2022-2023学年吉林省第三十六届联合体高二下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年吉林省第三十六届联合体高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题.3．设是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则（

）．01A． B． C． D．【答案】B【解析】根据分布列的性质，得到，即可求解.【详解】由分布列的性质，可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.4．曲线在点处的切线垂直于直线，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.【详解】，所以，因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，故即，故选：D.5．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】明确定义域，求导，求导数小于零的解集，可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以，令可得，所以的单调递减区间是.故选：B.6．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X012345P0.10.1a0.30.20.1则等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：C.7．由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（

）A．120 B．168 C．204 D．216【答案】C【分析】先不考虑0的情况，从这9个数字中选出3个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，再考虑有0的情况，由分步计数乘法原理可得结果．【详解】先不考虑0的情况，则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.所以共故选：C8．将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志原者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种【答案】C【分析】将6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，再分别计算每组的安排方法可得答案.【详解】6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，当为1，1，1，3时，有种；当为2，2，1，1时，有种，共有种不同的分配方案.故选：C.二、多选题9．已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（

）．A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共3项【答案】BC【分析】由已知可得，从而可得二项式为，然后利用二项式的性质逐个分析判断【详解】因为二项式的展开式中共有7项，所以，则二项式为，对于A，所有项的二项式系数和为，所以A错误，对于B，令，则所有项的系数和为，所以B正确，对于C，因为二项式的展开式中共有7项，所以由二项式的性质可知二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，对于D，二项式展开式的通项公式为，因为，所以当时，其对应的项为有理项，即共有4个有理项，所以D错误，故选：BC10．设随机变量的分布列为，则A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.【详解】随机变量的分布列为,，解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故答案为：A、B、C.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（

）A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B．任取一个零件是次品的概率为0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BD【分析】记A：车床加工的零件为次品，记Bi：第i台车床加工的零件，根据已知确定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用条件概率公式、全概率公式判断各选项描述中的概率是否正确即可.【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；故选：BD．12．函数f（x）＝lnx＋1，g（x）＝ex-1，下列说法正确的是（

）（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）A．存在实数m，使得直线y＝x＋m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切B．存在实数k，使得直线y＝kx-1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切C．函数g（x）-f（x）在区间上不单调D．当x∈（0，1）时，恒成立【答案】ABD【分析】对于AB，利用导数求出和的公切线即可判断；对于CD，构造函数，两次求导判断出函数的单调性即可判断.【详解】对于AB，设直线分别与与分别相切于点，，则，且，故，且，，化简得，故或，故公切线的斜率为或，对应的截距分别是或，故公切线为或，故选项A，B都正确；对于CD，令，则，，故时，，在上单调递增，又，，则，故时，，故函数在区间上单调递增，故选项C错误；又，，故存在，使得，即，，且时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，，故D正确.故选：ABD．【点睛】关键点睛：本题考查导数的应用，解题的关键是求出导数，利用导数判断出函数的单调性.三、填空题13．已知，那么________；【答案】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）故答案为：14．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为______．【答案】180【分析】根据题设，先从A区块着色，判断各部分的着色方案数，即可求不同的着色方法种数.【详解】按A、B、C、D顺序着色，A区块有5种着色方案，B区块有4种着色方案，C区块有3种着色方案，D区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为5×4×3×3＝180，故答案为：180．15．若，则_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x=0即可求解.【详解】令x=0，则，，故答案为：-1.16．若是函数的极大值点，则的取值范围是_________．【答案】【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．【详解】因为，，，令，解得或，当，即，则当或时，当时，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点，反之，当，即，则当或时，当时，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．综上得：，即的取值范围是．故答案为：．四、解答题17．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的站法总数.(1)全体站成一排，女生必须站在一起.(2)全体站成一排，男生互不相邻.【答案】(1)576(2)1440【分析】（1）利用捆绑法计算可得；（2）利用插空法计算可得.【详解】（1）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有种；（2）先排女生，有种方法，再在女生中间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，故共有种.18．已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)和.【分析】（1）根据题意得到，求得，即可求解；（2）由（1）知，得到展开式的通项为，列出不等式组，结合组合数的公式，求得，进而求得，即可求解.【详解】（1）解：由题意，的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得，即，解得或（舍去），所以.（2）解：由（1）可得二项式，其展开式的通项为，即展开式中项的系数为，设第项的系数最大，则满足，可得，即，解得，当时，；当时，，所以展开式中系数最大的项为和.19．一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）有列举法可得答案；（2）求出X的取值和对应的概率可得答案．【详解】（1）记“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”，3个白球、2个红球分别记为白1，白2，白3，红1，红2，从中摸出2个球有（白1白2），（白1白3），（白1红1），（白1红2），（白2白3），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2），（红1红2）共10种情况，从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有（白1红1），（白1红2），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2）共6种情况，所以，摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.（2）X表示摸出的2个球中的白球个数，则X可取，，，，则X的分布列为01220．已知函数在处有极值．(1)求a，b的值；(2)求的单调区间．【答案】(1)，(2)单调递增区间是，；单调递减区间是【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出a，b的值；（2）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间【详解】（1）∵，又∵在处有极值，∴．即，解得，．经检验，当，时满足题意（2）由（1）可知，，令，得或；令，得；∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．21．某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板，如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去一个边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．(1)求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；(2)当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】(1)，函数的定义域为；(2)边长时，包装盒的容积最大，最大容积是.【分析】（1）根据已知条件及长方体的体积公式即可得出解析式，根据实际意义得出定义域；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解;【详解】（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以包装盒的容积为，函数的定义域为．（2）由（1）得，，令，即，解得或（舍），∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，所以.即切去的正方形边长时，包装盒的容