2021-2022学年北京市朝阳区高二年级下册学期数学期中测试数学试题解析版

2022北京人朝分校高二（下）期中

数学

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项符合题意）

1.（5分）己知物体的运动方程为s=*+—Q是时间，s是位移），则物体在时•刻f=2时的

t

速度为（）

A19D17「15c13

A.—D.—C・—L）.—

4444

2.（5分）甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中

间，则不同站法种数为（）

A.12B.24C.48D.120

3.（5分）某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据

如下表：

年份20162017201820192020

年份代号X01234

年销量y1015in3035

若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为g=6.5x+9,则表中机的

值为（）

A.22B.20C.30D.32.5

4.（5分）己知100个产品中，有83个产品长度合格，90个产品质量合格，80个产品长度

和质量都合格.现任取一个产品，若它的质量合格，则它长度合格的概率为（）

八4D83八8c9

A.-D.C・-L）.—

5100910

5.（5分）若甲组样本数据%,%，…，/（数据各不相同）的平均数为2,方差为4,

乙组样本数据34+4,3X2+4,…，3七+。的平均数为4,则下列说法错误的是（）

A.〃的值为-2

B.乙组样本数据的方差为36

C.两组样本数据的样本中位数一定相同

D.两组样本数据的样本极差不同

6.（5分）某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩J近似服从正

态分布N（90,〃）（试卷满分150分），且尸（£.100）=0.3,据此可以估计，这次检测数学成

绩在80到90分之间的学生人数为()

A.2800B.4200C.5600D.7000

7.(5分)已知函数f(x)和g(x)的导函数尸(犬)，g，(x)图象分别如图所示，则关于函数

y=g(x)-/(x)的判断正确的是()

B.有3个极小值点

C.有1个极大值点和2个极小值点

D.有2个极大值点和1个极小值点

8.(5分)已知可导函数/(x)的定义域为(0,+oo),且4")>f(x),若a>b>0,则(

)

A.bf(a)=af(b)

B.bf(a)<af(b)

C.bf(a)>af(b)

D.bf(a),af(b)的大小关系不能确定

9.(5分)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,

每次取1个球.甲表示事件”第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的

数字之和是7"，贝“)

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

10.(5分)在下列函数①+1；②/(x)=/nr；③/(x)=sinx；④=中，

满足在定义域内r(Xo)(x-Xo)+“Xo).J(x)恒成立的函数个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上)

11.(5分)(2Y-亍)"的展开式中各项二项式系数之和为32,则〃=,展开式中的常

数项为—.

12.(5分)下表记录了某地区一年之内的月降水量.

月份123456789101112

月降584853465656517156536466

水量

/mm

根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是—；80%分位数是.

13.(5分)如图为某校1000名高一学生的体育测试成绩的频率分布直方图，如果要按照

分层抽样方式抽取200名学生进行分析，则要抽取的[80,90)之间的学生人数是—；估

计这1000名学生的体育测试平均成绩为一.

15.(5分)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜

对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为9和1,且每

65

次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响.随机变量X表示在3次活动中

甲获胜的次数，则P(X..2)=；O(X)=.

16.(5分)记r(x),g[x)分别为函数。(x),g(x)的导函数.若存在满足

/(Xo)=g(Xo)且/'(x())=g'(Xo)，则称与为函数f(x)与g(x)的一个"S点已知"eR，函

数/(x)=znr2+«%与g(x)=/«%,给出下列四个结论:

①存在正数m,使得/(%)与g(x)恰有1个“S点”；

②存在正数〃?,使得/(x)与g(x)恰有2个“S点”；

③存在负数加，使得/(x)与g(x)恰有1个“S点”；

④存在负数m，使得/（x）与g（x）恰有2个“S点”.

其中所有正确结论的序号是—.

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（14分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春

长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发

表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，

疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗

在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和

有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到

统计数据如下：

未感染病毒感染病毒总计

未注射疫苗40PX

注射疫苗60qy

总计100100200

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到''感染病毒”的小白鼠的概率为？.

5

（I）求2x2列联表中的数据p,q,x,y的值；

（II）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由：

（III）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，

然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记X为3只中未注射疫苗

的小白鼠的只数，求X的分布列和期望.

n(ad-be)2

附：K2=tt=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.050.010.0050.001

P(K..ku)

3.8416.6357.87910.828

18.（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964Am,共设13座车

站.目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如

下:

四惠333344455555

四惠东33344455555

高碑店3334444555

传媒大学333444455

双桥33344444

管庄3333444

八里桥333344

通州北苑33333

果园3333

九棵树333

梨园33

临河里3

土桥

四惠四惠碑传媒双桥管庄八里通州果园九棵梨园临河上桥

东店大学桥北苑树里

(I)在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；

(II)甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车(二人可同站下车)，记甲

乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；

(III)若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为g元；乙

从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为/7元.试比较g和〃的方差。&和。〃大

小.(结论不需要证明)

19.(15分)已知函数/(彳)=一2«2如；+3¥2+04“€/?).

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在(1,7(1))处的切线方程；

(II)求函数f(x)的单调区间；

(III)当。<0时，求函数f(x)在区间口，e］上的最小值.

20.(14分)已知函数，(%)=知+(4-6)%—-(4,0).

(I)当a=0时，求f(x)的最小值；

(H)证明：当〃<0时，函数/(x)在区间(0,1)内存在唯一零点.

21.(14分)若数列｛见｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称｛%｝为“等比

源数列”.

(1)已知数列｛4｝为4,3,1,2,数列｛a｝为1,2,6,24,分别判断｛%｝,｛4｝是否为

”等比源数列”，并说明理由；

(2)已知数列｛c,J的通项公式为C,,=2"T+1,判断｛cj是否为"等比源数列”,并说明理

由；

(3)已知数列为单调递增的等差数列，且4*0,d“wZ(nwN"),求证：｛4｝为

”等比源数列”.

参考答案

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项符合题意)

1•【分析】根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出

物体在时刻f=2时的速度.

【解答】解：物体的运动速度为H)=s，=2―,

313

所以物体在时刻f=2时的速度为v(2)=2x2--=—

44

故选：D.

【点评】本题考查导数在物理上的应用：对物体位移求导得到物体的瞬时速度.

2.【分析】根据题意，分2步进行分析：先将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，再将老师

安排在中间，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，有父=24种排法，

老师必须站在中间，有1种安排方法，

则有24x1=24种站法；

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

3.【分析】根据已知条件，求出x,y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可

求解.

_0+1+2+3+4_10+15+m+30+35_90+w

【解答】解：由表中数据可得,x--------------=2,y-------------------

5

用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为y=6.5%+9,

...90_6.5x2+9,解得加=20.

5

故选：B.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

4.【分析】由题意可得100个产品中，质量合格的产品有90个，其中质量合格的产品有

80个，再结合古典概型及其概率计算公式求解即可.

【解答】解：由题意可得100个产品中，质量合格的产品有90个，其中质量合格的产品有

80个，

则任取一个产品，若它的质量合格，则它长度合格的概率为名=»,

909

故选：C.

【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题.

5.【分析】对于A,结合平均数公式，即可求解，

对于8,结合方差公式，即可求解，

对于C,结合中位数的定义，即可求解，

对于。，结合极差的定义，即可求解.

【解答】解：甲组样本数据％,x2.........(数据各不相同)的平均数为2,方差为4,

又乙组样本数据3百+a,3%+〃，…，3x“+a的平均数为4,

3x2+a=4,解得a=—2,故A正确，

乙组样本数据方差为3?x4=36,故B正确，

设甲组样本数据的中位数为七，

则乙组样本数据的中位数为3%-2,

，两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误，

甲组数据的极差为Zs-x而“，

则甲组数据的极差为(3k频-2)-(3x„„,-2)=3(xw„-x,„,,),

两组样本数据的样本极差不同，故O正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于基础题.

6.【分析】利用正态分布的对称性可得尸($,80),可得P(80,,J<90),即可得出结论.

【解答】解：J近似服从正态分布N(90,〃)(试卷满分150分)，且尸100)=0.3,

:.P&,80)=0.3,

P(80„§<90)=>°；x2=02,

这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数=14000x0.2=2800,

故选：A.

【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

7.【分析】由已知结合函数的单调性与极值的关系进行分析即可求解.

【解答】解：结合函数图象可知,当xv>时,f'(x)<g'(,x),止匕时y=g，(x)—r(x)>0,

函数单调递增，

当acxvO时,r(x)>g，(x),此时y'=g，(x)-(x)<0,函数单调递减，

当0<x<。时，f'(x)<g\x),此时y=g，(x)-函数单调递增,

当时，f'(x)>g'(x),此时y=g，(x)_1(x)<0,函数单调递减,

故函数在x=a,x=b处取得极大值，在x=0处取得极小值.

故选：D.

8.【分析】令g(x)=』@(x>0),求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可.

X

【解答】解：令g(x)=4^(x>0),

X

则g，⑶N(x)；)(x),

X

矿。)>/(外，

/./(x)>0,g(x)在(0,KO)递增，

若。>力>0,则g(a)>g(b),

即幽>殁，即(a)>af(b),

ab

故选：C.

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，是中档题.

9.【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.

【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),

(6,2),

两点数和为7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(甲)=,，P(乙)=,，P(丙)=工=』，p(T)=—=-,

666x6366x66

A:P(甲丙)=OxP(甲)P(丙)，

B-.P(甲丁)=—=P(甲)P(T).

36

C:P(乙丙)——^P(乙)P(丙)，

36

D:P(丙丁)=0二尸(丙)P(T),

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属

于中档题.

10.【分析】分别求得给出的函数的导数，结合因式分解和导数的运用，求得最值，可判断

结论.

【解答】解：对于①/(解=f+1,f'M=2x,

2

fXx0)(x-x0)+f(x0)-f(x)=2x0(x-x0)+x„+\-(x+1)

2

=2x0(x-x0)+(x0-x)(x0+x)=-(x-x0)„0，

即/'(/)。-入0)+/(/)，J(X)，故①不满足题意；

对于②f(x)=/nr,导数为r(x)=」(x>0),

X

设尸(x)=f'(xn)(x-x0)+f(x0)-/(%)=—(x-x0)+lnxtt-Inx,

%

FfU)=—=,当x>x0时，F,(x)>0,F(x)递增；

x0xxr0

当0<x<x0时，9(x)<0,尸(x)递减.

所以F(x)在x=x()处取得最小值0,即F(x)..O,

故②符合题意；

对于③/(X)=sinx,导数为r(x)=cosx,

设F(x)=f'[x0\x-x0)+f(xQ)-/(x)=cosxfl(x-^)+sinx0-sinx,

F'(x)=cosx0-cosx,由F(x)=O,可得x有无数个解，故③不符合题意；

对于④f(x)=-x2,导数为f\x)=-2x,

--

-%—f(x)=2x0(x—x0)—xj—(—x)

=-2x0(x-x0)-(x0-x)(x0+x)=(x-%)2..0,

即/'5)(x-为)+/(Xo)4(x)，故④满足题意•

故选：B.

【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推

理能力，属于中档题.

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上)

11•【分析】由已知即可求出〃的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0,进而可

以求解.

【解答】解：由已知可得2"=32,则〃=5,

1_5r

所以二项式的的这款是的通项公式为7；”=6(2/)5］-;=>=C：25r(-1)5m2,

令io-"=o,解得r=4,

2

所以展开式的常数项为C>2.(-l)4=10,

故答案为：5；10.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

12•【分析】把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数.

【解答】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46,48,51,53,53,56,56,56,

58,64,66,71；

计算中位数是gx(56+56)=56；

因为12x80%=9.6,所以80%分位数是第10个数据，是64.

故答案为：56；64.

【点评】本题考查了中位数和百分位数的计算问题，是基础题.

13.【分析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及平均数公式，即可求解.

【解答】解：抽取的［80,90)之间的频率为10x0.02=0.2,

抽取的［80,90)之间的学生人数是200x0.2=40,

估计这1000名学生的体育测试平均成绩为

55x0.005x10+65x0.04x10+75x0.03x10+85x0.02x10+95x0.005x10=73.

故答案为：40,73.

【点评】本题主要考查频率与频数的关系，以及平均数公式，需要学生熟练掌握公式，属

于基础题.

14•【分析】由已知得y=3x2+3x,由y=0,得x=0或x=—l,由此利用导数性质求出

359

函数y=V+加在［-2,1］上的最大值为)(=|=5+机=5,由此能求出，"的值.

a

【解答】解：,y=Y+-/，

2

/.y'=3x2+3x,

由y=0,得x=0或x=—l,

y|v=_2=-8+64-zn=/n-2,

儿=。="，

,35

y\x=^^+-+fn^~+m,

Q5Q

函数y=d+加在［-2,1J上的最大值为y|.i=5+加=万,

解得m=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数的最值的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用.

15•【分析】首先根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，进而可计算在

3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.根据二项分布的方差公式

求Q(X).

【解答】解：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为3x3=2,

653

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C；x(|)2x|+(|)3=；

根据题意可知，X~5(3,女)，

3

212

所以D(X)=叩(1=,

2()2

故答案为：—；

273

【点评】本题考查了独立重复实验概率的计算与方差的求解，属于基础题.

16•【分析】根据题意得到方程组，消去”后得到m=上华，通过研究

%

力(幻=二竺&>0)的单调性得到国像，进而通过以此与y=加的交点情况得到答案.

X

【解答】解：函数/(3)=32+MT与g(x)=/nx,

假设/是函数f(x)与g。)的一个“S点”，

ITIX^+叫)=依)①

则有：L1e，②X。一①得：

/

1一g人7/、1-lnx.八、、21nx—3业|.,、八

m-------,令h(x)=——；—(x>0),h(x)=-----——，当”时o，h(x)>0,

XoJTX

3

当0<x<胸时，〃(x)v0,

3

当x=/时，hr(x)=0,

231

故/l(x)在X时取得极小值，力(4)=一”当X—>0时，h(x)T+00,

当Xf+oo时，〃(犬)->0,画出图象如下:

当根..0时，〃(幻与y=加有且只有一个交点，所以存在正数机，使得/'(%)与g(x)恰有1

个“S点”，①正确，②错误;

当“一.

时，Mx)与y=%有一个交点，故存在负数〃，使得f(x)与g(x)恰有1个

“S点”，③正确;

1

当一<m<0(时,6(x)与y=/n有两个交点，存在负数机，使得f(x)与g(x)恰有2个

“S点”，④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，用到了数形结合的思想，属于难题.

三、解答题：(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17•【分析】(/)根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及列联表之间的数据关系，即

可求解.

(〃)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

(/〃)由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3:2,故抽取的5只小

白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，则X的可能取值为1,2,

3,分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.

【解答】解：(/)从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率

为|,

，竺40=C32,解得犬=100,

x55

贝幼=200-100=100,p=100-40=60,^=100-60=40.

n(ad-bc)2_200x(40x40-60x60)2

=8<10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~100x100x100x100

没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效.

(III)由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为3:2,

故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只己注射疫苗,

从中抽取3只，

则X的可能取值为1,2,3,

p(x=l)=卑=』，P(x=2)=卑=3,P(X=3)=4=-

C；10C；5Cl10

故X的分布列为:

X123

P331

105lo

3319

feE(X)=lx—+2x-+3x—=-.

1051()5

【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于

中档题.

18•【分析】(I)记两站间票价不足5元为事件A,在13座车站中任选两个不同的车站，

基本事件总数为C；=78个，事件A中基本事件数为78-15=63.由此能求出两站间票价

不足5元的概率.

(II)记甲乙花费金额分别为a元，b元.X的所有可能取值为6,7,8,9,10,分别求

出相应的概率，由此能求出X的分布列.

(III)Dr).

【解答】解：(I)记两站间票价不足5元为事件A,

在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为£；=78个,

事件A中基本事件数为78-15=63.

所以两站间票价不足5元的概率P(A)=—=—.(3分)

7826

(H)记甲乙花费金额分别为4元，b元.

X的所有可能取值为6,1,8,9,10.(4分)

尸(X=6)=P(a=3,8=3)=j,(5分)

p(X=7)=P(a=3,/=4)+P(a=4,b=3)=一,(6分)

6

49

p(X=8)=P(a=3/=5)+P(a=5/=3)+P(a=4,/?=4)=——,(7分)

144

尸(X=9)=P(a=5,8=4)+P(a=4,b=5)=a,(8分)

24

25

p(X=10)=P(〃=5,b=5)=——・(9分)

144

所以X的分布列为

X67891()

P49525

9614424U4

…(10分)

(III)甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为4元，

乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为〃元.

.•.4和"的方差。4和。〃大小相等，=(13分)

【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19•【分析】(I)根据导数的集合意义求解；

(II)转化成讨论导数的符号；

(III)利用(H),讨论极值点与定区间的关系，再数形结合得最小值.

【解答】解：(I)a=l时，f(x)=-2lnx+-x2+x,：.1(x)=d),

2x

33

■-f(1)=7'『⑴=0，曲线y=/(x)在(1，f(1))处的切线方程为：y=1；

.IT,q,、(x+2a)(x-a)

(ID/'(x)=----------，x>0，

x

・•・①当a=0时，/'(X)=X>0,.•./(二)仅有单调增区间，其为：(0,+oo)；

②当a>0时，x+2a>0,.,.当xe(0,a)时/'(%)<0；当xe(a,+<»)时，f\x)>0,

，/(x)的单调减区间为：(0,a),单调增区间为：3,48);

③当"0时，X-0>0,...当xe(0,-初时r(x)<0；当x€(-2a,+co)时，/'(x)>0,

•・J(x)的单调减区间为：(0,-2。)，单调增区间为：(-2a,4w),

综合得：当〃=0时，仅有单调增区间，其为：(0,+8)；

当”>0时，/(x)的单调减区间为：(0,4)，单调增区间为：3,”)；

当a<0时，/（x）的单调减区间为：（0,-2a）,单调增区间为：（-2a,+00）.

（Ill）当avo时，由（II）中③知/（X）在（0,-2。）上单调单调递减，在（-2a,+00）上单调递

增，

；・①当Ov—2a,1，即ae［-g,O）时，/（%）在［1,e］上单调递增，/«•,.=/（1）=«+.

p1

②当iv—2ave,即”（-5,—5）时，/⑴在（1，-2。）上单调递减，在（-2。0上单调递增,

/（%）„,„=/（-2a）=-2a2ln（-2a）