向量理论第三章

向量理论第三章第一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一维向量的概念第二页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量第三页，共五十四页，编辑于2023年，星期二注意

3．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．向量和矩阵之间的关系

当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.

1．向量的分量之间是有先后顺序的。第四页，共五十四页，编辑于2023年，星期二令

表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实向量，则可简记,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。第五页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如一些特殊的向量：第六页，共五十四页，编辑于2023年，星期二向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．第七页，共五十四页，编辑于2023年，星期二n维0向量：注：维数不同的零向量是不同的向量n阶单位矩阵的n个列向量分别记为：称为n维基本向量第八页，共五十四页，编辑于2023年，星期二二n维向量的线性运算定义1第九页，共五十四页，编辑于2023年，星期二注：设n维向量的对应分量相等，即称这两个量是相等的，即注：1与要么都是行向量，要么都是列向量。

2与的维数应相同。第十页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例1(1)求，的负向量(2)计算第十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

１线性组合定义１:三向量组的线性相关性第十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

对于给定的向量组A:1,2,

…,m

和向量b,如果存在一组数

k1,k2,…,km使关系式则称向量b是向量组1,2,

…,m的线性组合,或称向量b可以由向量组1,2,

…,m线性表示.第十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期二比如说：为n维基本向量结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合第十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期二设有向量称b是的线性组合.或b可以由线性表示.例如：第十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期二２向量组的线性相关性定义２对于向量组A:1,2,…,m,成立,则称向量组1,2,…,m线性相关.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式反之则称向量组1,2,…,m线性无关.第十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期二成立,即只有当

k1=k2=

…=km=0时,才有成立,则称向量组1,2,…,m线性无关.如果没有不全为零的k1,k2,…,km,使第十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例1：设有向量则称向量组线性相关例2：则由，得线性无关。注：n维基本向量线性无关第二十页，共五十四页，编辑于2023年，星期二向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关第二十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第二十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期二讨论x1,x2,…,xm的情况.

如果解得x1,x2,…,xm不全为零,则1,2,…,m线性相关;

如果推出x1=x2=

…=xm=0,则1,2,…,m线性无关.第二十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

例3

讨论的线性相关性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T第二十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

向量组线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）

定理1３线性相关与线性组合之间的关系第二十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

向量组线性相关,但线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示。定理2第二十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例4：讨论向量组，的线性相关性。解：设有实数使即系数行列式故方程组有非零解。如取有，所以线性相关。第二十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例5：设向量组线性无关，试证向量组也线性无关。证明：设即因为线性无关系数行列式为2，故方程组只有零解，故得证第二十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例6

设有向量组为

取何值时，该向量组线性相关。第二十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第三节向量组的秩问:其中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量?第三十页，共五十四页，编辑于2023年，星期二定义1

若向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示，若向量组和可以互相线性表示，则称两个向量组等价一、等价的向量组第三十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二向量组可由线性表示第三十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期二向量组可由线性表示等价于存在的矩阵使若向量组和等价第三十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期二等价向量组的性质：1：自反性：一个向量组与其自身等价2：对称性：若向量组和等价，则向量组和等价。3：传递性：若向量组和等价，向量组和等价，则向量组和等价。第三十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期二定理1设中的两个向量组和若向量组可由线性表示，且，则向量组线性相关少的表示多的，多的一定线性相关注：，不能相等，时，结论不一定成立第三十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期二定理1的逆否命题：推论1：若向量组可由向量组

线性表示，又已知

线性无关，则必有推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它们所含的向量个数相等注：若只是等价的向量组，它们所含的向量个数未必相等第三十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期二极大线性无关组等价定义二极大线性无关组第三十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期二1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一2.

向量组和其极大线性无关组等价(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价)3.

一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。注:第三十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期二定义3

一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩。线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数第三十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例1：设n维基本向量组可由向量组

线性表示。证明线性无关第四十页，共五十四页，编辑于2023年，星期二三向量组的秩与矩阵的秩的关系定理2矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系第四十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例2:第四十二页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第四十三页，共五十四页，编辑于2023年，星期二等于它的行向量组的秩.

定理3

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也求向量组的最大无关组的步骤:第四十四页，共五十四页，编辑于2023年，星期二例3：设有向量组(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。(2)求向量组的一个极大线性无关组。(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的线性组合第四十五页，共五十四页，编辑于2023年，星期二解：取(1)向量组即为A的列向量R(A)=2,所以向量组的秩为2。(2)为向量组的一个极大线性无关组(3)第四十六页，共五十四页，编辑于2023年，星期二推论：设A为矩阵，秩，则有:(1)当r=m时，A的行向量组线性无关;当r<m时，

A的行向量组线性相关(2)当r=n时，A的列向量组线性无关;当r<n时，

A的列向量组线性相关。

当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：第四十七页，共五十四页，编辑于2023年，星期二第四节向量空间一、向量空间的定义定义1

设V

为n

维向量的集合,如果集合V非空,且那么就称集合V

为向量空间.则a+bV;若a

V,R,则aV.若a

V,bV,第四十八页，共五十四页，编辑于2023年，星期二

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一个向量空间.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空间.第四十九页，共五十四页，编辑于2023年，星期二一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b则有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.这个向量空间称为由向量a,b

所生成的向量空间.是一个向量空间.因为若第五十页，共五十四页，编辑于2023年，星期二由向量组a1,a2,...,am

所生成的向量空间一般形式为L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3

设向量组a1,...,am与向量组b1,...,bs等价,记L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},试证L1=L2.第五十一页，共五十四页，编辑于2023年，星期二二、向量空间的基向量空间的维数定义2

设有向量空间V1

及V2,若V1V2,

总有

VRn,所以这样的向量空间总是Rn

的子空间.

例如任何由n