有界磁场区域面积、宽度、半径计算课件

有界磁场区域面积、宽度、半径计算

●例1

如图4－12甲所示，质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求(1)荧光屏上光斑的长度．(2)所加磁场范围的最小面积．图4－12甲一、磁场范围为圆形【解析】(1)如图4－12乙所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可．初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点．设粒子在磁场中运动的半径为R

，由牛顿第二定律得：

ev0B＝m，即R＝由几何知识可得：PQ＝R＝．图4－12乙

(2)取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：

x＝－Rsinθ

y＝R＋Rcosθ即x2＋(y－R)2＝R2又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：

S＝πR2＋R2－πR2＝(＋1)()2．

[答案]

(1)

(2)(＋1)()2

【点评】带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年年考，大概为了求新求变，在2009年高考中海南物理卷(第16题)、浙江理综卷(第25题)中都出现了应用这一推论的题型．

★同类拓展

如图4－13甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小．(2)此匀强磁场区域的最小面积．[2009年高考·海南物理卷]图4－13甲

【解析】(1)若要使由C点入射的电子从A点射出，则在C处必须有磁场，设匀强磁场的磁感应强度的大小为B，令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道，电子所受到的磁场的作用力f＝ev0B，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外．圆弧的圆心在CB边或其延长线上．依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a．按照牛顿定律有：

f＝m联立解得：B＝OR

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中，因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界．为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ(不妨设0≤θ＜)的情形．该电子的运动轨迹QPA如图4－13乙所示．图中，圆弧的圆心为O，PQ垂直于BC边，由上式知,圆弧的半径仍为a．过P点作DC的垂线交DC于G，由几何关系可知∠DPG＝θ，在以D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为：

x＝asinθ，y＝acosθ即这意味着，在范围0≤θ≤内，P点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为：

[答案](1)方向垂直于纸面向外

(2)图4－13乙例2

在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率ʋ0沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴上方1/4个的圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧O1OmO2。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10中看出，，即（x＞0，y＞0），这是个圆方程，圆心在（0，R）处，圆的1/4圆弧部分即为磁场区域的下边界。

点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。

例3．(12分)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出)；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x轴上的A点，A点坐标为(－L,0)．粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，C点坐标为(0,2L)，电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°角的射线ON(已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用)．求：

甲

(1)第二象限内电场强度E的大小．

(2)电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ．

(3)圆形磁场的最小半径Rm．

【解析】(1)从A到C的过程中,电子做类平抛运动，有：

L＝t2

(1分)

2L＝vt

(1分)联立解得：E＝．(1分)

(2)设电子到达C点的速度大小为vC，方向与y轴正方向的夹角为θ．由动能定理，有：

mvC2－mv2＝eEL

(2分)解得：vC＝v

cosθ＝(1分)

解得：θ＝45°．(1分)

(3)电子的运动轨迹图如图乙所示，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径r＝(1分)

电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出，则磁场最小半径为：Rm＝＝rsin60°

(2分)

由以上两式可得：Rm＝．(1分)

[答案](1)

(2)45°

(3)例、4如图，带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox

轴的速度v

从y

轴上的a

点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x

轴上的b

点以垂直于Ox

轴的速度v

射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。yOaxbv02RBOrrMN解：质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是1/4圆周，如图中M、N两点间的圆弧。在通过M、N两点的不同的圆中，最小的一个是以MN

连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径qBmvMNR221==

如图所示，一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内，一个质量是m，带电量是q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上的p点，此时速度方向和y轴夹角为30º，p到O点的距离是L，不计重力，求B的大小例5yxv30ºOvLMNrrP解：做两条速度的延长线交于M点，过M点做角平分线交y轴N点，以N为圆心以r为半径做圆，切于两速度线，切点分别为O、P根据几何关系：质点圆周运动半径：由上式解得：yxv30ºOvLMNrrP3．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的?MNBOA2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.解：带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动的半径均相同,在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示2RR2RMNO

例6一质量为m、带电量为q的粒子以速度ʋ0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；（3）b点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到b点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到b点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过b点逆着速度ʋ0的方向作虚线，与y轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于x轴上，距O点距离和到虚线上a点垂直距离相等的o1点即为圆周运动的圆心，圆的半径。由,得。弦长oa为：，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为L的一半，即：，面积（2）粒子运动的圆心角为1200，时间（3）ob距离故B点的坐标为点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。二、磁场范围为三角形例3如图5，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度ʋ垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形abc，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆Ｏ交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠FOG＝600，所以粒子偏转的圆心角为3000，运动的时间解析：（1）由和得（3）连接a0并延长与bc交与Ｈ点，由图可知

点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。30°OPAv0变式：如图，倾角30º的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有小孔P，质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）正三角形磁场区域的最小边长。abco160°egf解：（1）由得：30°OPAv0abco160°egf（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知（3）由数学知识可得：

得：变式：一质量m、带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入强度为B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。最小面积解：根据牛顿第二定律：画出带电粒子运动轨迹如图所示：由图示知（2012年陕西宝鸡第一次质检）

（18分）如图所示，k是产生带电粒子的装置，从其小孔a水平向左射出比荷为1.0×l03C/kg的不同速率的带电粒子，带电粒子的重力忽略不计．Q是速度选择器，其内有垂直纸面向里的磁感应强度为3.0×l0-3T的匀强磁场和竖直方向的匀强电场（电场线未画出）．（