2023山东高考理科数学试卷及答案

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 本试卷分第一卷和第二卷两局部，共4页．总分值150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回．考前须知： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.第一卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效． 3.第二卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的〔1〕假设复数满足，其中为虚数为单位，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】设，那么，所以，应选〔B〕〔2〕集合，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由题意，所以，应选〔C〕〔3〕某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔A〕56 〔B〕60 〔C〕120 〔D〕140自习时间/小时自习时间/小时频率/组距0.020.040.080.100.16o17.522.5202527.530【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是人，应选D．〔4〕假设变量满足，那么的最大值是〔A〕4 〔B〕9 〔C〕10 〔D〕12111【解析】由是点到原点距离的平方，111故只需求出三直线的交点，所以是最优解，的最大值是10，应选C〔5〕有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，那么该几何体的体积为〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由三视图可知,半球的体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为，应选C．〔6〕直线分别在两个不同的平面内，那么“直线和直线相交〞是“平面和平面相交〞的〔A〕充分不必要条件 〔B〕必要不充分条件 〔C〕充要条件 〔D〕既不充分也不必要条件【解析】由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交．又如果平面和平面相交，直线和直线不一定相交．应选A．〔7〕函数的最小正周期是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【解析】由所以，最小正周期是，应选B〔8〕非零向量满足，假设那么实数的值为〔A〕4 〔B〕—4 〔C〕 〔D〕—【解析】因为，由，有，即，所以—4，应选B〔9〕函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，那么〔A〕—2 〔B〕—1 〔C〕0 〔D〕2【解析】由，知当时，的周期为1，所以．又当时，，所以．于是．应选D．〔10〕假设函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,那么称具有性质．以下函数具有性质的是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【解析】因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有性质．应选A．第二卷〔共100分〕开始结束开始结束输入a，b输出ii=1i=i+1a=a+i,b=b-ia>b是否〔11〕执行右边的程序框图，假设输入的的值分别为0和9，那么输出的值为【解析】时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，不成立；时，执行循环体后，成立；所以，故填3.〔12〕假设的展开式中的系数是，那么实数【解析】由，得，所以应填．〔13〕双曲线，假设矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，那么的离心率为【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，在由得的离心率为，应填2.〔14〕在上随机的取一个数，那么事件“直线与圆相交〞发生的概率为【解析】首先的取值空间的长度为2，由直线与圆相交，得事件发生时的取值空间为，其长度为，所以所求概率为，应填．〔15〕在函数，其中，假设存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，那么的取值范围是【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．三、解答题：本答题共6小题，共75分．〔16〕〔本小题总分值12分〕在中，角的对边分别为，(Ⅰ)证明：；〔Ⅱ〕求的最小值．【解析】(Ⅰ)由得，所以，由正弦定理，得．〔Ⅱ〕由．所以的最小值为．〔17〕〔本小题总分值12分〕在如下图的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线．(Ⅰ)分别为的中点，求证：平面；(Ⅱ)，求二面角的余弦值．【解析】(Ⅰ)连结，取的中点，连结，因为，在上底面内，不在上底面内，EFBACGH所以上底面，所以EFBACGH又因为，平面，平面，所以平面；所以平面平面，EFBACO，OxyEFBACO，Oxyz(Ⅱ)连结，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系．，，于是有，，，，可得平面中的向量，,于是得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设二面角为，那么．二面角的余弦值为．〔18〕〔本小题总分值12分〕数列的前项和，是等差数列，且．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)令．求数列的前项和．【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，所以，当时，，又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，那么．当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．(Ⅱ)由，于是，两边同乘以２，得，两式相减，得．〔19〕〔本小题总分值12分〕甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队〞得3分；如果只有一人猜对，那么“星队〞得1分；如果两人都没猜对，那么“星队〞得0分．甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队〞参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队〞至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队〞两轮得分之和的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)“至少猜对3个成语〞包括“恰好猜对3个成语〞和“猜对4个成语〞．设“至少猜对3个成语〞为事件；“恰好猜对3个成语〞和“猜对4个成语〞分别为事件，那么；．所以．(Ⅱ)“星队〞两轮得分之和的所有可能取值为0,1,2,3,4,6于是；；；；；；的分布列为：012346的数学期望．〔20〕〔本小题总分值13分〕(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)当时，证明对于任意的成立．【解析】(Ⅰ)求导数当时，，，单调递增，，，单调递减；当时，当时，，或，，单调递增，，，单调递减；(2)当时，，，，单调递增，(3)当时，，或，，单调递增，，，单调递减；(Ⅱ)当时，，于是，，令，，，于是，，的最小值为；又设，，因为，，所以必有，使得，且时，，单调递增；时，，单调递减；又，，所以的最小值为．所以．即对于任意的成立．〔21〕〔本小题总分值14分〕平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．〔i〕求证：点在定直线上；〔ii〕直线与轴交于点,记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．【解析】(Ⅰ)由离心率是，有，又抛物线的焦点坐标为，所以，于