高等数学幂级数

高等数学幂级数第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期二一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数

.对若常数项级数收敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散

,所有为其

为其发散点,

发散点的全体称为其发散域.第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期二为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数

称它第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期二例如,

函数项级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期二二、幂级数及其收敛性1.定义:形如的函数项级数称为幂级数,其中下面着重讨论例如,幂级数幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称为第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期二几何说明收敛发散发散2.收敛性:第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期二阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期二正数R称为收敛半径(-R,R)称为收敛区间规定收敛发散发散(－R,R)

加上收敛的端点称为收敛域.第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期二1)当≠0

时,2)当＝0

时,3)当＝∞时,证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,系数模比值法（系数模根值法）第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期二2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期二例1

求下列幂级数的收敛域解收敛发散(2)第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期二发散收敛故收敛域为(0,1]解第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期二级数收敛级数发散发散发散故原级数的收敛域为解:缺项不能应用定理2可直接利用修改后的比值判别法第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期二练习

求下列幂级数的收敛域第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期二三、幂级数的运算第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期二第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解:第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期二例2.

求级数的和函数解:第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期二第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解法2:第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解法1:第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期二例4.

的和函数解:第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解:

级数的收敛半径R＝+∞.例5.则的和函数.因此得设第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期二解:第二十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期二内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用修改后