，从•'・我们可以得到作为下一个逼近根，的近似值，即为五+1二五+£说6r=IK]=f（耳）"'（2]-W2/门p]K&'虬=f一冲）/ff临+Ki）]—垣[—其），为.+%K[）]Ki, 『5JK=[-耳+膈日]-b[）/f\Xl+电诚]K,r=I r=Ik—Q1…作为特例，通过2级4阶和2级3阶平行Roseenbrock方法，我们可得k=01…"件fk=01…f气+与1K［仃3））"入尹（”《3）竭I=x-(L41315432匕+1.41315432K,K_ S1f12 [=~[/(^)]2-1-408248 (7) EfL+0・17378667KQ —[f"+0.17378667K|尸—0.59175171#侦有&+。・17378667岛「一''…方法（6）和（7）也适用于求解非线性方程这里R，那么方法（6）和（7）即为'尸二X+K*K,=-Ff(x厂F以)+与也g«K，虬二―广F(x-)+2^Gf(x)K2、&二QL…广'=X-0.41315432%+1.41315432&K,=-xx)+1.扣82482G1(x)KhTOC\o"1-5"\h\zK2=-Fr(x+0.17378667K})~]F(x)+0.59175171g7x+0.17378667^)^ ""k=01…其中".二-"《 ""3收敛阶数辅助定理1对于方程（1）的解•」门和V我们有霓"二球 /=12■■> （11）（E=43喝 壮12•「 H2j其中」和「为,F及其导数的函数。用直接微分可以很容易证明辅助定理1，故在此省略。为了获取方法（5）的收敛阶数，考虑Roseenbrock方法的局部截断误差，根据方法（4），显然地有，二加/1一hhigf在）/I灯x）-品Et+伯匚；E：+…+h'l；1E：+…，其中、l<二加c'_ri二23…因为W〔，我们假设K：=/tl'iEt+hl\E]+…+/fl'；E：+…$ f14J那么我们将得到K-]=hc\~1 + 1E：+…+h'c~1E'+…通过推论的假设，我们假定xl+〉: |；K；—冲+/iE|Et+/iE>2%+…+/iE；Et+■--—茏+A(/iqj其中又假定x+〉:i】j_lmK：=x+”F]孩+九F?q+…+hF；El+…—x+BfItEtJF=I其中Fj二£I】J-L&Kj_|=hD\~'+"D；1+…+仆丁+…那么通过方法（4），我们可以得到hD\~'+W1+...+ItD'~1+-=hg(\+A(^))+hbl+ B(k))x(hD1^1+h2D;1+■■-+J?D-+14-■-)〜 ,舌(hel)„ ”=h顷耳)+a(hl成(耳}+ vr而J+…,+加妃|#r岌j+brhe,瓜r&j+(16)有*W"E+…}X〃归「'+讨D；1+…+hjD'~1+...).(16)通过（16）,显然地有D?I二对族)+41(xJEt,及「’二二f，…，1）I在这里「为一线性函数。运用辅助定理1，«■'、" 「的表达式及系统（3），通过推导我们可以得到D\-1=c；1由此有K」]二”匚尸％+九"；1E?+…+h'c~1松+…通过数学推导，我们得出所有K■均有如式（14）的形式。将式（14）中的"代入方法（4），我们可得_|=X+J-f|hEl+H]hEg+…+H山El+…一其中Hj二£再己F=I最后，运用辅助定理1，「,二¥•■可以展开为x=x(1)=x(0+h)=xfO)+hx(0)x(0)4-■.■+*(’，())+…(18)=x+B|(0)h松+刁0f0jh"以+■■-+~rB/0)h&+…设L'二I,如果Rosenbrock方法在考虑本地截断误差的情况下为N阶收敛，根据（17）和（18）我们可得H9J疽“瓦」'一（N+顷Bj⑼其中昌为昌在的值。H9J通过上面的讨论，我们可以得到定理2在考虑本地截断误差的情况下，如果Rosenbrock半隐式方法（4）为N阶收敛，那么迭代方法（5）解决非线性方程的收敛阶数为N+1。特别地，方法（6）和（7）分别为3阶和4阶收敛。4数值试验方法（5）的主要优点为稳定性。而牛顿法（2）是由步长为1的Euler方法衍生而来，在解决困难的非线性问题受稳定性所限制，其步长可能太大导致牛顿法的不稳定。例1E*x）=e-1-cos^ix=0 （20J方程（20）在区间EU有一单根•-・，4=。、5X2（*7淡31［一'.。牛顿法从、「二-己及E收敛于•'・，误差"［。’.，需要用16和17次迭代以获得精度|-工」＜1。-”.。但是此方法会因初值的轻微扰动而发散，比如说m=Q1。相对于牛顿法，方法（6）（7）无论初始值为何均收敛，分别地，对应于上面提到的初始值，其需要的迭代次数仅为5和4。例2囹方程（21）以‘二'•L为初始逼近求解，精度为"-”玄in，解为IUII。牛顿法并不收敛于却收敛于二，-L】。阻尼牛顿法及最成功的A-稳定法匚已'分别需要107次迭代及321次方程估算和17次迭代及36次方程估算。而用方法（9）和（10）求解本方程仅分别需要5和4次迭代，且收敛于Ffx）二Xi+3:r：+0,fix,+L8一专一3.64Ffx）二yJ+Or5x?+2耳 一0.3耳一LIx?-Or73?m;的二二:二二:二二敛:1[.5506X-。.7羊和、为解决此问题，Tewarson[7