第一章-概率与分布课件

第一章概率与分布【学习目标】1.理解事件等的基本概念及运算关系，统计概率、主观概率和概率的基本性质。2.了解随机变量及其分布函数的概念。3.掌握古典概率及计算，概率的加法公式、乘法公式及计算，条件概率与事件独立性的概念及计算，离散型、连续型随机变量的分布及性质，数学期望和方差等常用数字特征及其性质，二项分布、泊松分布、正态分布等分布的性质及概率计算。4.（技能培养）学会用Excel计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。案例1-1某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的可能性是十万分之一，若你每周买一张彩票，尽管你坚持了十年（每年52周），但是从未中过大奖。问题：买彩票十年从未中过大奖,该现象是否正常？案例1-2某地区流行某种传染病，患者约占3%，为此该地区的某高校决定对全校5000名师生进行抽血化验。现有两个方案：（1）逐个化验；（2）按5人一组分组，并将血液混在一起化验，若发现有问题再对5人逐个化验。问题：试比较哪种方案更好？第一节随机事件和概率一、随机事件为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验或观测等统称为试验（experiment）。如果试验具有下列特点：（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。称这种试验为随机试验（randomexperiment），简称试验。

样本空间（samplespace），记为

。基本事件（elementalevent）或样本点（samplepoint），记为ω。随机事件(randomevent)，简称事件（event），通常用大写字母A、B、C

表示。事件A发生。必然事件（certainevent），记为

。不可能事件（impossibleevent），记为

。二、事件间的关系和运算（一）事件的包含与相等（二）事件的和(或并)（三）事件的积(或交)（四）事件的差（五）互不相容事件（六）对立事件（七）事件的运算律（1）交换律：A+B=B+A；AB=BA。（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(AB)C=A(BC)。（3）分配律：(A+B)C=AC+BC

；

A+(BC)=(A+B)(A+C)。（4）差积转换律：（5）德·摩根(DeMorgan)对偶律：

事件式与事件的运算顺序事件式（eventexpression）：以运算符号联结起来的事件表示式。在事件式中，事件的运算顺序：先求“对立”，再求“积”，最后求“和”、“差”，遇有括号，先算括号内的。例1-3现从一批含有次品的药品中连续抽取3件，设A、B、C分别表示抽取的第一件、第二件、第三件为合格品，试用A、B、C分别表示下列事件。（1）“只有一件合格”（2）“至少一件合格”（3）“3件都合格”（4）“3件全不合格”三、概率的定义定义1-1事件A发生的概率（probability）是事件A在试验中出现的可能性大小的数值度量，用P(A)表示。（一）统计概率频率的稳定性

（stabilityofrelativefrequency）我国历次普查中男性占的比例大致接近于0.515普查年份总人口男性女性男性占总人口的比例19535943530799286360.518219646945835652338060.5133198210081851944488740.5152199011336858495548730.5160200012658365355612280.5163统计概率的定义例1-4例1-4（关于抽烟和肺癌的关系调查）在某城市随机抽取10万个40岁以上从不抽烟的男性和10万个40岁以上抽烟的人，根据随访结果表明，前一组最后因肺癌死亡的是30个，而后一组是600个。因此我们得到：（二）古典概率定义1-4设随机试验具有如下两个特征（1）样本空间所含的基本事件只有有限个；（2）每一个基本事件发生的可能性相等则称试验所对应的概率模型为古典概型（classicalprobabilitymodel）或有限等可能概型。古典概率的定义定义1-5对于给定的古典概型，若样本空间中基本事件总数为m，而事件A包含其中的n个基本事件，则称比值为事件A的古典概率（classicalprobability），记为P(A)，即实际求解古典概率问题时，往往需要用排列组合知识及概率性质。例1-6已知10件药品中有2件为次品。无放回的任取3件进行检验，求取出3件中恰有1件次品的概率。（三）主观概率定义1-6人们根据自己的经验和所掌握的多方面信息，对事件发生的可能性大小加以主观的估计，由此确定的概率称为主观概率（subjectiveprobability）。（四）概率的基本性质1.（非负性）对任一事件A,有0≤P(A)≤1；2.（规范性）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()＝1，P()＝0；3.（可列可加性）对于两两互不相容事件

A1,A2,…,An,…,(AiAj=,ij)，有

P(A1+A2+…+An+…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…四、概率的加法公式定理1-1（一般加法公式）对于任意两个事件A、BP(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)推论1-1（互不相容事件加法公式）如果事件A与B互不相容，即AB=，则有P(A+B)=P(A)+P(B)

如果A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。推论1-2（对立事件公式）对事件A及其对立事件，有P(A)=1－P()，P()=1－P(A)。推论1-3（事件之差公式）对任意两个事件A、B，有P(A

－B)=P(A)－P(AB)

特别地，当AB时，有P(A

－

B)=P(A)－P(B)例1-7例1-7在某一特定的人群中研究患糖尿病和高血压两种疾病的关系，已知有5%的人患糖尿病,4%的人患高血压,其中有1%的人既患糖尿病又患高血压。现从中任取一人，试求：（1）被抽查到的人患糖尿病或高血压的概率；（2）被抽查到的人既非糖尿病又非高血压的概率五、条件概率与事件的独立性（一）条件概率定义1-7设A、B是两个事件，且P(A)>0

，称

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（conditionalprobability）。例1-9某药厂生产一批药品共20件，其中有18件是合格药品，从这些药品中不放回地连续取两次，每次取一件药品。求在第一次取得合格药品的条件下，第二次取得合格药品的概率。（二）概率的乘法公式（三）事件的独立性定义1-8设

A、B是两个随机事件，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件

A与

B是相互独立的，简称独立。定理1-3

（1）如果P(A)>0（或P(B)>0）,则事件A

与B

独立的充要条件是

P(B|A)=P(B)（或P(A|B)=P(A)）；（2）若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立。定理1-4

（1）A、B事件相互独立的充要条件是

P(A|B)=P(A)具体应用时，通常先由实际意义判断事件A与B的相互独立性，再利用上述独立事件公式P(AB)=P(A)P(B)来计算事件A、B同时发生的概率。

例1-10

甲乙两人独立射击同一目标，已知甲击中目标的概率是0.7，乙击中目标的概率是0.6，求（1）甲、乙两人都击中目标的概率；（2）甲、乙两人中至少一人击中目标的概率。案例1-1某种彩票每周开奖一次，每次中大奖的可能性是十万分之一，若你每周买一张彩票，尽管你坚持了十年（每年52周），但是从未中过大奖。问题：买彩票十年从未中过大奖,该现象是否正常？第二节随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量及其分布例1-12一批药品共10件，其中有两件不合格，现在接连进行不放回抽样，每次抽一个，直到抽到合格药品为止。求抽取次数的概率分布。三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量X的性质例1-13四、随机变量的数字特征随机变量的某些概率特征的数字为随机变量的数字特征(numericalcharacteristic)（一）数学期望例1-15例1-16数学期望的重要性质：案例1-2

某地区流行某种传染病，患者约占3%，为此该地区的某高校决定对全校5000名师生进行抽血化验。现有两个方案：（1）逐个化验；（2）按5人一组分组，并将血液混在一起化验，若发现有问题再对5人逐个化验。问题：试比较哪种方案更好？（二）方差方差的定义公式例1-17方差的重要公式例1-18方差的重要性质例1-19第三节常见随机变量的分布一、二