整体刚度矩阵-结构力学课件

第十三

章矩阵位移法§13-1概述一、结构矩阵分析方法要点结构矩阵分析方法是电子计算机计算技术进入结构分析领域后，产生的一种结构计算方法。结构矩阵分析方法与传统的结构分析方法原理上完全一致。但由于计算工具不同，作法上有所差异。传统人工手算：速度低，精度差。忌繁重的计算工作量。电子计算机计算：速度快，精度高。忌无规律可循。学习结构矩阵分析，先修课为：1、结构力学（理论基础）2、线性代数矩阵运算（建模工具）3、电算语言（机算方法）矩阵分析方法的理论基础是传统结构力学，说明结构矩阵方法与传统结构力学同源。由于形成的年代和条件不同，引来了方法上的差异。因此，学习中我们应该注意，两种方法的共同点和结构矩阵方法新的着眼点（矩阵符号的运用、坐标的引入、未知量的判断与单元类型的关系、刚度集成的概念等）。矩阵运算用简洁的符号代替传统的运算表达式，公式单一、紧凑、统一，便于计算机计算程序的自动化运算。

结构矩阵分析方法又称为：杆件有限单元法；计算结构力学。包括：矩阵力法（柔度法）：以力法为基础。矩阵位移法（刚度法）：以位移法为基础。矩阵混合法，以混合法为基础。矩阵位移法方法要点：（1）离散化（单元分析）：先把结构整体拆开，分成若干有限数目的单元体，进行单元分析。找出单元杆端力与杆端位移的关系，建立单元刚度方程。（2）集合（整体分析）：利用静力平衡条件和变形协调条件，将各离散单元在结点上相互连接起来。使结点上的受力变形情况与原结构完全相同，进行整体分析。建立整体刚度方程。计算过程示意：由于位移法有其自身的优点，易于实现计算过程的规格化和程序化，目前在工程界应用广泛。故在此只介绍矩阵位移法。矩阵位移法与传统位移法力学概念完全一致。其中：基本未知量：结构的独立结点位移。基本体系：加上人为约束的动定结构。基本方程：根据结点（或截面）平衡条件和变形协调条件建立的刚度方程。二、需讨论的问题：1、单元分析：在矩阵位移法中取何种单元，并找出各单元的杆端位移和杆端力之间的关系。2、整体分析：如何由单元分析直接集成整体分析。3、建立结构的刚度方程，求解并找出各杆端内力。§13-2单元刚度矩阵（局部坐标系）单元分析的主要任务：研究单元杆端位移与杆端力之间的关系。推导方法：根据变形与力之间的物理关系，采用矩阵形式。一、单元的划分杆系结构中，任何相邻两个结点之间的杆段都是一个杆件单元，一般采用等截面直杆单元。结点：

构造结点：杆件折转点，交汇点，支承点，自由端，截面突变处等。非构造结点：集中荷载作用点；曲线杆件计算时，可将一个曲杆视为由许多折杆组成，其人为设定折点处。二、局部坐标系（单元坐标系、杆件坐标系）根据单元分析（杆件）与整体（结构）分析的不同需要，采用两种直角坐标系。局部坐标系以杆轴为x轴，“1”为始端，“2”为终端。1

2为正方向。局部坐标系下所有量值的正负号规定：杆端位移和杆端力分量与局部坐标方向一致为正。xyEA,EI,l

e12xyEA,EI,l

e12xyEA,EI,l

e12xy12EA,EIl

eu1v1θ1u2v2θ2Fx1Fy1M1Fx2Fy1M2用{F}e代表单元的杆端力列向量:

e用{Δ}e代表单元的杆端位移列向量:

e(13-1）三、局部坐标中等截面直杆单元的单元刚度方程

1、推导过程如位移法，注意几点：①重新规定正负号；②采用矩阵形式。等截面直杆单元，在变形过程中，忽略弯曲变形和轴向变形之间的相互影响。因此，在左右两端各有三个独立的位移分量（两个线位移，一个角位移）。杆件共有六个杆端位移分量，相应的有六个杆端力分量。

单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程——记为“Δ→F

”方程。x12

eu1v1θ1u2v2θ2Fx1Fy1M1Fx2Fy1M2（１）轴向位移与轴向力EA

e12lu1eu2e1’2’Fex1Fex212EAl1’1ke=EA/l11ke=-EA/l2112EAl12’ke=EA/l22ke=-EA/l12Fe=x2EAl-ue1ue2ue2Fe=x1EAlue1(13-2)（

）（

）（2）横向位移、转角位移与杆端力12EIl36EIl2v1e=1-12EIl36EIl2θ1e=14EIl2EIl6EIl2-6EIl2v2e=112EIl3-12EIl3-6EIl2-6EIl24EIl2EIl-6EIl26EIl2

e

e

e

eθ2e=1θ

e1Fe=y112EIl3ve+16EIl2θ

e212EIl3ve+26EIl2θ

e1Me=16EIl2ve+14EIlθ

e26EIl2ve+22EIl

θ

e+1Fe=y212EIl3ve16EIl2θ

e212EIl3ve26EIl2θ

e1Me=26EIl2ve+12EIlθ

e26EIl2ve+24EIl(13-3)由此可得：ue2Fe=x1EAlue1（

）Fe=x2EAl+ue1ue2（

）θ

e1Fe=y112EIl3ve+16EIl2θ

e212EIl3ve+26EIl2θ

e1Me=16EIl2ve+14EIlθ

e26EIl2ve+22EIl

θ

e+1Fe=y212EIl3ve16EIl2θ

e212EIl3ve26EIl2θ

e1Me=26EIl2ve+12EIlθ

e26EIl2ve+24EIl（13-4）令：式（13-4）可简写为:

{F}e=[k]e{Δ}e(13-5)称为一般杆单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、单元刚度矩阵的性质（1）杆端位移一律用绝对位移。即：除杆端相对位移外，还包含有刚体位移。（请比较位移法）

（2）单元刚度矩阵中，各单元刚度系数的物理意义：

ke(i)(j)—第j个杆端位移分量Δ

e(j)=1时，（其它位移分量为零）所引起的第i个杆端力分量Fe(i)的值。j列的六个元素分别表示当某个杆端位移分量等于1时，所引起的六个杆端力分量。

（3）、是对称矩阵。各个元素在主对角线两侧是对称分布的。由反力互等定理可知，单元刚度矩阵是对称矩阵。（4）、一般(自由)单元的单刚[k]e6×6是奇异矩阵。即：[k]e6×6=0

[k]e6×6不存在逆矩阵。

注意：根据单元刚度矩阵，可由{Δ}e求出{F}e

，且解是唯一的。但不可由{F}e求{Δ}e

，其结果可能无解或非唯一解。这是正反两个问题，不可混淆。

解释：一般单元的单元刚度矩阵之所以为奇异矩阵，是因为计算的单元是两端无任何支承的自由单元。单元本身除弹性变形外，还有任意的刚体位移。{F}e完全一样，但{Δ}e可以不同。对应于一个平衡力系，可以有多种杆端位移情况。（5）单元刚度矩阵可以分块以平面刚架单元为例，单元ij

两端点i、j的位移分量和力的分量可表示为：{Δ1}e=φ

e1ue1ve1{Δ2}e=φ

e2ue2ve2{F1}e=M

e1Fex1Fey1{F2}e=M

e2Fex2Fey2则（13-5）式可写为：Fe1Fe2=ke11ke12ke21ke22δ

e1δe2式中称为单元刚度矩阵的子块，或简称为子矩阵。[k]

eij5、特殊单元（包括某些支承的单元）一般来说，特殊单元的单元刚度矩阵无需另行推导，只需对一般单元的单元刚度（矩阵）方程，做一些特殊处理，便可自动得到。

（1）梁单元：只考虑杆件的弯曲变形，忽略其轴向变形。

v1、θ1、v2、θ2为任意指定值；

u1=u2=0。（注：u1=u2=0

在此是指1、2两点无相对轴向变形）梁单元的刚度方程－(2)拉压杆（桁架）单元（3）连续梁单元的刚度方程杆端横向位移已知为零，忽略轴向变形。为任意指定值，θ1、θ2u1=u2=0，v1=v2=0。注：②、还有多种特殊单元的单元刚度矩阵。在此不一一列举。用矩阵位移法分析结构时，着重应注意计算过程的程序化，标准化。因此，一般情况下，单元计算分析只采用一种标准化形式——一般单元的单元刚度矩阵[k]e6×6。①、某些特殊单元的单元刚度矩阵是可逆的，如连梁单元的单元刚度矩阵[k]e2×2。是否存在，关键取决于力学模型。§13-3单元刚度矩阵(整体坐标系)在实际结构中，杆件的杆轴方向不尽相同。用局部坐标表示的单元刚度矩阵，整体分析时不方便。为进行整体分析，必须建立一个统一的公用坐标系，称为整体坐标系。也称结构坐标系、公共坐标系。用x—y表示，从x到y顺时针为正，坐标原点任取。注意：这里α——由x轴到轴的夹角，顺时针为正。x为了进行整体分析，需将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵[k]e6×6。求[k]e6×6的方法：①、直接按定义求。②、通过坐标转换，由[k]e6×6找出[k]e6×6。①②③④x②x①x③x④OyxyxO12eαyxO12eα一、单元坐标转换矩阵(13-6)写成矩阵形式：(13-7)或简写成：(13-8)式中[

T]称为单元坐标转换矩阵(13-9)可以证明:

[

T]

是正交矩阵，有：[

T]-1=[T]T(13-10)

或[T][T]T=[T]T[T]

=[I](13-11)

正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵。式（13-8）的逆转换式为：{F}e=[T]T

{F}e（13-12）同理可得出单元杆端位移在两种坐标系中的转换关系。

{Δ}e=[T]{Δ}{Δ}e=[T]T{Δ}{Δ}e——整体坐标系中单元杆端位移列阵。{Δ}e——局部坐标系中单元杆端位移列阵。二、整体坐标系中的单元刚度矩阵

{F}e=[k]e

{Δ}e

（13-13）将{F}e=[T]e{F}e,

{Δ}e=[T]e{Δ}e已知：{F}e=[k]e{Δ}e

代入，得：[T]e{F}e=[k]e[T]e{Δ}e

上式前乘[T]T

[T]T[T]e{F}e=[T]T[k]e[T]e{Δ}e

{F}e=[T]T[k]e[T]e{δ}e

因此：[k]e=[T]T[k]e[T]e(13-14)单元刚度矩阵[k]e的性质：（1）理解单元刚度矩阵中各元素keij的物理意义。表示在整体坐标系中第j个杆端位移分量等于1时引起的第i个杆端力分量。（2）[k]e是对称矩阵。keij

=keji

（3）keij是E、A、I、L、α的函数，α本身有正负。（4）一般单元的单元刚度矩阵[k]e是奇异矩阵。例：求图示刚架中各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，设各杆截面尺寸相同。

E=3×107kN/m2，A=b×h=0.5×1.0=0.5m2，I=b×h3/12=0.5×1.03/12=1/24m4。①②③xy（1）、局部坐标系中的单元刚度矩阵：单元①：

l=4m,EA/l=3750×103kN/m,EI/l=312.5×103kN·m,

单元②：l=3m,EA/l=5000×103kN/m,EI/l=416.7×103kN·m.单元③：

l=5m,EA/l=3000×103kN/m,EI/l=250×103kN·m.(2)整体坐标系中的单元刚度矩阵：单元①：α=0o,[T]

=[I],[k]=[k]

。单元②:α=90o,

[k]

=[T]T[k]

[T]

111222①②③xyα=90o的单元的单元刚度矩阵：单元③：α为负，其中：

sinα=-3/5=-0.6

cos

α=4/5=0.8①②③xy§13-4连续梁的整体刚度矩阵矩阵位移法是在单元分析的基础上,利用平衡条件和变形协调条件建立结构刚度方程。同时，也就得出了结构的刚度矩阵。下面以连续梁为例，研究结构整体刚度矩阵的形成规律。以找出直接形成结构刚度矩阵的方法。

建立整体刚度矩阵（方程）的作法一般有两种：

一、传统位移法；二、单元集成法。（也称刚度集成法，直接刚度法）整体刚度矩阵（方程）[K]{Δ

}={F}一、传统作法分别考虑每个结点位移单独发生，在各人为约束上产生的结点力，叠加后得到各单元刚度方程（矩阵）。以下图为例，结点位移：{⊿}=[⊿1⊿2⊿3

]T

结点力：{

F}=[F1F2F3

]T

12i1i2Δ121i1i2Δ3Δ2Δ121i1i2Δ221i1i2Δ321i1i2基本体系Δ1引起Δ2引起Δ3引起叠加以上三种情况，得整体刚度方程：{F}=[K]{⊿}其中：[K]——整体刚度矩阵。它表示了结构的结点位移和结点力之间的转换关系。二、单元集成法的力学模型及概念单元集成法：分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，然后叠加。以下图为例，力学模型：（1）首先考虑单元①的贡献。略去其它单元的贡献，令i2=0，此时单元②的刚度为零。即：单元②虽有变形，但不产生结点力。整个结构的结点力均由单元①单独贡献。

{F}1=[F11F21F31]T表示单元①对结构结点力{F}的贡献。（注意此时三个转角同时发生）故得：Δ121i1i2=0Δ3Δ2由于i2=0，所以F31=0。F11,

F21可由单元①的单刚[k]1算出。单元①的贡献{F}1=[K]1{⊿}其中：[K]1——单元①对整体刚度矩阵的贡献。称为单元①的贡献矩阵。

考虑单元②的贡献。略去其它单元的贡献，令i1=0，此时单元①的刚度为零。F12=0。F22,

F32可由单元②的单刚[

k]2算出。故:Δ2Δ121i2i1=0Δ3F12F22F32记为:{F}2=[K]2{⊿}其中:[K]2——单元②对整体刚度矩阵的贡献。称为单元②的贡献矩阵。[K]1

和[K]2为同阶矩阵。[K]e由[k]e的元素及零元素组成。将上两式叠加：{F}={F}1+{F}2=（[K]1+[K]2）{⊿}可见：[K]=[K]1+[K]2=∑[K]e（13-34）

结构整体刚度矩阵（总刚）为各单元贡献矩阵之和。单元集成法步骤：

[k]e分别

[K]e叠加[

K]

用上述方法，第一步由[k]e求[

K]e，第二步由[K]e叠加求[K]。三、按照单元定位向量由[k]e直接求[K]（1）结点位移（或结点力）的两种编码。总码：整体分析中，结点位移分量在结构中的统一编码。局部码：单元分析中，每个单元两个结点位移的各自编码。数字上加括号。21i1i23121i12i2（2）（1）（2）（1）（2）单元位移分量两种编码之间的关系。单元定位向量{λ}e—单元换码向量。指由单元的结点位移总码组成的向量。单元①：（1）总码局部码

（2）（1）

→

1（2）

→

2{λ}1

=12（1）（2）（1）

→

2（2）

→

3{λ}2

=23单元②：（3）单元[k]e在[K]e中的排列方式单元刚度矩阵[k]e中，元素按局部码排列。单元贡献矩阵[K]e中，元素按总码“对号入座”。

ke(i)(j)在整体刚度矩阵中的位置

ke(i)(j)在单元刚度矩阵中在单元贡献矩阵中换码元素的原行码（i）换成新行码λi

原列码（j）新列码λj重排座原排在（i）行改排在λi行λj列（j）列的元素

ke(i)(j)→eKλiλj四、单元集成法的实施方案（1）[K]置零[K]3×3=12312300000000021i1i2312（2）[

k]1在[K]中按{λ}1定位，并进行累加。这时[

K]=[K]1。4i12i12i14i1[k]1=整体局部（1）（2）（1）（2）1212阶段结果4i12i102i1

4i1

0000（3）[

k]2在[K]中按{λ}2定位，并进行累加。这时[

K]=[K]1+[K]2。4i22i22i24i2[k]2=整体局部（1）（2）（1）（2）2323最终结果4i12i12i14i1+004i22i22i24i2123123故：[K]=∑[K]e

对号入座，同号叠加。例：求图示连续梁的总刚度矩阵[K]1230①②③i1i2i31230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0解：1、结点位移分量总码，分别编为1，2，3。注：固定端的结点位移为零，凡是已知的结点位移分量，其总码编为零。为了使所有单元均为连续梁单元，1点的转角位移作为基本未知量。2、写出各单元的单元定位向量。{λ}1=121230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0{λ}2=23{λ}3=303、单元集成过程。[k]e

→

[K]4i12i12i14i1[k]1=整体局部（1）（2）（1）（2）12124i12i12i14i1[k]1=121

24i22i22i24i2[k]2=232

34i32i32i34i3[k]3=303

0[K]=

1231234i12i12i14i12i24i2+4i22i2+4i3001230①②③i1i2i3Δ1Δ2Δ3Δ0五、整体（总）刚度矩阵的性质

（1）整体刚度矩阵中刚度系数的意义

Kij—第j个结点位移分量⊿j=1（其它结点位移分量为零）时，所产生的第i个结点力Fi。（2）[K]是对称正定矩阵。对称性：由反力互等定理

Kij

=Kji

正定性：考虑结构边界条件的结构总刚度矩阵是正定矩阵。

由矩阵理论：①n阶方阵的各阶（1、2、…、n阶）主子式都大于零，此方阵为正定矩阵。如[A]n×n。②线性方程组：[A]{x}={B}

不论{x}为何值，均有：{x}T[A]{x}﹥0

则：[A]为正定矩阵。经验证：[

K]满足以上两条。是正定矩阵。

（3）按本节方法计算连续梁时，[K]是可逆矩阵，即[K]-1存在。考虑结构边界条件所建立的总刚度矩阵[K]，是非奇异矩阵。（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵。①稀疏性：某结点位移单独发生时，只有相关结点产生非零系数（结点力），非相关结点，不产生刚度系数（结点力）。大型结构中，整体刚度矩阵里零元素大大多于非零元素。②带状矩阵：整体刚度矩阵中非零元素集中在以主对角线为中心的斜带状区域内。（大量零元素远离主对角线）称为“带状矩阵”。结构计算时，若结点编号恰当（即，各相关单元结点号尽量靠近），则[K]呈带状。7123456§13-5刚架的整体刚度矩阵用单元集成法形成平面刚架的整体刚度矩阵[K]，思路同连续梁，但情况较之连续梁复杂。其复杂性包括如下几个方面：（1）、刚架中各杆方向不尽相同，要进行坐标转换。（2）、在一般情况下，考虑杆件的轴向变形，每个结点的结点位移分量增加为三个。忽略轴向变形作为特殊情况处理。（3）、刚架中不仅有刚结点，还可能有铰结点、组合结点、自由结点等。1、结点位移分量的统一编码——总码本书采用先处理法。（1）一般情况：刚结点有三个独立的结点位移未知量。顺序依次编码：水平线位移——1方向竖向线位移——2方向转角位移——3方向（2）支座结点对于已知的结点位移分量，总码均编为零码（先处理法）。ABCxy①②000123004如图：{⊿}=[⊿1⊿2⊿3⊿4

]T

=[uAvAθ

AθC]T{F}=[F1F2F3F4

]T（3）结点编号原则结点位移分量编码前，应先进行结点编号，以便结点位移排序。原则：各相关结点位移应尽量接近，使总刚度矩阵各元素呈带状分布。

相关结点：结点本身以及汇交于该结点的各单元的另一端结点。ABCxy①②000123004（4）结点位移编码的方法(计算机)

①直接法：根据各结点的可能位移情况，直接写出各结点位移码。其中：已知位移分量：一律编“0”码；未知位移分量：依次编“1，2，3，…，n”码。②间接法：先对结点编号，有结点编号换算结点位移码。对于结构的特殊结点（如铰结点、组合结点、支座结点等）给出信息，进行换算。（5）铰结点（组合结点）的处理由于计算中一律采用一般单元进行分析，所以应将铰结点视为半独立结点。如左图中C结点，可视为两个半独立结点（C1，C2）。线位移相同（同码，不独立）；角位移不同（异码，独立）。铰结点联系几根受弯杆，则可视为几个半独立结点。xy①②00123ABC1C2D③0456457000(0,0,0)(0,0,0)(4,5,7)(4,5,6)(1,2,3)ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)ABC①②000123004123(1)(6)(5)(4)(3)(2)A(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、单元定位向量{λ}e结点位移与杆端位移之间的对应关系。{λ}1=（

123004

）T整体局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）B②000123A(1)(2)(3)(4)(5)(6)结点位移与杆端位移之间的对应关系。{λ}1=（

123004

）T整体局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)AC①004123(1)(6)(5)(4)(3)(2){λ}2=（

123000

）T整体局部（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、单元集成过程m按单元顺序①、②、…、

集成。整体刚度矩阵[K]中元素：s—⊿j所在结点的相关单元总数。任一结点位移相应的刚度系数=汇交于该结点的各相关单元刚度系数之和。因此，以后集成[K]时，阶段结果可不写出，而直接对号入座，同号叠加形成[K]。注：（1）采用单元集成法集成整体刚度矩阵的过程为：建立坐标（局部、整体）；单元编号；结点编号，结点位移编码。边定位边累加

[K]e

（2）进行整体分析时，有“先处理”和“后处理”两种方法。先处理：形成整体刚度矩阵时，先根据结构的边界支承条件进行处理，已知位移编码“0”。形成的[K]为正定非奇异矩阵。后处理：集成整体刚度矩阵时，先不考虑结构的边界支承条件，已知位移与未知结点位移顺序编码。形成的整体刚度矩阵称为原始总刚度矩阵[K]0，为奇异矩阵。然后考虑支承条件进行处理。（4）、以上推导整体刚度矩阵的方法为单元集成法，也称“静力法”。也可用其他方法推导整体刚度矩阵，如“能量法”等。同学们可考虑，在计算连续梁，桁架，组合结构时应如何处理？（3）、矩阵位移法中，为运算的程序化和通用化，在单元（杆件）分析时，一律采用一般单元，即单元刚度矩阵采用[k]e6×6。使杆件分析整齐划一。例：试求图示结构的整体刚度矩阵[K]l=5m,A=b×h=0.5m2.I=1/24m4.E=3×107kN/m2.EA/l=300×104,EI/l=25×104.解：（1）单元编号，结点位移分量编码；建立坐标。ABCxy①②000123004(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)（2）局部坐标系中的单元刚度矩阵[k]e6×6。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)（3）写出整体坐标系中的单元刚度矩阵[k]e6×6。单元①：α=0，[k]1=[k]1。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）总123004123004①xy1CA(6)(1)(2)(3)(4)(5)23004单元②

：α=90o

。ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）总123000123000（4）单元定位向量在（3）中已写出。xy1BA(6)(1)(2)(3)(4)(5)23004②（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）123004123004（5）对号入座，形成整体刚度矩阵“对号入座”[K]4×4阶段结果（1）（2）（3）（6）12341

2

3

4（1）（2）（3）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）123000123000[K]4×4=12341

2

3

4（1）（2）（3）（1）（2）（3）结构整体刚度矩阵：

3120-300[K]=104×03123030-30302003003050100ABCxy①②(0,0.0)(0,0,4)(1,2,3)例：试求图示结构的整体刚度矩阵[K]l=5m,A=b×h=0.5m2，I=1/24m4，E=3×107kN/m2，EA/l=300×104，EI/l=25×104。解：（1）单元编号，结点位移分量编码；建立坐标。12345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy（2）单元刚度矩[k]e6×6

因为各杆E、A、I、l相同，均有：12EI/l3=12×104，6EI/l2=30×104，4EI/l=100×104，2EI/l=50×104，EA/l=300×104。局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）总23456723456712345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy①xy232(6)(1)(2)(3)(4)(5)3456712345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xy局（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）（2）（3）（4）（5）（6）②234001234001③56800056

8

0

00xy212(6)(1)(2)(3)(4)(5)34001②xy554(6)(1)(2)(3)(4)(5)68000③（3）整体刚度矩阵[K]

100-300500000-30300+120-30-3000000012+300300-12300[K]=50-3030100+1000-30500×1040-30000300+1200-3000-12-30012+300-3000030500-3010000000-3000100

1234567812345678§13-6等效结点荷载一、位移法基本方程（1）设荷载单独作用（结点位移设为零），在基本体系中引起结点约束力，记为{FP}。（2）设结点位移{⊿}单独作用，在基本体系中引起结点约束力，记为{F}=[K]{⊿}

位移法基本方程：{F}+{FP}={0}

即：[K]{⊿}+{FP}={0}二、等效结点荷载的概念

结构上的荷载可以是结点荷载，也可以是非结点荷载，或两种荷载的组合。在矩阵位移法中，需将原结构上的荷载均转换成为等效结点荷载{P}。

等效原则：原荷载与等效荷载在基本体系中产生相同的结点约束力。结点结束力——{FP}结点结束力——{FP}等效结点荷载{P}原荷载矩阵位移法中：{P}=-{FP}（13-15）位移法基本方程：[

K]n×n{⊿}n×1={P}n×1（13-16）

即：结点位移引起的结点力=荷载（或其他外因）引起的结点力。

三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载一般单元的固端约束力向量：{FP}e=(FxP1FyP1MP1FxP2Fy

P2MP2)T（13-17）可查表（13-3）。

1、单元等效结点荷载{P}e6×1（在局部坐标系下，由单元非结点荷载引起，不包括结点荷载）。12eFxP1FyP1MP1FxP2FyP3MP2q(x)查表（13-3）时，应注意：

（1）注意局部坐标方向，q

与x,y方向一致时为正值。（2）表（13-3）给出的均为一般单元的固端力，为什么可以这样给？将固端约束力矩阵{FP}e反号，即得单元等效结点荷载列阵{P}e。{P}e=-{FP}e

（13-18）2、单元等效结点荷载列阵（结构坐标下）{P}e

=[

T]T{P}e（13-19）

3、整体结构的等效结点荷载矩阵{P}n×1

依次将每个单元{P}e中的元素按单元定位向量{λ}e在{P}n×1中定位(对号入座)，并累加成为{P}n×1

。{P}n×1

{λ}e

对号入座{P}e1112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元1:单元2:121210-10+4+0-512222注：（1）结构上有结点荷载：可直接进入{P}n×1

，按相应的结点编码写到{P}n×1中的相应位置上。结点荷载不属于任何单元。{P}8×1

=0FP2FP1M10FP30M212345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(5,6,8)(0,0,0)①②③xyFP1FP2M1FP3M212345678

（2）非结点荷载①斜杆问：右图应如何计算？12FPsinα12FPcos

α12FPαxeαq12l②多种横向荷载——分别查表，然后叠加。③表中未列，等效变换。12eqla12eq12eq例：求图示刚架在给定荷载作用下的等效结

点荷载矩阵{P}解:1、单元编码。建立坐标；结点位移编码。2、求局部坐标中的固端力矩阵{FP}e。单元①：由表13-3FxP1=0FxP2=0FyP1=-ql/2=-4.8×5/2=-12kNFyP2=-12kN12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)MP1

=-ql2/12=-4.8×5×5/12=-10kN·mMP2

=+ql2/12=10kN·m14.8kN/m5mFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2{FP}1=FxP1=0FxP2=0FyP1=-ql/2=-4.8×5/2=-12kNFyP2=-12kN0-12-100-1210q=4.8kN/m单元③：由表13-3MP1

=ql/8=8×5/8=5kN·mMP2

=-ql/8=-5kN·mFxP1=0FxP2=0FyP1=q/2=8/2=4kNFyP2=4kN{FP}3=038kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2044-55q=-8kN3、求整体坐标中的等效结点荷载矩阵

{P}e，并写出单元定位矩阵{λ}e公式{P}e

=-{FP}e{P}e

=[T]T{P}e

=-[T]T{FP}e单元①：由图可见α=0o{P}1=102345

（1）（2）（3）（4）（5）12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)14.8kN/m5mFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2102345

01210012-10{P}1

=-{FP}1=（6）单元③：α=900{P}3

=-{FP}3

=-[T]T{FP}3=12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)38kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2345000345000手算时，也可直接写：{P}3

=-{FP}338kNFxP1FyP1MP1FxP2FyP2MP2yxxy3450004、求刚架的等效结点荷载矩阵{P}6×1单元③12341232.5m5m5m2.5mxy5kN·m8kN10kN4.8kN/m(0,0,0)(1,0,2)(3,4,5)(0,6,0)结点荷载单元①123456§13-7计算步骤及算例一、用矩阵位移法计算平面刚架的步骤1、整理原始数据。对单元和整体刚架进行局部和总体编码（确定未知量矩阵{⊿}n×1）。建立坐标系。2、利用式（13-6）形成局部坐标系下的单元刚度矩阵[k]e,3、形成整体坐标系下的单元刚度矩阵[k]e

，[k]e

=[T]T[k]e

[

T]e，并写出单元定位向量{λ}e

。4、用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]n×n。5、求局部坐标中的单元等效结点荷载矩阵{P}e

，由{P}e

=-{FP}e=-[T]T{FP}e求整体坐标系的单元等效结点荷载矩阵{P}e

。6、用单元集成法集成整体结构的等效结点荷载矩阵{P}n×1。7、解方程[K]{⊿}={P}，求出{⊿}。

8、求各杆杆端内力｛Ｆ}e。二、解方程，求｛⊿｝n×1手算：n≤4，用线性方程组的一般解法求结点位移矩阵｛⊿｝n×1，如用逆矩阵法：{⊿}=[

K]－１{P}。

电算：n＞4，可用直接法或迭代法，求解线性代数方程组。直接法——高斯消去法；对称分解法；直接三角分解法；变带一维存储的LDLT分解法。等。

迭代法——简化迭代法；塞得尔迭代法。等。杆端力（内力）：杆件坐标中的杆端力用{Ｆ}e表示。{Ｆ}e

＝{Ｆd}e

＋

{ＦP}e

杆端位移引起的杆端力各杆的固端约束力刚架在等效结点荷载作用下的杆端力三、求单元杆端力矩阵{Ｆ}e4123FP1FP2M14123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)已求出结点位移矩阵{⊿}。{⊿}=[⊿1⊿2⊿3⊿4

⊿5⊿6]T由此可求出各杆端力矩阵{F}e

{F}e=[k]e

{⊿}e+{FP}eFP1FP24123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)222Fx1Fy1M1Fx2Fy2M2{F}e=[k]e

{⊿}e+{FP}e本教材作法，先求出：{F}e=[k]e{⊿}e+{FP}e再由下式求出{F}e{F}e=

[T]e{F}e2①0001231(1)(2)(3)(4)(5)(6)yx4123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)

⊿1

⊿2{⊿}

1=

⊿3

000

⊿1

⊿2{⊿}

2=

⊿3

⊿4⊿5⊿6

⊿4

⊿5{⊿}

3=

⊿6

0

0

0如图：对于正交刚架（只有水平和竖直杆件）竖杆的杆端位移矩阵{⊿}e很好找

⊿2

-

⊿1{⊿}

1=

⊿3

000yx2①1(1)(2)(3)(4)(5)(6)xy4123FP1FP2M1123(0,0,0)(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)（-

⊿1）（⊿2）（⊿3）000注：

用上述公式计算出的杆端力，其正负号与局部坐标轴的正方向一致。其中，F(1)e、F(2)e与传统的轴力FN1，剪力FQ1的正负号相反。因此，在作内力图时，应修正。12

exyF(1)eF(2)eF(3)eF(4)eF(5)eF(6)e算例：解：

1、原始数据整理，建立坐标系；单元编号；结点编号；结点位移编码。柱：A1=0.5mI1=1/24m4l1=6mDABCA1I1A2I212m6m1kN/mA1I1DABCyx①②③(1,2,3)(4,5,6)(0,0,0)(0,0,0)梁：A2=0.63m，I2=1/12m4，l2=12m。2、形成[k]e6×63、计算整体坐标下的单元刚度矩[k]e6×6单元①、③（α=90o）010000-100000[T]=001000000010000-100000001[k]1=[k]3=[T]T[k]1[T]=

2.310-6.94-2.310-6.94083.300-83.30=10-3-6.94027.86.94013.9-2.3106.942.3106.940-83