高等数学理工类课件映射与函数

高等数学理工类课件映射与函数第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期二

第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期二元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期二表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期二无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:机动目录上页下页返回结束第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期二是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期二定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期二二、映射1.映射的概念

某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例1.第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期二引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影机动目录上页下页返回结束第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期二定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像

,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.机动目录上页下页返回结束第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期二对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.引例2,3机动目录上页下页返回结束引例2引例2第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期二例1.海伦公式例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)例3.如图所示,则有(满射)

(满射)机动目录上页下页返回结束第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期二X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)机动目录上页下页返回结束f称为X

上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的为函数映射又称为算子.名称.例如,第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期二2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f

的逆映射.机动目录上页下页返回结束第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期二(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期二定义.则当由上述映射链可定义由D

到Y

的复设有映射链记作合映射

,时,或机动目录上页下页返回结束注意:

构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期二定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期二(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期二例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期二2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期二(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期二又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期二(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期二3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期二2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期二(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期二机动目录上页下页返回结束两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期二4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P21)机动目录上页下页返回结束第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期二非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期二例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为机动目录上页下页返回结束第三十页，共三十一页，