台球中的碰撞分析

台球中的碰撞分析第一页，共十页，编辑于2023年，星期二本文不过多考虑碰撞前后的运动细节。只考虑碰撞的两球的速度变化以及此后的大致运动状况。

ABV如图所示，球A具有速度v，角速度w，而球B静止的位于台面上。球A正向球B运动过去。下面将就角速度w的大小和方向来讨论两球相撞后的运动状况。W第二页，共十页，编辑于2023年，星期二1.角速度w=0此时，两个台球碰撞时可分为正碰和斜碰两种，如图1和图2所示：图1图2vva,.正碰很简单，球A与球B相互交换速度，即球A静止，而球B以速度v向前运动ABABvAB第三页，共十页，编辑于2023年，星期二AABBVvBvA其中，vB为沿球A与球B的圆心连线方向vA与vB垂直，并且它们的合向量就是球A的初速度v。b.球A与球B发生斜碰时，在碰撞的瞬间，若忽略两球间的摩擦力，则两球只在球心连线方向上用作用力，由于两球的碰撞近似于弹性碰撞，所以碰后球的运动将如下图所示:vBvAV第四页，共十页，编辑于2023年，星期二2.角速度w不为零，且方向为从里向外。vWABa.先来看两球发生正碰时的情况碰撞后的瞬间，球B获得了速度v,而球A相对于台面，已没有了初速度v,只剩下转动的角速度w。此后，对于球A,由于受到球与台面间的摩擦力的作用，将向后加速，并且由牛顿定律，和角动量定理，可列出如下方程：vWAB第五页，共十页，编辑于2023年，星期二mdv=-f；Idw=-fr；即0.4mrdw=-f;所以：mv+0.4mwr是个守恒量；由纯滚动时：v=wr得：v=2/7wr：就是说，若球A没碰到什么阻碍，它将最终达到一个速度v,且v略小于2/7wr，此时球A将作纯滚动，并在滚动摩擦力矩的作用下渐渐停止。对于球B,也类似，只不过它的最终速度为v=5/7v0,即若球B没碰到什么阻碍，它将最终达到速度v,且v略小于5/7v0，此时球B将作纯滚动，并在滚动摩擦力矩的作用下渐渐停止。V1=5/7vABvA=2/7wr第六页，共十页，编辑于2023年，星期二b.当两球发生斜碰时，情况基本与正碰相仿，只是此时球A还具有一个初速度va。这时球受到两个摩擦分力的作用f1和f2在f1作用下，球A将具有一个向后的速度在f2的作用下，球A的角速度w将改变一个方向所以球A的运动轨迹将向后偏离，如下图所示：AvBv0vaA球B的运动与正碰中相似。vaf1f2va1第七页，共十页，编辑于2023年，星期二2.角速度w不为零，且方向为从外向里。vWABa.若两球发生正碰碰撞后的瞬间，球B获得了速度v,而球A相对于台面，只有转动的角速度w。由前面的计算，球A将加速向前运动，并且最终速度将略小于v=2/7wr所以，若Va=2/5wr比V1大了较多(即2wr>>5v0)，那么若球B没有受阻碍，或没有进洞，球A追上球B并与之再次碰撞。v1=5/7v0WABva=2/7wr第八页，共十页，编辑于2023年，星期二若Va=2/5wr并不比V1大了较多,那么球A只是会向球B运动，但不会与球B相碰。b.若两球发生斜碰此时的情况与前面相似。球B获得初速度后将向前运动。即若没碰到什么阻碍，它将最终达到速度v,且v略小于5/7v0，然后球B将作纯滚动，并在滚动摩擦力矩的作用下渐渐停止。

球A在碰后的瞬间也是既有角速度，又有初速度，且两速度在水平面上并不垂直，在摩擦力的作用下，球A将沿一曲线运动，如下所示：AvBv0vaAva1第九页，共十页，编辑于2