(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结§14.导数学问要点

1.导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy=定义域的一点，假如自变量x在0x处有增量x?，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy-?+=?；比值x

xfxxfxy?-?+=

??)

()(00称为函数)(xfy=在点0x到xx?+0之间的平均变化率；假如极限xxfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim

0000存在，则称函数)(xfy=在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy=在0x处的导数，

记作)(0'xf或0|'xxy=，即)(0'xf=x

xfxxfxy

xx?-?+=??→?→?)()(lim

lim0000.注：①x?是增量，我们也称为“转变量”，由于x?可正，可负，但不为零.

②以知函数)(xfy=定义域为A，)('xfy=的定义域为B，则A与B关系为BA?.2.函数)(xfy=在点0x处延续与点0x处可导的关系：

⑴函数)(xfy=在点0x处延续是)(xfy=在点0x处可导的须要不充分条件.可以证实，假如)(xfy=在点0x处可导，那么)(xfy=点0x处延续.事实上，令xxx?+=0，则0xx→相当于0→?x.

于是)]

()()([lim)(lim)(lim0000

00

xfxfxxfxxfxfxxxx+-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(limlim)

()(lim)]()()([

lim000'0000000000xfxfxfxfx

xfxxfxfxxxfxxfxxxx=+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵假如)(xfy=点0x处延续，那么)(xfy=在点0x处可导，是不成立的.例：||)(xxf=在点00=x处延续，但在点00=x处不行导，由于x

xxy??=

??|

|，当x?＞0时，1=??x

y；当x?＜0时，

1-=??xy，故xy

x??→?0lim不存在.注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：

函数)(xfy=在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy=在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy=在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为

).)((0'0xxxfyy-=-

4.求导数的四则运算法则：

''')(vuvu±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn+++=?+++=?

''''''')()(cvcvvccvuvvuuv=+=?+=（c为常数）

)0(2'''

≠-=

??

?

??vvuvvuvu注：①vu,必需是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不行导，则它们的和、差、

积、商不一定不行导.

例如：设xxxf2sin2)(+=，x

xxg2

cos)(-=，则)(),(xgxf在0=x处均不行导，但它们和

=+)()(xgxf

xxcossin+在0=x处均可导.

5.复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx??=或xuxuyy'''?=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定办法：设函数)(xfy=在某个区间内可导，假如)('xf＞0，则)(xfy=为增函数；假如)('xf＜0，则)(xfy=为减函数.⑵常数的判定办法；

假如函数)(xfy=在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy=为常数.

注：①0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是须要条件，如32xy=在),(+∞-∞上并不是都有

0)(xf，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样0)(xf是f（x）递减的充分非须要条

件.

②普通地，假如f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上照旧是单调增强（或单调削减）的.7.极值的判别办法：（极值是在0x附近全部的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，微小值同理）

当函数)(xf在点0x处延续时，

①假如在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；②假如在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是微小值.

也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①

.此外，函数不

可导的点也可能是函数的极值点②

.固然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比微小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x是极值点的须要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(xxfy==，0=x使)('xf=0，但0=x不是极值点.

②例如：函数||)(xxfy==，在点0=x处不行导，但点0=x是函数的微小值点.

8.极值与最值的区分：极值是在局部对函数值举行比较，最值是在整体区间上对函数值举行比较.

注：函数的极值点一定故意义.9.几种常见的函数导数：

I.0'=C（C为常数）xxcos)(sin'

=2

'

11)(arcsinx

x-=

1')(-=nnnxx（Rn∈）xxsin)(cos'-=2

'11)(arccosx

x--

=

II.xx1)(ln'=

exxaalog1

)(log'=1

1)(arctan2'+=xxxxee=')(aaaxxln)('=1

1)cot(2'+-

=xxarc

III.求导的常见办法：

①常用结论：x

x1|)|(ln'=

.②形如))...()((21naxaxaxy=或)

)...()(()

)...()((2121nnbxbxbxaxaxaxy=两边同取自然对数，可转化

求代数和形式.

③无理函数或形如xxy=这类函数，如xxy=取自然对数之后可变形为xxylnln=，对两边

求导可得xxxxxyyxyyx

xxyy+=?+=??+=lnln1

ln'''.

导数学问点总结复习

经典例题剖析考点一：求导公式。例1.()fx'是3

1()213

fxxx=

++的导函数，则(1)f'-的值是。考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数()yfx=的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是1

22

yx=

+，则(1)(1)ff'+=。

例3.曲线3

2

242yxxx=--+在点(13)-，处的切线方程是。点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：xxxy232

3

+-=，直线kxyl=:，且直线l与曲线C相切于点

()00,yx00≠x，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注重“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是须要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知()132

3

+-+=xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6.设函数32

()2338fxxaxbxc=+++在1x=及2x=时取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于随意的[03]x∈，，都有2

()fxc<成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()xf的极值步骤：①求导数()xf'；

②求()0'=xf的根；③将()0'=xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由()xf'在各区间上取值的正负可确定并求出函数()xf的极值。考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，()()

()axxxf--=42

。求导数()xf'；（2）若()01'=-f，求()

xf在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()xf在区间[]ba,上的最值，要先求出函数()xf在区间()ba,上的极值，然后与()af和()bf举行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数3